高中数学排列组合及二项式定理知识点

高中数学中排列组合的二项式定理一、分类计数原则和分步计数原则：分类计数原则：如果有几种不同的方法来完成一件事情，这些方法是相互独立的，并且其中任何一种方法都可以达到完成一件事情的目的，那么完成一件事情的方法的总数就是这些方法的总和。分步计数原则：如果一件事情完成了，它必须被分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，一个步骤中的任何一个方法都可以与下一个步骤中的每个方法相联系。只有依次完成所有步骤，才能达到完成事情的目的，那么完成事情的方法总数就是方法总数的乘积。区别：如果任何一种方法都可以做到这一点，则采用分类和计数的原则，即类别相互独立，即“分类完成”；如果这件事只有在所有步骤都完成后才能完成，那么就采用逐步计数原则，即这些步骤是相互依存和连续的，即“逐步完成”。二、安排与组合：(1)排列和组合的区别和联系：都是研究从不同的元素中取出元素的问题；区别：前者有秩序，而后者没有秩序。(2)排列组合数：置换数公式：注：全部布置：(2)记住下面的阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；置换数的性质：(1)(将从不同的元素中取出元素，分两步完成：第一步是从要放置在指定位置的元素中选择一行；第二步是从剩余的元素中进行选择，并将它们排列在剩余的位置)(2)(将从不同的元素中取出元素，分成两种类型来完成：第一类由元素组成，分两步完成：第一步将在某个位置。有不同的方法。第二步是从剩余的元素中进行选择，并将它们排列在剩余的位置)有一种不同的方式。第二种类型：没有两种元素。有2种方法可以从3个元素中取出3个元素，并把它们放在3个位置。组合数公式：组合数的性质：(1)(从2个不同的元素中取出2个元素后，还剩3个元素，也就是说，从2个不同的元素中取出2个元素的每个组合对应于从2个不同的元素中取出2个元素的唯一组合。)(2)可分为两类：第一类包括两种方法。类型二：不，有两种方法。)(3)第一步是首先选择一个元素，第二步是从其余元素中选择一个，但有重复。例如，选择第一个然后选择形成组合与选择第一个然后选择形成组合是相同的，并且有重复)(4)(分类：第一类：包括，用于；第二类：排除，包括，是；第三类：排除，排除，包括，是；)(将元素分成两部分，第一部分包含元素，第二部分包含元素：取第一部分中的一个元素，第二部分中没有元素。有：取第一部分的一个元素和第二部分的一个元素。有：)(3)排列组合的应用：在解决排列组合问题时，我们应该主要掌握它是排列还是组合，然后才知道我们是需要分类还是一步一步来。记住：应该区分排列和分组(有序排列和无序组合)，并且分类应该逐步清晰有三种主要的排列组合问题：没有限制的排列组合问题；有限制地安排或组合问题；排列组合；通常有以下几种方法来解决排列组合的应用问题：(1)以元素为主，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素特殊元素的方法(2)位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置特殊位置的方法(3)计算置换或组合数量的间接方法，不考虑附加条件，然后减少不需要的置换或组合的数量(3)解决排列组合问题的基本策略和方法：(1)杂质的去除：对于条件有限的问题，首先要综合考虑，然后去除所有不符合条件的条件。这是解决排列组合应用问题的常用方法。(2)分类和处理：当一些问题没有得到普遍解决时，通常将其分为几类，然后根据分类和计数原则得出结论。这是解决排列组合问题的基本策略。注意：分类不重复或省略。也就是说，每两个类的交集是一个空集合，所有类的并集是一个完整的集合。(3)分步处理：类似于分类处理，当一些问题一般不容易解决时，通常将其分成几个步骤，然后通过分步计数原理来解决。在处理排列组合问题时，通常需要进行分类和逐步处理。原则是先分类，然后逐步分类。插入法(insert method):某些元素不能相邻插入。也就是说，首先排列没有限制的元素，然后根据需要将有限制的元素插入排列的元素之间。(5)“绑定”方法：要求某些元素相邻，将几个相邻的特殊元素“绑定”成一个大元素，然后与其他“普通元素”完全排列，最后“松开”以将特殊元素完全排列在这些位置，这就是“绑定方法”。穷举方法：将所有符合主题要求的排列组合逐一排列。排序消除：在解决均匀分组问题时，必须区分“有序分组”和“无序分组”。如果是“无序分组”，我们必须消除由同一个均匀分组虚拟产生的排序因子。第三，二项式定理：(1)通用术语：(2)二项式系数的性质：(1)在二项式展开中，距离第一个和最后一个端点“等距”的两个项的二项式系数相等，即：(2)在二项式展开中，中间一项或两项的二项式系数相等且最大。也就是说，当它是一个偶数时，第一项的二项式系数最大，即：当数为奇数时，项和项的二项式系数最大，即：(3)二项式展开中所有项的二项式系数之和等于，即：(4)在二项式展开中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即：(3)展开式中的系数计算方法(的整数和)例如，扩展公式中包含的系数为(4)二项式定理的应用：(1)查找扩展中的指定项或特定项：例如：如果展开式包含常数项，最小值为；(2)膨胀中的常数项。注意：对于有三个或更多项目的展开问题，将一些两个项目合并成一个项目，并使用二项式定理来解决它。(2)求出展开式中某一项的系数：例如，在的展开式中，系数为；(3)在展开式中找出系数和：例如，所有项的系数之和为(赋值方法：顺序)；(订单)(4)二项式展开最大系数的求解问题：对于展开式中系数最大的项，一般假设展开式的系数分别为：如果项系数最大，则；然后得到该不等式组的整数解。例如，在展开式中找出系数最大的项。(5)用二项式定理证明可分问题和余数的解：例如：验证：可以除以64()不等式问题的证明：二项式定理结合标度法可以证明一些不等式，即删除(约化)二项式展开式中的一些正项或删除(扩大)一些负项，