椭圆知识点归纳总结和经典例题

椭圆形典型示例例1已知椭圆的一个焦点是由(0，2)获得的值。解：方程被转换成。因为焦点在轴上，所以得到了解。因此，再合适不过了。因此。例2已知椭圆的中心在原点，通过一个点找到椭圆的标准方程。分析：因为椭圆的中心在原点，所以它的标准方程有两种情况。根据问题设置条件，采用待定系数法。椭圆的标准方程可以通过求参数和(或和)的值得到。解决方法：当焦点在轴上时，将其方程设置为。从椭圆通过点，我们知道椭圆的方程是。当焦点在轴上时，让它的方程为。从椭圆通过点，我们知道椭圆的方程是。实施例3的底边和两边中线的长度之和为30，计算重心的轨迹和该三角形顶点的轨迹。分析：(1)从已知的可用，然后用椭圆定义来求解。(2)代换法得到的轨迹方程是基于轨迹方程和坐标之间的关系。解决方法：(1)建立一个以直线为轴，以中点为原点的直角坐标系。已知点的轨迹是一个以为焦点的椭圆，将点的坐标设置为，然后移除轴上的两个点。因为，有，因此，等式是。(2)设置，然后，将问题含义代入得到的轨迹方程是其轨迹是椭圆的(不包括轴上的两点)。例4众所周知，一个点在一个椭圆上，它的对称轴是坐标轴。从该点到两个焦点的距离分别是总和。交叉点被视为与焦点所在的轴垂直。它只通过椭圆的一个焦点，从而求解椭圆方程。解决方案：让两个焦点成为、和.从椭圆的定义可知。因为知道垂直焦点所在的对称轴，可以发现，因此。椭圆方程是或。例5椭圆方程是已知的。长轴的端点是，焦点是，它是椭圆上一个点的面积，用表示。分析：为了找到面积，我们应该结合余弦定理，定义角度的两个相邻的边，从而使用来找到面积。解决方案：如图所示，假设可以假设椭圆的对称性，并且可以在第一个象限中假设椭圆的对称性。由余弦定理可知：根据椭圆的定义：，那么。因此。示例6已知椭圆(1)找出穿过该点并被一分为二的弦的直线方程；(2)求出斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3)画出椭圆的割线，找到截断弦中点的轨迹方程；解决方法：如果字符串的两端分别是线段的中点，那么(1)至(2)。根据问题的含义，上述公式的两端都被相同的，有，将 替换为(1)将、代入，得到的直线方程为：将代入椭圆方程符合问题的含义，是要求。(2)代入得到期望的轨迹方程为：(3)代入(5)得到期望的轨迹方程为：例7椭圆和直线是已知的。(1)当值是多少时，直线和椭圆有一个公共点？(2)如果被椭圆切割的直线的弦长是，求直线的方程。解：(1)将线性方程代入椭圆方程，也就是说，我们可以理解。(2)将直线和椭圆的两个交点的横坐标设置为，从(1)获得。根据弦长公式：等式是。例8求解一个以原点为中心，对称轴为坐标轴，通过两点的椭圆方程分析：不清楚条件焦点在哪个轴上。椭圆标准方程有两种情况。为了简化计算，该方程可以设置为(，)，并且该方程可以直接获得，而无需考虑焦点在哪个坐标轴上。解：让期望的椭圆方程为(，)。它可以从椭圆上两点之和得到也就是说通过将线性方程与椭圆方程相结合：假设这是两个方程，所以，因此。(方法2)用焦点半径求解。根据直线和椭圆的联立方程，找到了方程的两个根，分别是它们的横坐标。根据焦距，我们可以找到。示例10给定一个椭圆，尝试确定值的范围，以便对于直线，椭圆上有两个不同的点关于直线对称。分析：如果椭圆上的两个点关于一条直线对称，已知条件相当于：(1)一条直线；(2)弦的中点在上方。通过使用由上述条件建立的不等式可以获得的值的范围。解决方法：(方法1)在椭圆上，两点关于一条直线对称，并且直线与该点相交。的斜率是通过将直线方程作为来确定的，该方程是从方程组中消除的。.因此，也就是说，点的坐标是。点在一条直线上，.解决方案是. 2将等式2代入等式1以获得等式3是椭圆上的两点。(方法2)与方法1相同。也就是说，点坐标是。是椭圆上的两点，8756点在椭圆内。(方法3)假设它是椭圆上的两个对称点，直线和的交点的坐标是。*在椭圆上，,从彼此中减去。那是。和直线，即。再次指向直线。从和获得的点的坐标为。以下是相同的解决方案2。说明：关于椭圆上的两点和直线的常对称性，列参数所满足的不等式可以用来寻找相关参数的取值范围：(1)利用二次方程的判别式建立参数方程，该二次方程是通过消除直线和椭圆之间有两个交点的由线性方程和椭圆方程组成的方程组而得到的。(2)利用椭圆内弦的中点，满足，用参数表示建立参数不等式。例11被称为被椭圆切割的线段的中点，并获得该直线的方程。分析：本主题研究直线和椭圆之间的位置关系问题。通常，直线方程和椭圆平方方程被同时消去，得到一元二次方程。然后，从根和系数之间的关系，直接获得(或)的值并代入计算。没有必要要求直线和椭圆的交点的坐标。这种“不求设置”的方法常用于解析几何。解决方案：方法1: