高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案

投掷东西线条xyOlFxyOlFlFxyOxyOlF定义一个点在平面上的轨迹等于一个固定点和一条固定直线之间的距离，这个点叫做抛物线的焦点，这条直线叫做抛物线的准线。=从m点到直线的距离范围对称轴对称轴对称焦点(，0)(，0)(0，)(0，)焦点在对称轴上。顶点古怪=1对齐等式准线和焦点位于顶点的两侧，到顶点的距离相等。从顶点到准线的距离焦点到准线的距离焦点半径焦点弦长焦点弦的几个性质oxFy认为有直径的圆必须与准线相切如果的倾角为，则如果的倾角为，则正切等式一、直线和抛物线之间的位置关系直线，抛物线，摆脱：(1)当k=0时，直线平行于抛物线的对称轴并有一个交点；(2)k0时， 0，直线与抛物线相交，两个不同的交点；=0，与抛物线相切的直线，一个切点； 0，直线与抛物线分离，没有公共点。(3)如果直线和抛物线之间只有一个公共点，直线和抛物线必须相切吗？(不一定)二。直线与抛物线位置关系的常用处理方法直线：抛物线，1联立方程法：如果交点的坐标为，则有，并且可以进一步确定。当谈到弦长、中点、对称性、面积等问题时，这种方法是常用的，如1.相交弦AB的弦长或者B.中点，两点差分法：让交点的坐标为，并将其代入抛物方程，得到减去这两种类型得到当涉及坡度问题时，在处理中点轨迹问题时，将线段的中点设置为，也就是说，类似地，对于抛物线，如果直线与抛物线相交于两点，并且该点是弦的中点，则有(注意这个公式可以使用的条件：1)直线和抛物线有两个不同的交点；2)直线的斜率存在且不等于零)抛物线练习和答案1.假设点P在抛物线y2=4x上，点P的坐标是点P到点Q(2，-1)的距离和点P到抛物线焦点的距离之和达到最小值。(，-1)2.假设点P是抛物线上的一个移动点，点P到点(0，2)的距离和点P到抛物线准线的距离之和的最小值是。3.直线和抛物线相交于两点。穿过两点的直线垂直于抛物线的准线。竖脚分别为，梯形面积为。4、设定的是坐标的原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一个点，与轴的正角度是，是。5.抛物线的焦点是，准线是，有坡度的通过直线在该点与轴线上方的抛物线部分相交，面积是当垂直脚是。6.众所周知，抛物线的焦点是，准线和轴线的交点是，点在上面，然后面积是。7.如果双曲线是已知的，以双曲线的中心为焦点，以双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是已知的。8.在平面直角坐标系中，有一个特定的点。如果线段的垂直平分线穿过抛物线，则抛物线方程为。9.在平面直角坐标系中，如果已知抛物线关于轴对称，顶点在原点并通过点P (2，4)，则抛物线方程为。10.从抛物线上的点到直线的最小距离是。11.如果已知抛物线y2=4x，并且穿过点P(4，0)的直线在点A (X1，Y1)和点B (X2，y2)处与抛物线相交，则y12 y22的最小值为。3212.如果曲线=| | 1和直线=之间没有公共点，则分别满足以下条件。=0，-1113.如果已知抛物线y-x2 3上有两个不同的点a和b关于直线x y=0对称，则|AB|等于()ca3 b . 4 c . 3d . 414、已知抛物线的焦点是，点，在抛物线上，有()cA.B.C.D.15.已知点是抛物线上的两个移动点，它们是假设M(x，y)是圆上的任意一点，线段AB作为它的直径，那么，即：因此，线段就是圆的直径。证据2:，整理了：.(1)让(x，y)在一个圆上，线段AB作为它的直径，也就是说，分母是33，360，这些点满足上面的等式，将(1)展开并代入：,因此，线段就是圆的直径。证据3:,(1)以线段AB为直径的圆的方程为,将(1)展开并替换为：因此，线段就是圆的直径(2)解决方案1:将圆心设为C(x，y)，然后因为，,所以圆心的轨迹方程是，如果从圆心到直线x-2y=0的距离是d，那么,当y=p时，d有一个最小值，由问题设定。解决方案2:将圆心设为C(x，y)，然后因为，,所以圆心的轨迹方程是，如果从直线x-2y m=0到直线x-2y=0的距离设置为，则因为x-2y 2=0与没有公共点，因此，当x-2y-2=0且只有一个公共点时，从该点到直线x-2y=0的最小距离为将(2)替换为(3)，解3:将圆心设为C(x，y)，然后如果从圆心到直线x-2y=0的距离是d，那么因为，,当时，d有一个最小值，由问题设定。16.椭圆C1:和抛物线C 23:是已知的，C1和C 2的公共弦AB穿过椭圆C1的右焦点。(1)当AB轴时，求出，的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；(2)是否有一个值，使得抛物线C2的焦点正好在直线AB上？如果存在，则查找限定的、和的值；如果没有，请解释原因。解：(1)当ABx轴，点a和b关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程是x=1，所以点a的坐标是(1，),或(1，-)。因为点a在抛物线上，也就是说，C2的焦点坐标是(，0)，焦点不在直线ab上。(2)解1当C2的焦点是AB时，直线AB的斜率由(I)可知，直线AB的方程设为。AyBOx通过消除y.(1)让A和B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)。那么x1和x2是等式1中的两个，x1 x2=1。因为AB既是穿过C1右焦点的和弦，也是穿过C2焦点的和弦，所以，还有。因此。那就是。我能理解。因为C2的焦点在一条直线上，所以。那是。当时，直线的方程式是：当时，直线AB的方程式是。解2当C2的焦点是AB时，直线AB的斜率由(I)可知，直线AB的方程成立。因为。通过消除y.(1)因为C2的焦点在一条直线上，所以，也就是说，替换(1)已经。那是。 让A和B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)。那么x1和x2是等式2中的两个，x1 x2=1。通过消除y.3由于x1和x2也是等式3中的两个，x1 x2=1。因此=。可以解决。因为C2的焦点在一条直线上，所以。那是。当时，直线的方程式是：当时，直线AB的方程式是。第三种解决方案是将A和B的坐标分别设置为(x1，y1)、(x2，y2)。因为AB穿过C1的右焦点和C2的焦点，所以。那是。 从(1)开始，然后是直线AB的斜率，(2)直线的方程式是，因此.3正因为如此，所以.(4)将、代入，即。当时，直线的方程式是：当时，直线AB的方程式是。17.如图所示，一条倾斜角为的直线穿过抛物线的焦点，并在点和点处与抛物线相交(1)求出抛物线焦点f的坐标和准线l的方程；(2)如果A是一个锐角，与线段AB的X轴相交的垂直平分线M在点P，证明|FP|-|FP|cos2a是一个固定值，并找到这个固定值。(1)解：如果抛物线的标准方程是，那么，焦点的坐标就是(2，0)。准线方程的通式是。所以准线l的方程是。答案(21)图(2)解决方案1:如图(21)所示，对于bdl acl，垂直脚是c和d，然后|FA|=|FC|，|FB|=|BD|。如果A和B的横坐标分别为xxxz，则| FA |=| AC |=被求解。同样，它也可以解决。如果直线m和AB的交点是e，那么,所以。因此。解决方案2:如果，应变的斜率代入这个公式，我们得到。如果直线m和AB的交点是，那么因此，直线m的方程是。设y=0，得到p的横坐标。因此，它是一个固定值。18.众所周知，正三角形的三个顶点都在抛物线上，这里是坐标的原点，圆是内切圆(点是圆的中心)(1)求圆的方程；(2)设圆的方程是分别在圆的任一点和切点作两条切线得到的最大值和最小值。(1)解决方案1:将两点的坐标设置为，并从问题中了解。是的，所以，或者，如果圆心的坐标是，那么圆的方程是。解决方案2:将两点的坐标设置为，并从问题中了解因为，可用，即从可以看出，这两个点是对称的，所以圆心在轴上。如果点的坐标是，那么点的坐标是，所以存在，并且解是，所以圆的方程是。(2)解决方案：然后设置。在中，从圆的几何属性派生而来，因此，可以从这里获得。那么最大值是，最小值是。19.如果A和B是抛物线y2=4x上的两个不同点，并且弦AB的垂直平分线(不平行于Y轴)在点P处与X轴相交，那么弦AB被称为点P的“相关弦”。已知当x2时，在点P(x，0)处有无限多的“相关弦”。给定x02。(1)证明点P(x0，0)的所有“相关弦”的中点的横坐标是相同的；(2)问：在点P(x0，0)处“相关和弦”的和弦长度是否有最大值？如果存在，求其最大值(用x0表示):如果不存在，请解释原因。解： (1)将AB设置为点P(x0，0)的任何“相关弦”，并且点a和b的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2)，然后y21=4x1，y22=4x2，并且减去这两个公式以获得(y1 y2)(y1-y2)=4(x1-x2)。自x1x2，y1 y20。将直线AB的斜率设置为k，弦AB的中点设置为M(xm，ym)，然后k=。所以AB的垂直平分线的方程是点P(x0，0)又在直线上，所以因此，点P(x0，0)的所有“相关串”的中点的横坐标是x0-2。(2)从(1)开始，线AB所在的直线方程被代入，有组织的()是方程()和()的两个实根如果点p处“相关弦长”AB的弦长是l，那么因为04xm=4(xm-2)=4x0-8，那么设置t=，然后t(0，4x0-8)。记住l2=g(t)=-t-2(x0-3)2 4(x0-1)2。如果是x03，那么2(x0-3) (0，4x0-8)，那么当t=2(x0-3)，即=2(x0-3)时，l的最大值为2(x0-1)。如果为23，则点P(x0，0)的“相关弦”的弦长有最大值，最大值为2(x0-1)；当2 x03时，点P(x0，0)的“相关弦”的弦长没有最大值。ABOQyxlM20.众所周知，曲线C是点P()和与直线距离相同的点的轨迹。是穿过点q (-1，0)的直线，m是C上的移动点(不是C上的)；a和b在顶部和轴上(如图所示)。(1)找出曲线c的方程；(2)求直线的方程，使之为常数。(1)解决方案：设置到上一点，然后，到直线的距离是。简化得到曲线方程。(2)解决方案1:设定，直线，然后，这样。因为。所以。嘿。这时，从而得到直线方程。解决方案2:设定直线，然后，因此ABOQyxlMH腰神经2。垂直于画一条直线。因为，因此，Oyx1lF。这时，从而得到直线方程。21.如图所示，已知点和直线是平面上的移动点。垂直于一条直线，垂直于脚作为一个点，和。(1)找到移动点的轨迹方程；(2)穿过该点的直线在两点处与轨迹相交，并且在该点处与直线相交，这是已知的，并且获得该值；解决方案1: (1)建立一个点，然后，通过：这很简单。(2)让直线方程为：PBQMFOAxy此外，联立方程，消除：因此通过，获取：，整理出：，一、抛物线的定义及其应用例1，让p是抛物线y2=4x上的一个移动点。(1)求出从点p到点a (-1，1