高中三角函数总结

三角函数做题技巧与方法总结知识点梳理1正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2、三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，3、三角函数的诱导公式sin（2k+）=sin sin（+）=sin sin（）=sincos（2k+）=cos cos（+）=cos cos（）=costan（2k+）=tan tan（+）=tan tan（）=tansin（）=sin sin（/2+）=cos sin（/2）=coscos（）=cos cos（/2+）=sin cos（/2）=sintan（）=tan tan（/2+）=cot tan（/2）=cotsin2()+cos2()=14、两角和差公式 5、 二倍角的正弦、余弦和正切公式sin（+）=sincos+cossin sin2=2sincos sin（）=sincoscossin cos2=cos2()sin2()=2cos2()1=12sin2()cos（+）=coscossinsin tan2=2tan/(1tan2()cos（）=coscos+sinsin tan（+）=(tan+tan )/(1tan tan) tan（）=(tantan)/(1+tan tan) 6、半角公式：； ； 7、函数最大值是，最小值是，周期是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心8、由ysinx的图象变换出ysin(x)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将ysinx的图象向左(0)或向右(0）平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，便得ysin(x)的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将ysinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，再沿x轴向左(0)或向右(0平移个单位，便得ysin(x)的图象。9、对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。10、求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；11、求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。12、经常使用的公式 升（降）幂公式： 、 、 ； 辅助角公式： （由具体的值确定）；2、 典型例题 弦切互化例1已知，求（1）；解：（1）；练习：的值. 解： .说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。函数的定义域问题例2、求函数的定义域。解：由题意知需，也即需在一周期上符合的角为,由此可得到函数的定义域为说明：确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如的函数，则其定义域由确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。函数值域及最大值，最小值（1） 求函数的值域 一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。例3、求下列函数的值域（1） （2）分析：利用与进行求解。解：（1）（2）说明：练习：求函数的值域。解：设，则原函数可化为，因为，所以当时，当时， 所以，函数的值域为。（2） 函数的最大值与最小值。求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是：（1）sinx,cosx的有界性；（2） tanx的值可取一切实数；（3） 连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。例4、求下列函数的最大值与最小值（1） （2） （3）分析：（1）可利用sinx,cosx的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（2）（3）可利用二次函数在闭区间上求最值得方法。解：(1) (2) 当，即时，有最小值；当，即，有最大值1。（3）函数的周期性例5、求下列函数的周期 分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。（1）把看成是一个新的变量，那么的最小正周期是，就是说，当且必须增加到时，函数的值重复出现，而所以当自变量增加到且必须增加到时，函数值重复出现，因此，的周期是。（2） 即 的周期是。说明：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量的系数有关。一般地，函数或（其中为常数，的周期。例6、已知函数。求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；解： 所以的最小正周期，因为，所以，当，即时，最大值为；函数的奇偶性例7、判断下列函数的奇偶性 分析：可利用函数奇偶性定义予以判断。解：（1）函数的定义域关于原点对称 （2） 函数应满足 函数的定义域不关于原点对称。函数既不是奇函数又不是偶函数。评注：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称的区间，如果是，再验证是否等于或，进而判断函数的奇偶性，如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。练习：已知函数的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.解： 函数的单调性例8、下列函数，在上是增函数的是（ ） 分析：解：与在上都是减函数，排除， 知在内不具有单调性，又可排除，应选。例9、已知函数 （）求f(x)的最小正周期； （）求f(x)的递增区间.解：（） 最小正周期T= （）由题意，解不等式 得 的递增区间是 小结：求形如的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：三角函数思想方法归纳解析一、 数形结合思想oxy图1y1y2由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深同学们对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。 例1求不等式在上的解集。 解析：设，在同一坐标系中作出在上两函数图像(如图1)，在上解得的解为或，故由图像得要使得，即，由于，在上为偶函数，故在上的解为，得原不等式的解集为二、 分类讨论思想分类是根据对象的本质属性的异同将其划分为不同种类，即根据对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。分类讨论是数学解题的重要手段，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。例2设，且恒成立，求的取值范围。解析：令令，由，得，则，在上恒成立，在上恒成立。由二次函数图像分类讨论得，1） 当时，需得；2） 当时，需，得；3） 当时，需得综上所述，得三、 整体思想整体思想方法是一种常见的数学方法，它把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的有机联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。往往能起到化繁为简，化难为易的效果。 例3求函数的最大、最小值。 解析：由条件和问题联想到公式，可实施整体代换求最值。令，则，故当时，有最大值，且为；当时，有最小值，且为四、 方程思想方程是研究数量关系的重要工具。我们把所要研究的问题中的已知与未知量之间的相等关系，通过建立方程或方程组，并求出未知量的值，从而使问题得到解决的思想方法称为方程思想。例4已知，求的值解：令，则，故解得，解得，五、 化归转化思想化归转化思想是解决数学问题的一种重要思想方法。处理数学问题的实质就是实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等。 例5若，试确定的大小。解析：当一个问题直接难以入手或相对比较困难时，我们可以等价转化为我们熟知或容易解答的题型。要比较的大小可转化为与比较大小就容易多了。，又，故，六、 函数思想函数思想就是在解决问题的过程中，把变量之间的关系抽象成函数关系，把具体问题转化为函数问题，通过对函数相应问题的解决，达到解决变量之间具体问题的目的。例6已知，求证：解析：由得，构造函数：显然，故，即得七、 逆向思想逆向思想通常是指从问题的反向进行思考，运用于正面考虑繁琐或难以进行时的一种解题思维策略，正确使用这种策略，往往能问题绝处逢生，找到求解的新途径。例7将函数的图像向右平移个单位后，再作关于轴的对称变换，得到函数的图像，求的解析式。解析：我们可以采用倒推的方法，即将整个变化过程逆过来考虑。关于轴的对称变换为，然后再向左平移个单位得，对照比较原函数得，商业策划书 / 项目可行性报告 / 可行性研究报告 / 招股说三角函数常见题型一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。例1 已知向量。（1）若，求的取值范围；（2）函数，若对任意，恒有,求的取值范围。解：（1），即。（2）。，又二、运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中心。例2 若，在函数的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为，且当时，的最大值为1。（1）求函数的解析式； （2）若，求实数的值。解：由题意得，（1）对称中心到对称轴的最小距离为，的最小正周期，。当时，。（2）由，得，由，得。故。例3 已知向量, ，, ， （1）求的值； （2）设函数，求x为何值时，取得最大值，最大值是多少，并求的单调增区间。解：（1），,，,，.（2）,，,当时，,要使单调递增，,又，的单调增区间为.例4 设向量. （）求； （）若函数，求的最小值、最大值.解：（I） （II）由（I）得：令。时，三、解三角形问题，判断三角形形状，正余弦定理的应用。例5 已知函数.（I）将写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（II）如果ABC的三边a,b,c满足b2= a c，且边b所对的角为，试求的范围及此时函数的值域.解：（I）f(x) =+(1+)=+=sin(+)+.由sin(+)= 0，即+=k(kZ)，得x=(kZ)，即对称中心的横坐标为，(kZ). （II）由已知b2=ac，得cosx=.cosx1，0x.+.，sinsin(+)1. +sin(+)+,即f(x)的值域为（，+）. 例6 在中,角A,B ,的对边分别为a,c已知向量,且（1）求角的大小； （2）若,求角A的值。解: （1）由得；整理得即，又又因为,所以 （2）因为，所以, 故 由即,所以即因为，所以,故或,或 三角函数的小题涉及三角函数的所有知识点，因此，熟练掌握公式和性质是解好小题的必要条件，在日常训练中一定要改掉学生边做题边看公式的坏习惯。再者，填空题答案书写的规范也需反复强调。明书引用 /media/zhaogushuoming.shtml 三、练习1. 函数的定义域为（ ）2. 函数，的值域是( )3. 函数的周期为，则=-.4. 下列函数中是偶函数的是（ ）5. 下列函数中，奇函数的个数为（ ）（1）（2）（3）（4）6. 在区间上，下列函数为增函数的是（ ）7. 函数的单调减区间是（ ）8. 如果，则函数的最小值是9. 函数的值域为（ ）10、求函数 的周期和单调增区间解 函数的周期 当 ，即 x (kZ) 时函数单调增加，即函数的增区间是 ， (kZ) 答案：B B 3 C C D B B1已知函数（）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的值域。2.已知函数的最小正周期为.（）求的值；（）求函数f(x)在区间0，上的取值范围.3.（本小题满分12分）已知向量,且()求tanA的值；()求函数R)的值域.4.（本小题满分13分）已知函数，的最大值是1，其图像经过点（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值5. 已知函数（）将函数化简成的形式，并指出的周期；（）求函数上的最大值和最小值6.已知函数.（I）求函数的最小正周期；（II）当且时，求的值。7已知，（1）求的值；（2）求函数的最大值8.已知函数（，）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为（）求的值；（）将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，求的单调递减区间9.已知函数（）求函数的最小正周期及最值；（）令，判断函数的奇偶性，并说明理由10.求函数的最大值与最小值（17）（本小题满分12分）已知函数（）的最小值正周期是（）求的值；（）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合11.已知函数f(x)=sin2x，g(x)=cos，直线与函数的图像分别交于M、N两点（1）当时，求MN的值；（2）求MN在时的最大值12已知函数，（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围13已知函数求：（I）函数的最小正周期；（II）函数的单调增区间14.设函数