高中数学必修3月考

【知识点：概率】一随机事件的概率及概率的意义1、基本概念：（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率二 概率的基本性质1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若AB为不可能事件，即AB=，那么称事件A与事件B互斥；（3）若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则AB为必然事件，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0P(A)1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则AB为必然事件，所以P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。三古典概型及随机数的产生1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。（2）古典概型的解题步骤；求出总的基本事件数；求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=四几何概型及均匀随机数的产生1、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：P（A）=；（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等【例题讲解】1. 从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ）A B C D 无法确定2. 从个同类产品（其中个是正品，个是次品）中任意抽取个的必然事件是（ ）A. 个都是正品 B 至少有个是次品C 个都是次品 D 至少有个是正品3. 从装有个红球和个黒球的口袋内任取个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A 至少有一个黒球与都是黒球 B 至少有一个黒球与都是黒球 C 至少有一个黒球与至少有个红球 D 恰有个黒球与恰有个黒球4 平面上画了一些彼此相距的平行线，把一枚半径的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率 5.甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢. (1)若以A表示和为6的事件,求P(A); (2)现连玩三次,若以B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,试问B与C是否为互斥事件?为什么? (3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.【方法技巧】不放回抽样与列举法1.关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可看作有顺序，又可看作无顺序，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误.2.思维升华(1)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来，然后求出其中的基本事件总数、A包含的基本事件的个数，再利用古典概型的概率公式求出事件的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按某一顺序，做到不重复、不遗漏.(2)事件A的概率的计算，关键是分清基本事件总数与事件A中包含的个数.因此，必须要解决好下面三个方面的问题：本试验是否是等可能的；本试验的基本事件有多少个；事件A是什么，它包含多少个基本事件.只有回答好了这三个方面的问题，解题才不会出错.6.(2011通州模拟)已知集合 (x,y)|x0,2,y-1,1. (1)若x,yZ，求x+y0的概率； (2)若x,yR，求x+y0的概率.7.某中学的高二(1)班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组. (1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；(2)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；8. (d22.(12分)某班同学利用国庆节进行社会实践，对25,55岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图并求n、a、p的值；(2)从年龄段在40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在40,45)岁的概率.9.甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率【课堂练习】1.一个三位数字的密码键,每位上的数字都在到这十个数字中任选,某人忘记后一个号码,那么此人开锁时,在对好前两位数码后,随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为_2. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是 3. 先后抛掷骰子三次，则至少一次正面朝上的概率是（ ）A B C D 4. 设为两个事件，且，则当（ ）时一定有A 与互斥 B 与对立 不包含5. 在件产品中，有件一级品，件二级品，则下列事件：在这件产品中任意选出件，全部是一级品；在这件产品中任意选出件，全部是二级品；在这件产品中任意选出件，不全是一级品；在这件产品中任意选出件，其中不是一级品的件数小于，其中是必然事件；是不可能事件；是随机事件 6. 投掷红、蓝两颗均匀的骰子，观察出现的点数，至多一颗骰子出现偶数点的概率是_ 7. 在区间中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是_ 8. 在的水中有一个草履虫，现从中随机取出水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是_ 9.(2011福鼎高一检测)甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a,b1,2,3,4,5,6，若a=b或a=b-1，就称甲乙“心有灵犀”现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )(A) (B) (C) (D) 10.(2011宁德模拟)古田一中学校路口,红灯时间为30秒,黄灯时间为5秒, 绿灯时间为45秒,当你到这个路口时,看到黄灯的概率是( )(A) (B) (C) (D) 11.已知实数a满足下列两个条件：关于x的方程ax2+3x+1=0有解；代数式log2(a+3)有意义.则使得指数函数y=(3a-2)x为减函数的概率为_.12. 现有一批产品共有件，其中件为正品，件为次品：（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取件，求件都是正品的概率 13. 某路公共汽车分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于分钟的概率（假定车到来后每人都能上） 14. 一个路口的红绿灯,红灯的时间为秒,黄灯的时间为秒,绿灯的时间为秒,当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少?(1) 红灯 (2) 黄灯 (3) 不是红灯15. 袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各个，从中任取只，有放回地抽取次 求：(1)只全是红球的概率； (2)只颜色全相同的概率；(3) 只颜色不全相同的概率 【课后作业】1. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出个球，摸出红球的概率是，摸出白球的概率是，那么摸出黒球的概率是（ ）A B C D 2.下列说法正确的是（ ）A.任何事件的概率总是在（0，1）之间B.频率是客观存在的，与试验次数无关C.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D.概率是随机的，在试验前不能确定3、下列事件中，随机事件的个数是( )如果a、b是实数，那么b+a=a+b；某地1月1日刮西北风；当x是实数时，x20；一个电影院栽天的上座率超过50%。A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4 抛掷颗质地均匀的骰子，求点数和为的概率 5、如图，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm，4cm，6cm，某人站在3m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算（可重投），问：(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？6、有100张卡片（从1号至100号），从中任取一张，计算：（1）取到卡号是7的倍数的有多少种？（2）取到卡号是7的倍数的概率。概率答案【例题讲解】1 B 2aroM2 D 至少有一件正品 3.D4. 解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件，为了确定硬币的位置，由硬币中心向靠得最近的平行线引垂线，垂足为，如图所示，这样线段长度（记作）的取值范围就是，只有当时硬币不与平行线相碰，所以所求事件的概率就是=5.【解析】(1)基本事件与点集S=(x,y)|xN,yN,1x5,1y5中的元素一一对应.因为S中点的总数为55=25(个),所以基本事件总数为25.事件A包含的基本事件共5个:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1).所以(2)B与C不是互斥事件.因为事件B与C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次的事件即符合题意.(3)这种游戏规则不公平.由(1)知和为偶数的基本事件为13个：(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5).所以甲赢的概率为,乙赢的概率为所以这种游戏规则不公平.6.【解析】(1)设事件“x+y0,x,yZ”为A,x,yZ,x0,2，即x=0,1,2;y-1,1,即y=-1,0,1.则基本事件如表，基本事件总和n=9，其中满足“x+y0”的基本事件n=8P(A)= ,故x，yZ,x+y0的概率为.(2)设事件“x+y0,x,yR”为B,x0,2，y-1,1,基本事件用下图四边形ABCD区域表示，SABCD=22=4事件B包括的区域如阴影部分S阴影=SABCD- ,故x,yR，x+y0的概率为7.【解析】(1) 某同学被抽到的概率为.设有x名男同学，则，x=3，男、女同学的人数分别为3,1.(2)把3名男同学和1名女同学记为a1,a2,a3,b，则选取两名同学的基本事件有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b),(a2,a1),(a2,a3),(a2,b),(a3,a1),(a3,a2),(a3,b),(b,a1),(b,a2),(b,a3)共12种，其中有一名女同学的有6种.选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为8.【解析】(1)第二组的频率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)5=0.3，所以高为.频率直方图如下：第一组的人数为，频率0.045=0.2，所以由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 0000.3=300，所以 第四组的频率为0.035=0.15，所以第四组的人数为1 0000.15=150，所以a=1500.4=60.(2)因为40,45)岁年龄段的“低碳族”与45，50)岁年龄段的“低碳族”的比值为6030=21，所以采用分层抽样法抽取6人，40,45)岁中有4人，45，50)岁中有2人.设40,45)岁中的4人为a、b、c、d，45,50)岁中的2人为m、n，则选取2人作为领队的有(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,m)、(a,n)、(b,c)、(b,d)、(b,m)、(b,n)、(c,d)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d，n)、(m,n)，共15种；其中恰有1人年龄在40,45)岁的有(a,m)、(a,n)、(b,m)、(b,n)、(c,m)、(c,n)、(d,m)、(d,n)，共8种.所以选取的2名领队中恰有1人年龄在40,45)岁的概率为9.解：以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件是。在平面上建立直角坐标系如图中的阴影部分所表示。这是一个几何概型问题，由由几何概型的概率公式，得。【课堂练习】1 2 3.D4.B 对立事件 5.; ; 6. 其对立事件为都出现奇数点，7 25/75 8 9.【解析】选C.所有的基本事件共有36个，其中“心有灵犀”包含的基本事件有(1，1)(1，2)(2，2)(2，3)(3，3)(3，4)(4，4)(4，5)(5，5)(5，6)(6，6)共11个，所以，故选C.10.【解析】选D.易知该题为几何概型，根据几何概型的概率公式得11.【解析】满足条件的实数a的范围是，满足条件的实数a的范围是a-3，则满足条件的实数a的范围是，要使指数函数y=(3a-2)x为减函数，只需03a-21 即，故所求的概率为 答案：12. 解：（1）有放回地抽取次，按抽取顺序记