由高斯-克吕格投影平面直角坐标反解地理坐标的方法

由高斯-克吕格投影平面直角坐标反解地理坐标的方法钟业勋 魏文展（广西师范学院 南宁市明秀东路19号 530001） 【摘要】 根据高斯-克吕格投影平面直角坐标x、y的公式，设计了适用于CASIO fx-4800P计算器的程序。提出了利用正算程序采用有理逼近法反解地理坐标、的步骤和方法。经试验表明，本法可反解出精确的、值且收敛较快。【关键词】 高斯-克吕格投影 平面直角坐标 地理坐标 计算程序 反算我国现行的大于1：50万比例尺的各种地形图，都采用高斯克吕格投影1。根据地面点的纬度和该点对投影带的中央经线的经差，可用坐标公式求解该点的平面直角坐标X、Y。由于用X、Y反解、的方程建立困难，笔者经过大量试验，探讨了根据正解公式，用工程测绘中常用的CASIO fx-4800P计算器建立程序，通过计算逐渐逼近的反解、的数值解法。1 由X、Y坐标正算公式反解地理坐标的原理根据给定的坐标X、Y，可从已知的坐标表中确定所在的球面上的区间，即具有一定纬差和经差的球面梯形内。在给定点附近，可以任意给定一个确知其纬度为，经差为的点，由，可按正算程序算出、，由于，并非求解的真值，故X与的差的绝对值和Y与的差的绝对值必然大于零，即（1）在高斯克吕格投影中，同一纬差对应的X坐标增量X 为纬度的函数，其趋势是随纬度的增加而增大。点位对中央经线的距离不同，同一经差所对应的Y坐标增量Y 随着点位离中央经线愈远而递减。这一规律已在表1中呈现。表1以纬度间隔为5，经差间隔为30计算了各经纬线交点的坐标值，并以0.1的纬差和经差，分别算出相应的坐标增X、Y。根据X、Y所在区间的X、Y值，可对第一次给定的近似值和进行改正：（2）由，可以正算出X1、Y1。设为改正的次数，求解的通式为：（3）当时，即为（2）式。每次改正，将使更加接近，最终会出现的结果。而此时的对应的即为所求。确定X、Y所在的区间及其相应的纬度每增加0.1分的纵坐标增量X和纬差每增加0.1分的横坐标增量Y可参考表1。高斯克吕格投影平面直角坐标x、y及坐标增量x、y单位：m表1x y 0 00 0 30 1 00 1 30 X x x x x x x x Y y y y y y y y 85009443514.60.0 186.116.2 9443535.74867.3 186.314.6 9443599.29734.5 186.413.0 9443705.014601.8 186.511.4 80008885144.00.0 186.132.3 8885185.79696.8 186.430.7 8885310.719393.7 186.629.1 8885519.029090.9 186.927.5 75008326941.50.0 186.048.2 8327002.414451.0 186.446.6 8327185.128902.0 186.845.0 8327489.643353.0 187.243.5 70007768984.40.0 185.963.6 7769062.419093.3 186.562.1 7769297.538186.6 187.060.6 7769689.057280.0 187.459.0 65007211342.50.0185.878.6 7211435.823587.2 186.477.1 7211715.647171.1 187.075.4 7212181.970748.3 187.773.4 60006654075.90.0 185.793.0 6654181.427900.1 186.391.6 6654497.655800.7 187.190.2 6655024.883702.4 187.888.8 55006097233.20.0 185.5106.7 6097347.531997.3 186.3105.3 6097690.663996.0 187.1104.0 6098262.695997.4 187.8102.7 50005540849.60.0 185.4119.5 5540969.435848.2 186.2118.2 5541328.971697.8 187.0117.1 5541928.2107550.6 187.7115.8 45004984946.70.0 185.2131.4 4985068.339423.4 186.1130.3 4985433.378846.9 186.8129.1 4986041.5118270.3 187.7128.0 40004429531.10.0 185.1142.3 4429650.842697.4 185.9141.3 4430010.185397.4 186.7140.2 4430609.1128102.6 187.4139.2 35003874594.70.0 184.9152.1 3874708.945644.8 185.7151.2 3875051.791293.5 186.4150.3 3875623.0136950.2 187.2149.4 30003320114.90.0 184.8160.8 3320220.248243.6 185.5160.0 3320536.096490.0 186.2159.2 3321062.4144742.0 186.9158.4 25002766055.50.0 184.6168.2 2766148.550469.6 185.3167.4 2766427.7100906.2 185.9165.9 2766892.9151277.1 186.5162.9 20002212367.30.0 184.5174.4 2212445.452323.7 185.0173.8 2212679.7104647.9 185.5173.3 2213070.2156973.3 186.1172.840.0 184.4179.2 1659051.153775.3 184.8178.8 1659233.3107550.6 185.3178.4 1659537.0161325.9 185.7178.0 10001105855.30.0 184.4182.7 1105896.954824.2 184.6182.5 1106021.5109675.5 185.0182.2 1106229.4164580.9 185.2181.9 500552885.70.0 184.3184.8 552906.855449.8 184.4184.7 552970.1110901.8 184.6184.5 553075.5166358.3 184.8184.5 0000.00.0 184.3185.5 0.055660.5 184.3185.5 0.0111325.2 184.3185.6 0.0166998.5 184.4185.6 续表1x y 2 00 2 30 3 00 x x x x x x y y y y y y 85009443853.119469.1 186.69.7 9444043.524336.3 186.78.2 9444276.229203.6 186.06.5 80008885810.738788.6 187.125.9 8886185.848486.8 187.324.3 8886644.258185.8 187.522.6 75008327916.057804.0 187.041.9 8328464.272255.0 187.940.4 8329134.286706.1 188.338.7 70007770237.076373.4 187.957.5 7770941.795467.0 188.456.0 7771803.0114560.7 188.854.4 65007212834.894315.4 188.270.9 7213674.0117869.2 188.867.6 7214699.6141406.2 189.363.6 60006655763.0111605.7 188.487.4 6656712.1139511.2 189.185.9 6657872.4167419.2 189.884.6 55006099063.3128002.9 188.6101.3 6100093.1160013.8 189.3100.0 6101352.1192031.6 190.098.7 50005542767.2143408.0 188.6114.6 5543846.2179271.6 193.4113.3 5545165.4215142.9 190.1112.0 45004986893.3157693.8 188.4126.7 4987988.5197117.3 189.3125.5 4989327.6236540.8 190.0124.2 40004431447.7170815.6 188.3138.2 4432526.4213539.1 189.1137.2 4433845.3256275.7 189.9136.1 35003876423.2182618.9 187.9148.4 3877452.3228303.4 188.8147.6 3878710.7274007.9 189.6146.6 30003321799.6193002.2 187.6157.6 3322747.8241273.5 188.3156.8 3323907.2289558.7 189.1156.0 25002767543.9201549.1 187.1158.1 2768380.4251689.3 187.8150.6 2769402.2301664.6 188.4140.0 20002213617.1209300.5 186.7172.2 2214320.6261630.0 187.2171.5 2215180.7313962.4 187.9170.94215101.3 186.1177.5 1660509.5268876.8 186.6177.0 1661178.5322652.3 187.1176.5 10001106520.6219567.6 185.6181.5 1106895.5274662.9 185.9180.9 1107354.2329894.3 186.3179.9 500553223.3221821.7 184.9184.3 553413.3277294.0 185.1184.2 553645.6332777.7 185.4184.1 0000.0222684.6 184.4185.7 0.0278387.8 184.5185.7 0.0334112.4 184.5185.7 注：纬度增加0.1分的x的增量为x；经差增加0.1分的y的增量为y。2 由高斯克吕格投影直角坐标反解地理坐标的方法2.1高斯克吕格投影X、Y坐标公式2 3（1）（2）（1）式中S为自赤道起到某一纬度的经线长度（IAG-75椭球）：（3）（1）、（2）式中的N为地球椭球卯酉圈曲率半径：（4）为所求点的纬度，以度计；为所求点对中央经线的经差，以弧度计。当以度为单位时，X、Y公式中的应用下式变换后再代入；（5）（4）式中的为椭球长半径，e为第一偏心率。（1）、（2）式中的为辅助函数，。对于1980西安坐标系，采用IAG-75椭球，其参数为：=6378140米，e =0.081819221，e=0.0820944692.2 用CASIO fx4800P计算器计算高斯克吕格投影直角坐标的程序程序中的符号与公式中的符号对应如下： ，K-已知点的X坐标，C-纬度增加0.1分的X坐标增量，Q-已在点的Y坐标，D-经差增加0.1分的Y坐标增量，V-解出的纬度值，W-解出的经差值。2.2.1 程序在文件名NSXYAB下输入下列程序：Fix5：lbl1：A，B：I=sinA：J=cosA：T=tanA2：G=（0.082094469J）2 ：S=111133.0046A-16038.528sin2A+16.833sin4A- 0.022sin6A+0.00003sin8A：L=B180 lbl2： lbl3： lbl4：K，C，Q，DAbs（K-X）0=V=（A+（K-X）（600CA=VAbs（Q-Y）0=W=（B+（Q-Y） （600DB=WGoto1=FixmV，W2.2.2 建立程序的操作过程步 骤键 操 作显 示 画 面1（NEW）NSXYABFilename?NSXYAB 2PGM：NSXYAB1. COMP 2.BASE-N3.SD 4.LR5.Save formula3（COMP） （输入程式2.2.1）3 算 例已知K=5300000米，Q=120096米，求该点的纬度和对中央经线的经差。已知的坐标X、Y即K和Q。解：根据已知的X、Y，可从表1得知其区间为45005000，130200。为检验解算精度和解算的正确性，选取三组X、Y值，即在程序中采用三组C、D值：I：C=187.7，D=128，：C=189.3，D=115.8，：C=188.5，D=121.9，第组的C、D为、组的算术平均值。初始值（即输入的初始A、B值）也选取三组：I：4500，130，：4600，134，：4800，139以K、Q与各组A、B、C、D值组合，输入计算器，其结果如表2。表2 C=187.7 D=128 A（度） B（度） X（米） Y（米） 1 45.00000 1.50000 4986041.538 118270.3298 2 47.78777 1.52377 5295957.105 114192.8786 4 47.82367 1.60064 5300064.738 119870.8526 5 47.82309 1.60357 530005.377 120091.8042 6 47.82304 1.60362 5300000.154 120096.0085 7 47.82304 1.60362 5300000.002 120096.0034 C=189.3 D=115.8 A（度） B（度） X（米） Y（米） 1 46.00000 1.56667 5097256.772 120082.0878 2 47.78503 1.55020 5295691.549 116180.2048 3 47.82296 1.60656 5299995.240 120316.2434 4 47.82300 1.60339 5299994.970 120078.6857 5 47.82305 1.60364 5300000.281 120097.2498 6 47.82304 1.60362 5299999.978 120095.9081 7 47.82304 1.60362 5300000.002 120096.0067 C=188.5 D=121.9 A（度） B（度）