函数极限的定义

第三节函数极限的定义,一、函数在有限点处的极限,在上节中，我们讨论了数列的极限.而我们又知道数列是一种特殊的函数定义在正整数集上的函数.那么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全面引入函数极限的定义.,引例设函数,尽管函数在点处没有定义，,但当无限趋近于1而不等于1时，,相应无限趋近于2.,或,定义设函数在点的某个空心邻域中有定义，如果存在常数，使得对于任意给定的正数，总存在正数，对于满足的一切，都有,那么常数就称作函数当时的极限，记为,函数极限的几何意义,对于任意，,对满足的一切，,都有,总存在正数，,例函数,注1：函数在点处的极限与函数在这一点是否有,定义、或为多少毫无关系，它所反映的是在,则有,该点附近的变化趋势.,经过不等式的变形，得到关系,注2:函数在点的极限的定义说明了如何去证明,其中是一个与无关的常量.再取，则当,函数在点的极限为的方法：对于考虑,时，有：,此即说明,例1证明下列极限,证因,所以,取，当时，可使,故,因,欲使即,所以不妨取此时令,则当时，有,因而,例2证明,证因,所以,取，当，可使,所以,例3证明,证因,为能解出不等式，要对进行适当的控制，,为此限定的变化范围为，此时有,所以,取，当时，,可使,所以,证因,例4证明,取即所以,所以,取，当时，,所以,证因,例5设，证明,所以,取，当时，,可使,所以,左右极限,考虑函数:,是当在该点两侧趋近于时，函数有一个确定的变化,趋势.但某种情况下，函数在两侧的趋势是不同的，,这就需要分别加以讨论.,前面讨论的是函数在某一点的极限，它反映的,该函数在点两侧的变化趋势是不同的:,当在0的右侧趋近于0时，,当在0的左侧趋近于0时，,这就导出左右极限的概念.,那么称作在处的左极限，记为,左极限定义：若当时，,使得,那么称作在处的右极限，记为,右极限定义：若当时，,使得,或,或,容易证明：,例如：,定理极限存在的充分必要条件是在点,处的左右极限存在并且相等.即,存在均存在，且,解因,例6说明极限不存在.,所以极限不存在.,二、函数在无穷远处的极限,定义设函数在时有定义，为常数.,若，当时，使得,则称为函数在时的极限，记为,或,若，当时，使得,则称为函数在时的极限，记为,或,若，当时，使得,则称为函数在时的极限，记为,或,例7证明,证因,所以,取，当时，使得,所以,例8证明,证因,只要，即,所以,取，当时，使得,所以,类似可证,证因,例9证明,所以,取，当时，使得,所以,例10证明,所以,取，当时，使得,证因,当时，则有不等式,所以,三、极限的性质,即：在的某个空心邻域内有界.,定理1(局部有界性)如果极限存在，,证设，由定义，对存在,当，即有,那么在的某个空心邻域内，函数有界.,证设，由定义，对存在,当时，有从而,定理(有界性)如果极限存在，那么存在,取，则对所有的，有,使得对所有的，有,定理2(极限的保号性)如果，则存在点,的某个空心邻域内，使得在该邻域中有：,证设，由定义，对存在,当时，有,定理2(保号性)如果，则存在正整数,当时，有：,推论在的某个空心领域中，有且,则,注意：如果推论的条件改成（严格大于），则,不能推出例如时但,证设，则当时，,定理3(函数极限与数列极限的关系),则此数列相应的函数值数列收敛，且,设存在，又设是函数定义域中的,一个任意数列，且,由条件故对，当时，有,即,因而,即,此定理的一个实际意义是：,使其函数值数列收敛到两个不同的值，即,如果能够找到自变量的两个不同子列,则说明函数在这一