简谐振动及其周期推导与证明(原创)

简谐共振及其周期公式的推导与证明简并共振：制造机械振动物体时，其位移和时间的关系遵循正弦(或馀弦)函数定律的振动称为简并共振。位移：用x表示的话，是指振动物体相对于平衡位置的位置变化，可以从单纯的共振动作定义中得到x的一般式(以下，说明各物理符号的定义)。振幅： a表示物体相对于平衡位置的最大位移全振动：从任意时刻起，物体的运动状态(位置、速度、加速度)再次返回到与该时刻完全相同的过程频率：单位时间内物体完成全振动的次数称为频率，用f表示周期：物体完成一次全振动所需的时间用t表示用角频率：来表示，将频率的2倍称为角频率，角频率也是描述物体的振动速度的物理量。 角频率、周期、频率这三者关系为=2/T=2f；相位：表示相位，相位以角度的形式出现，容易讨论振动的细节，相位的变化率为角频率初相：由位移通式表示的初相，即t=0时的相位，记述单纯共振的初始状态复原力：使物体回到平衡位置，始终指向平衡位置的力。 (因此，恢复力和向心力是有效力)用f表示物体受到的复原力，用x表示球相对于平衡位置的位移，二次引导x时，如下所示此外，由于F=ma，最后得到f和x的关系式由此可知，复原力的大小与物体相对于平衡位置的位移的大小成正比。式中的k是振动系统的复原力系数(只是弹簧振子系统中k正好是力系数)，负意味着复原力的方向始终与物体的位移方向相反。简单共振的动周期式：请记住，该式是简单共振的动普适式，式中的k是振动系统的复原力系数，与弹簧力系数无关。单摆周期式：首先，只有偏角不太大时(一般认为小于10 )，单摆的运动才能近似简单共振。我们将偏角设为x，将单摆位移设为l，小时候有关系式，单摆运动的恢复力F=mgsin单摆运动中复原力系数代入单纯共振周期的一般式子中，如下所示简谐振动周期公式的推导与证明：(1)寻求诱导法：求x二次导数的话从F=ma=-kx的双曲馀弦值。(2)等价替代I :作等速圆周运动的物体向任意直径的垂直投影作单纯共振运动。这是研究简谐振运动的重要结论。证明以下事项：如图所示，设物体进行等速圆运动，以线速度为v、半径为r、角速度为圆心为坐标原点来确立坐标系，设初始位置与圆心的线与x轴所成的角度为t，则该物体相对于投影在x轴上的原点的位移x得到满足，由此可见，该投影具有简单的谐振动作。由于进行等速圆周运动的物体向任意直径的垂直投影进行单纯共振运动，因此投影单纯共振运动的周期与物体进行等速圆周运动的周期相等。向x轴方向投影运动的加速度与向物体的心的加速度的x轴方向分量相等，当投影为质量m的物体时，该物体进行简并运动所需要的复原力，正好关注从投影原点开始的位移的大小，由于该位移方向与f方向相反，那么，所以(3)等效替代II (仅对弹簧振子有效)；以弹簧振子为例，设振幅为a、弹簧刚性系数为k、振子质量为m、振动周期为t时，在从最大位移开始运动的周期内，存在数值上与物体的最大运动量相等的力f。在该周期中，恢复力f引起的总脉冲的大小从动量定理可以看出，基于等效力f的脉冲量具有与脉冲量相同的大小，关于弹簧振子，可以通过能量保存来得到就这样因此，我们可以：(4)能量保存(仅对弹簧振子有效)以弹簧振子为例，当振动没有能量损失时，动能、势能相互变化，保存机械能