矩阵在线性方程组中的应用

矩阵线性方程的应用摘褥子矩阵方程和线性方程都是高等数学的重要教学内容。据悉，在高等数学教学中，使用矩阵求解线性方程的方法基本上是使用矩阵基本变换、克拉默定律、高斯-焦尔消去法。但是，为了求解线性方程，有时需要同时使用几种方法，有时需要选择其中最简单的方法。一些特殊线性方程的解法很少分类，并加以说明。我们希望通过对这个主题的研究，用特殊矩阵来总结和总结一些特殊线性方程的解。关键字矩阵；线性方程式；齐次线性方程；非齐次线性方程matrices in the applications of the system of linear equationsABSTRACTmatrices and system of linear equations are important content of advanced mathematics . web often use several fixed methods to solve system of linearcramers rule and gauss-Jordan elimination method。but some times，we need to choose one of the most simple ways，Or we need to use several methods to solve system of linear equations。for some special solution method of system of linear equations，There are few class ification and explanation in detail . wehope that wecan reseationsKEY WORDS matricesSystem of linear equationshomogeneous system of linear equations；nonhommogeneoussystem of linear equations列表中文摘要I英语摘要II13号引文11.矩阵和线性方程式的概述11.1矩阵的概念11.2线性方程的概念21.3线性方程的解法3矩阵线性方程的应用32.1克拉默定律32.2高斯消元法52.3非齐次线性方程组新解法的解题步骤6通过2.4矩阵转换和运算，方程的解法7用2.5追赶法求解线性方程92.5.1LU分解92.5.2追击法10用2.6块矩阵求解非均匀线性方程12用2.7边矩阵求解非均匀线性方程14结论17参考文献17审计19引文矩阵的概念早在19世纪由英国数学家凯利提出。数学史上有很多研究过矩阵论的著名数学家。英国数学家西尔维斯特在文献1中介绍说，1852年关于矩阵的合同发现了著名的“惯性定理”。在文献2中，英国数学家凯莱发表了重要的文章矩阵论的研究报告，系统地说明了矩阵的基本理论。当然，很多数学家对矩阵的发展做出了重大贡献。随着时代的不断发展，矩阵已经在很多领域广泛使用，是很常用的仪器。在数学领域，作为解线性方程的工具之一，前人已经做了很多研究。1693年，微积分的发现者之一德国数学家莱布尼茨确立了决定因素理论。1750年，瑞士数学家克莱姆制定了克莱梅尔定律(也称为克莱姆定律)。1800年，高斯和威廉乔尔创立了众所周知的高斯-焦尔糖消除法。线性方程是每个方程未知量为一次的方程。在文献3中发现线性方程在线性代数教学中非常重要，决定因素、矩阵、向量组的线性相关性、线性空间的基本变换、坐标变换等与线性方程有很密切的关系。矩阵和线性方程都是高等数学中重要的教学内容，矩阵和线性方程是互补的，在高等数学教学中，使用矩阵求解线性方程的方法基本上是一些固定的。一些线性方程的特殊解很少分类，也很少描述。本论文主要研究用陈相允的矩阵的初等变换及其应用、新同意的关于线性方程组新解法的探索、刘红旭的利用分块矩阵求解非齐次线性方程组、两部的用加边矩阵求解非齐次线性方程组的尝试等特殊矩阵求解一些线性方程的方法，并分析、总结和总结用特殊矩阵求解线性方程的解法。1.矩阵和线性方程式概述1.1矩阵的概念排列垂直列(称为通道、交叉行矩阵或级别矩阵)交叉行的数值表。数字矩阵的元素，矩阵通常被简单地记录为、或、或简单地记录为等。1.2线性方程的概念线性方程式的一般形式如下：(1-1)其中表示未知量，是方程式的数目，方程式的系数称为常数。如果所有常数都为零(1-2)方程式(1-2)称为齐次线性方程式。否则，称为非二次线性方程。线性方程式(1-1)的解决方案是数字栏位的对齐阵列而且，未知量分别被替换时，(1.1)的每个方程都成立。其中方程式(1-1)以矩阵形式记录而且，即可从workspace页面中移除物件。在此处添加称为此线性方程的系数矩阵。添加常数后，称为矩阵的最后一列。此线性方程式称为延伸矩阵，其记录如下：1.3线性方程的解解线性方程的时候，首先要讨论线性方程的解。可以没有解决方案，可以有自己的解决方案，也可以有无限的解决方案集。这里讨论了线性方程的解及其一般解表示。对于一般线性方程式(1-1)，使延伸矩阵成为行阶梯矩阵。此阶梯矩阵在第一个移动顺序后可能出现两种情况。或者其中。在以前的情况下，我们认为原始方程体系没有解决方案，以后的方程体系也有解决方案。我们讨论以下情况：a:表示原始方程式(1-1)有唯一的解决方案。b:如果是，那么原始方程(1-1)有无限多的解集。这些无限解集可以表示为自由变量为1、主变量为1的普通解。矩阵线性方程的应用2.1克拉默定律这里简单介绍了使用克拉默定律求解线性方程的方法。克拉默定律：包含方程式的中继线性方程式(2-1)系数矩阵的决定因素方程式(2-2)具有唯一的解决方案其中是系数决定因素的热因素，是被常量值代替的决定因素。我要用克拉默定律解简单的线性方程。范例2.1.1求解线性方程式解决方案：而且所以原始方程的解是。范例2.2.2如果以下方程式有非零解决方案，请选取值：解法：此齐次方程式有非零解，并且仅适用于该系数矩阵的决定因素所以如上所述，当齐次方程有非零解时。2.2高斯消元法高斯消元法也是求解线性方程的常用方法。具有个方程式的未知量的中继线性方程式首先，使用基本行转换，首先把上面方程的扩展矩阵做成阶梯矩阵，然后写出那个阶梯矩阵对应的方程，然后逐渐回到代上，求出方程的解。因为是等方程系统，所以得到上面的方程。这种方法称为高斯消元法。范例2.2.1求解方程式解决方案：首先构建增量矩阵，然后转换为阶梯矩阵，即2=基于最后一个扩展矩阵，可以得到其表示的线性方程如下乘以最后一个方程式，并将项目移动到等号的右端。用第二个方程式取代替换为第一个表达式因此，方程式的解为您可以在此处接受任何值。2.3非齐次线性方程组新解法的解题步骤非齐次线性方程组新解法的问题解决步骤在7中介绍。(1)减小阶梯矩阵。(2)写相应的方程式。(3)在上述每个方程中，下标最小的变量用另一个变量表示，其他缺少的变量相应地完成。(4)写方程解的向量形式。范例2.4.1求解线性方程式解决方案：(1)首先减小阶梯矩阵然后，当扩展矩阵进行基本更改并转换为简化的阶梯矩阵时，原始表达式的解决方案将无限多。(2)写相应的方程式。(3)在上述每个方程中，下标最小的变量显示为其他变量，并补充其他缺失变量。(4)写方程的解。2.4方程的解法是通过矩阵转换和运算直接得到的以下是通过矩阵转换和运算直接求方程的解法。首先对增强矩阵进行基本变换、零扩张矩阵和旋转运算，然后求出直接齐次方程的基本解和非齐次方程的特殊解，得出非齐次方程的一般解。向矩阵中添加维行向量，从而为生成的新矩阵定义18的扩展矩阵。当增量行向量都是零向量时，产生的新矩阵称为的零扩展矩阵；当增量行向量构成一个单位时，产生的新矩阵称为正方形的单位扩展矩阵。在定义28矩阵内，如果存在，则称为广义上三角矩阵。定义38设置为广义三角形矩阵。在中，由和新的矩阵组成。如果，则定义为0，结果矩阵显示为0(或传递矩阵)。定理18在实数字段中设置非齐次线性方程而且，延伸到0，执行的基本转换，以使对角线上的元素仅取1和0的宽上三角形矩阵(如果存在行交换，则为的行)。矩阵中的元素仅获取0或-1值。如果对应的行向量为零，则该行向量构成方程式的基本解方案，而行向量是方程式的特殊解。定理28通过扩展与方程(2-1)对应的扩展矩阵并进行基本转换来满足定理1。此时，分析会产生解析矩阵。也就是说，如果存在，则该列向量的全部是方程的基本解，矩阵的列向量是的特殊解，多次解存在满足定理1条件的解矩阵。范例2.5.1求解方程式解法：转换延伸矩阵而且，因此，方程系统的解被定理1知道。用2.5追赶法求解线性方程本节的解法是将线性方程的系数矩阵分解为下限和上限三角形阵列的乘积，然后用追赶法求解线性方程。要将系数矩阵分解为下一个三角形数组和上三角数组的乘积，必须使用LU分解方法(也称为三角分解)。2.5.1LU分解9前n-1个连续主矩阵并不奇怪。单位下有三角形阵列和上方三角形阵列。这种分解是唯一的。矩阵的LU分解比较两端的第一行元素就知道了比较两端的第一列元素就知道了比较两端第二行的其馀元素就知道了比较两端第二列的其馀元素就知道了使用一般递归关系(2-2)求和可以实现三角分解。此过程是矩阵的LU分解。2.5.2追逐法9线性方程的系数矩阵是一种非常简便快捷的方法，首先通过公式(2-2)分解LU，然后使用追赶法求解线性方程。追击过程和追击过程是追击法的关键。记忆a)分解符合计算b)追击过程对于计算c)匆忙的过程对于计算可以从线性方程式(1-1)中取得线性方程式的Jacobi迭代公式为：简称：下面通过具体的例子来了解用追赶法求解线性方程的问题解决过程。示例使用2.5.1追赶法求解线性方程解法：系数矩阵使用公式(2-3)执行LU分解。所以管槽程序：解决方案快点：解决求线性方程的解。用2.6块矩阵求解非均匀线性方程通过文献10，可以看出，如果是一阶非奇异数组，则是矩阵。如果是非奇异方阵，一定能找到上三角剖分，其中一个是非奇异数