高中数学抽象函数常见题型及解法教案

抽象函数的一般问题类型及解法综述抽象函数是没有给出函数的具体解析表达式，而给出表达函数特征的表达式的一种函数。 由于抽象函数表示形式的抽象性，这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常隐而不漏，但一般以学到的常见函数为背景，常用代数表示给出函数的性质。 抽象函数的相关主题是在知识网络的交叉点设计的大学入学考试对抽象函数的要求是调查函数概念和知识内涵和外延的把握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后续学习的可能性。 为了扩大读者的视野，特别对抽象函数的常见问题类型和解法进行如下评价。一、函数的基本概念问题1 .抽象函数的定义域问题例1已知函数的定义域是 1，2 ，求出的定义域解：由于定义域为 1，2 ，为1x2，因此为1x4即函数的定义域为 1，4 评价：一般来说，已知函数的定义域是a，求出的定义域问题相当于将已知的x取值的范围设为a，由此求出的值域问题对于已知函数的定义域是-1，2 ，获得该函数的定义域解：由此得出的自由定义域是-1，2 ，意味着所有受影响的对象都在-1，2 - 1log (3- x )2 ()3-x() 1x) .函数的定义域为1，。评价：这样问题的一般形式是，已知的函数的定义域为a，求出函数的定义域.正确理解函数符号及其定义域的含义是解决这样的问题的关键如果有意义，则需要xA .这样问题实质上已知的值域为a，基于此求出x的取值的范围.2 .抽象函数的值域问题例4将函数(x )定义为实数集，对于任意实数x、y，求出函数(x )的值域，以使(x y)=(x)(y )始终成立且xx .解：如果x=y=0，则(0)=(0)，即(0)=0或(0)=1.(0)=0，(x)=(x 0)=(x)(0)=0，对于任意xR成立，存在实数xx，与(xx成立不矛盾.(x y)=(x)(y )对于任意x，yR都成立，因此对于任意xR都有(x)=()=()=()0。以下，对于任意xR，仅证明(0)0即可.如果存在xR使得(x)=0，则(0)=(x-x)=(x)(-x)=0这与(0)0不矛盾，因此对于任意xR，其为(x)0 .所以(x)0评价：处理抽象函数问题时，常常需要对某个变量进行恰当的代入，这通常是特殊变换所必需的手段3 .抽象函数的解析表达式问题在例5中，对于满足x0、x1全部实数x，设函数(x )满足(x) ()=1 x，求出(x )的解析式.解： (x) ()=1 x，用(1)替换x，如下所示() (-=，)在(1)中用-替换x，(-) (x)=，(1)-(2)简化： (x)=评价：如果把x和各自看作两个变量，那么如何实现从两个变量向一个变量的转换是一个问题点。 通常，适当地分配给若干变量，使其在关系中“消失”，并且保留一个变量是实现这种转换的重要策略二、寻找特殊函数模型问题1 .指数函数模型例6定义为实数集r，x0时为 1，对于任意实数x、y，为(x y)=、同时(1)=2、不等式(3x-x)4.联想：由于a=aa(a0，a1 )，因此可以推测其模型函数为=a(a0，a1 ) (1)=2，进而推测为=2.思考分析：=4，求解不等式化是(3x-x ) .这样，证明函数(由=2，仅证明单调增加)成为解决问题的突破口.解：取x=y=0为(x y)=(x) (y )，得到(0)=(0)(0)=0、x0、y=0时，与(x)=0、x1相矛盾x0时，(x)10，x0、(-x)10(x) (-x)=(0)=1x=0。另外，在x=0的情况下，(0)=10、xR、(x)0。当-xx0、(x-x)1.( (x)= x (x-x)=(x)(x-x)(x )y=(x)r中为增加函数另外，(1)=2，222222444铮铮铮铮6533x-x2、1x2.2 .对数函数模型例7已知函数的满意度：()=1； 函数的值域为-1，1 ； 在该定义域中单调减少=(xy )对于任意正的实数x、y成立。由于Lenovo:log(xy)=logx logy、log=1、y=logx是在其定义域-1，1 内减去函数，因此推测该模型函数为=logx且模型函数为=() .思维方式分析：条件中已知的逆函数存在，在定义域-1，1 中减少，只要用模型函数的性质和算法证明其馀的，问题就可以解决解：从已知的条件可以看出，存在(x )的逆函数，在(1)=，并且定义域-1，1 中单调减少。若设y=(x )，y=(x )，则x=(y )，x=(y )x x=(y) (y)=(yy )，即yy=(x x )。=因此，原不等式等于：x=0故原不等式的解集为0为了解决这些问题，可以通过抽象化的具体方法，即联想、分析和类比推测，经过具有非逻辑思维成分的推理，找到其函数模型，从这些函数模型的性质、规律中探讨这些问题的解题思路。3 .函数模型例8已知函数对于任意实数x、y=，且=1、=9，在0x1时为0-1时.判断的奇偶校验判断和证明 0，的单调性a0且，求出a的可取范围。联想：因为它是=(xy )，所以模型函数被推测为=(由=9，另外=x )。思考分析：由于从问题设定可知是函数y=x的抽象函数，因此被认为是偶然函数，在0，时是增加函数。解：如果命令y=-1222222222222222222222222652x0的话= 0。假设0xx，则为0-1=x0时0，且0x0时，对于(x)1且任意实数x、y，求出(x y )=(x )、(y )，x )是r增加函数.证明： x=y=0取自(x y)=(x)(y )，(0)=(0)=0、x0、y=0时，与(x)=0、x1相矛盾x0时，(x)10，x0、(-x)10(x ) (-x )=(0)=1，87563； (x)=0。另外，在x=0的情况下，(0)=10、xR、(x)0。当-xx0、(x-x)1.( (x)= x (x-x)=(x)(x-x)(x ) y=(x )是r上的增加函数。评估：一般而言，抽象函数满足的关系表达式应当被视为是给定算法，并且变量的代入、变量和数值的分解以及它们的组合应当尽可能与已知表达式或给定的关系表达式以及所确定的结果相关联2 .抽象函数的奇偶校验问题例10已知函数(x) (xR，x0 )都具有不等于零实数x，x具有(xx)=(x) (x )，尝试函数(x )的奇偶校验.解：取x=-1，x=1: (-1 )=(-1 ) (1)，(1)=0。此外，取x=x=-1:(1)=(-1 ) (-1 )，(-1)=0.如果x=x，x=-1，则(-x)=(-1) (x )即(-x)=(x )其中x是非零函数，222222222222222222222223 .抽象函数的周期性问题例11函数定义域是整体实数，对于任意的实数a、b，存在(a b) (a-b)=2(a) (b )，由于存在C0，因此变为=0，求证(x )成为周期函数.联想：由于cos(a b) cos(a-b)=2Cosacosb，cos=0，因此其模型函数为y=cosx，根据y=cosx的周期，预计2c为一个周期思考分析：如果证明2C是一个周期，则从证明=、已知条件=0和(a b) (a-b)=2(a) (b )得知，必须选择a、b的值的是条件式的出现和证明：假设a=x，b=，代入(a b) (a-b)=2(a) (b )(x C )=-(x )(x 2C )=(x C) C =-(x C )=(x )是以2C为周期函数.评价：如果不将馀弦函数作为模型，很难认为是2C求出的函数的周期。 解题的想法很难。 由此可知，求出和构建适当的模型函数，为了思考和解题的方向性，是处理开放型问题的重要战略。4 .抽象函数的对称性问题例12已知函数y=是满足=2002而求出的值.解：在式=2b中，由于a=0，b=2002，所以函数y=关于点(0，2002 )对称，根据原函数与其逆函数关系，可知函数y=关于点(2002，0 )对称.=0如果将上式中的x置换为x-1001，则=0评价：这是同一函数图像关于点对中心对称问题，在解题中使用如下命题：将a、b全部设为常数，函数y=相对于全部实数x满足=2b时，函数y=的图像关于点(a、b )成为中心对称的图形.四、抽象函数中的网络综合问题对于任何实数m，n，且当x0时，实例13r中所界定的函数满足0、B=(x，y)|=1，aR，试着尝试AB=、a可能的范围。解： (1)中，m=1，n=0，得=，0，因此设为=1。当m=x，n=-x时x0时，为01x 0，0 10。另外，在x=0情况