高中物理竞赛中的高等数学

高中物理竞赛中的高等数学一、初步演算物理学研究物质的运动规律，所以我们经常遇到的大多数物理量都是变量，我们需要研究的是一些变量之间的关系。这样，微积分这个数学工具就变得必要了。考虑到如果读者在学习基础物理课时能更早地掌握一些微积分的基础知识，深入理解一些基本的物理概念和定律是非常有益的。因此，这里我们将简要介绍微积分中最基本的概念和简单的计算方法。我们不要求严格和完整的描述方法，而是更多地依靠直觉，并与物理课的需要紧密结合。对于微积分知识和方法的更系统和深入的掌握，可以通过学习高等数学课程来完成。1.功能及其图形1.1函数的自变量和因变量的绝对常数和任意常数在数学中，函数的定义如下：有两个相互关联的变量x和y，如果每次变量x取某个值时，y的相应值都可以根据某个规则确定，那么y就是x的函数，并记录为：y=f(x)，(a . 1)；其中x被称为独立变量，y被称为因变量，f是函数符号，表示y和x值之间的对应关系。有时y=f(x)也称为y=y (x)。如果在同一个问题中遇到几种不同形式的函数，其他字母也可以用作函数符号，如j(x)、(x)等。(1)常用函数可以用公式表示，如、等。在一个函数的表达式中，除了变量之外，它通常还包含一些不变的量，比如上面出现的和，这叫做常数。常量有两种类型：一种是如，当它们出现在所有问题中时，它们的值是固定的。这种常数称为绝对常数。另一种，如甲、乙、丙等。其值需要在特定问题中给出，称为任何常数。在数学中，前几个拉丁字母(如A、B、C)代表任何常数，最后几个(X、Y、Z)代表变量。当给出y=f(x)的具体形式时，可以确定对应于自变量的任何具体值x0的函数值f (x0)。例如：(1)如果y=f(x)=3 2x，当x=-2时y=f (-2)=32 (-2)=-1。一般来说，当x=x0时，y=f (x0)=32x0。(2)如果是，那么在当时，图1.2功能在解析几何和物理学中，平面上的曲线通常用来表示两个变量之间的函数关系。这种方法非常有助于直观地理解函数的特性。映射方法是首先在平面上取一个直角坐标系，横轴表示自变量x，纵轴表示因变量(函数值)y=f (x)。这样，坐标是(x，Y)并且满足函数关系y=f(x)形成一条曲线，它描绘了函数的面。图A-1是第一示例y=f(x)=3 2x的图，其中P1、P2、P3、P4、P5的坐标是：(-2，-1)、(-1，1)、(0，3)、(1，5)、(2，7)，并且每个点连接成一条直线。图A-2是第二个例子的曲线图，其中P1、P2、P3、P4分别、和的点连接成双曲线的一个分支。1.3物理学中的函数示例反映任何物理规律的公式表达变量之间的函数关系。这里有几个例子。(1)匀速直线运动公式：s=s0 vt。(a.2)这个公式表达了当一个物体沿一条均匀直线运动时，位置s随时间t的变化规律，其中t相当于自变量x，s相当于因变量y，s是t的函数，因此，它被记录为：s=s (t)=s0 vt，(a.3)在公式中，初始位置s0和速度V是任意常数，s0与坐标原点的选择有关，V对于每个均匀线性运动都有一定的值，但是对于不同的均匀线性运动可以取不同的值。图A-3是这个函数的曲线图，它是一条倾斜的直线。很容易知道它的斜率等于v(2)匀速直线运动公式：(a.4)，v=v0 at。(a.5)在两个公式中，s和v都是因变量，都是自变量t的函数，因此它们被记录为：(a.6)，v=v (t)=v0 at，(a.7)图4a和4b分别是两个函数的曲线图，其中一个是抛物线，另一个是直线。(a.6)和(a.7)是一致可变线性运动的一般公式，其中初始位置s0、初始速度v0和加速度a都是任意常数，它们的值应根据所讨论的问题来确定。例如，当讨论自由落体问题时，如果在运动开始的地方选择坐标原点，则S0=0，V0=0，A=g 9.8m/S2，则(A6)和(A7)具有以下形式：(A8)；v=v(t)=gt。(a . 9)；这里的g可以看作是一个绝对常数，公式中不再有任何常数。(3)波义耳定律：PV=c(a10)对于一定质量的气体，上述公式表达了压力p和体积v之间的函数关系。在恒温条件下，公式中的c是任何常数。可以选择v作为自变量，p作为因变量。因此，(a10)公式可以写成如下：(a11)除了图中的x和y应该用v和p代替之外，它的数字与图A-2相同在公式(a10)中，你也可以选择p作为自变量，v作为因变量，所以它应该写成：(a12)因此，在公式中，自变量和因变量通常是相对的。(4)欧姆定律：(增13)当讨论一段导体中的电流I随外加电压u变化的问题时，u是自变量，I是因变量，r是常数。这时，(a13)应写如下：(a14)；也就是说，我与你成正比。应该指出，任何常数和变量之间的边界也不是绝对的。例如，当讨论串联电路中电阻元件间的电压分布时，因为流过每个元件的电流是相同的，所以(a13)中的电流I变为常数，R为自变量，U为因变量。所以u=u(r)=1R，(A15)即u与r成正比。但是当讨论并联电路的每个支路中的电流分布时，因为每个支路上有一个公共电压，(A13)其中u变为常数，r是独立变量，而I是因变量，所以：(A16)即I与r成反比总之，每一个物理公式都反映了一些物理量之间的函数关系，但其中哪些是自变量，哪些是因变量，哪些是常数，有时公式本身不能反映出来，需要根据要讨论的问题具体分析。衍生物2.1极限如果当自变量x接近某个值x0(表示为xx0)时，函数f(x)的值无限接近某个值a，则当xx0时，a称为函数f(x)的极限值，表示为：(a17)公式(a17)中的“lim”是英文单词“lim”的缩写。公式(a17)为“当X接近x0时，f(x)的极限值等于a。”极限是微积分中最基本的概念之一。它涉及广泛的问题。在这里，我们并不试图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义，而只是通过一个特殊的例子来说明它的意义。考虑以下函数：(A18)，其中除x=1外，在任何地方都不难计算函数值。例如，当时、时、时、等。但是如果你问函数值f (1)=？当x=1时。你会发现公式(a18)的分子和分母都等于0，就是说！使用0来移除0通常没有意义。因此，表达式(a18)并不直接给出f(1)，而是在X接近1时给出函数值。下表列出了当X从小于1到大于1接近1时f(x)值的变化。表A-1 x和f(x)变化值0.9-0.47-0.14.70.99-0.0497-0.014.970.999-0。-0.0014.9970.9999-0。-0.00014.99971.10.530.15.31.010.5030.015.031.0010.0.0015.0031.00010.0.00015.0003从上表可以看出，无论x的值从哪一侧接近1，分子和分母的比值都趋向于5，这是x1时f(x)的极限值。事实上，计算f(x)的极限没有这样的麻烦，只要公式(a18)的分子被分解：3x2-x-2=(3x 2) (x-1)，并且如果x1，因子分解(x-1)从分子和分母中消除：可以看出，当x趋向于1时，函数f(x)的值趋向于31 2=5。所以根据函数极限的定义，2.2物理学中的几个例子(1)瞬时速度当一个物体在任何直线上运动时，它的位置可以用它到坐标原点的距离来描述。在运动过程中，S随时间T变化，即S是T的函数：S=S (T)。函数s(t)指示对象何时何地到达。从视觉上讲，如果对象是火车，函数s(t)就是一个“旅行时间表”。然而，在实践中，人们往往对“时间表”不满意，需要知道物体的运动程度，即速度或速度的概念。例如，当车辆通过繁忙的街道或桥梁时，为了安全起见，其速度必须有一定的限制。一枚高射弹(如防空炮弹)能达到多高取决于它的初始速度等。为了建立速度的概念，有必要研究一段时间间隔内物体位置的变化。假设考虑从t=t0到t=t1的时间间隔，该间隔的大小为： t=t1-t0。根据S和T之间的函数关系s(t)，S的值在t0和t1=t0 T时分别为S (t0)和S (t1)=s(t0 T)，即从T0到T1的时间间隔内S发生变化： S=S (T1)-S (T0)=S (T0 T)-S (T0)。在相同大小的时间间隔t内，如果s的变化量s很小，则表示物体移动缓慢，因此该比值称为该时间间隔内的平均速度，用于表示(A.19)，例如如下。对于一致可变的线性运动，根据等式(a.4)有总和，；平均速度反映了一个物体在一段时间内移动的速度。除了匀速直线运动的特殊情况外，它的值或多或少与它的大小有关。采集的时间越短，它就越能反映当前物体的运动速度。通常，时间的极限值被称为物体在时间t=t0时的瞬时速度v，即(a20)对于一致可变的线性运动，这是常见的匀速直线运动速率公式(a.5)。(2)瞬时加速度一般来说，瞬时速度或瞬时速度v也是t的函数：v=v (t)。然而，在许多实际问题中，仅仅速度和速度的概念是不够的。还需要知道速度随时间变化的速度有多快，即建立“加速度”的概念。平均加速度和瞬时加速度概念的建立类似于和的建立。在直线运动中，首先，取一段时间间隔t0至t1，根据瞬时速度V和时间T之间的函数关系v(t)，可以知道。t=t0和t=t1时的瞬时速率分别为v(t0)和v (t1)=v (t0 t)，因此v在从t0到t1的时间间隔内变化 v=v (t0 t)-v (t0)。它通常被称为该时间间隔内的平均加速度，记录为：(a21)例如，根据等式(a.5)，对于一致可变的线性运动，有。所以平均加速度是(恒定的)。对于一般的变速运动，它也是相关的，此时，为了反映某一时刻的速度变化，有必要取时间的极限，即物体在t=t0时的瞬时加速度A.22)(3)应用实例渠道的坡度任何灌溉和排水渠道的两端之间都有一定的高度差，以使水流动。为简单起见，假设管道是直的，x坐标轴可以取为与管道方向相反的方向(见图A-5)，因此每个管道底部的高度h是x: h=h (x)的函数。知道了这个函数，我们可以计算任意两点之间的高度差。修建运河时，人们经常使用“斜坡”的概念。例如，如果运河的底部在距离运河100米处上升20厘米，人们说运河的坡度是，所以所谓的坡度是指每单位长度的高度差，它的大小反映了高度随长度的变化程度。如果用数学语言表示，应取一段运河，其两端坐标分别为x0和x1，因此运河长度为： x=x1-x0。根据h与x之间的函数关系h(x)，x0和x1=x0 x中h的值分别为h(x0)和h (x1)=h (x0 x)，因此h在 x: h=h (x0 x)-h (x0)的长度内变化。根据上述坡度定义，该段运河的平均坡度如下：(a23)在上例中，x使用100米的值。事实上，在100米范围内，运河的坡度可能因地而异。为了更详细地反映不同地方运河的坡度，应采用更小的长度间隔，间隔越小，x=x0处的坡度反映得越准确。因此，x=x0时的斜率k应该是平均斜率的极限值，即(a24)2.3函数变化率的导数前面给出了三个例子。在前两个例子中，自变量是T，在第三个例子中，自变量是X。这三个例子都表明，在研究变量之间的函数关系时，除了它们的数值“静态”对应之外，往往还需要有一个“运动”或“变化”的观点，重点研究函数变化的趋势、增减的速度，即函数的“变化率”的概念。当变量从一个值变为另一个值时，后者减去前者，这称为变量的增量。增量通常通过在代表变量的字母前加上“”来表示。例如，当自变量X的值从x0变为x1时，增量为 X X1-X0。(A.25)相应地，因变量y的值将从y0=f (x0)变为y1=f(x1)，其增量为yy1-y0=f(x1)-f(x0)=f(x0x)-f(x0)。(a.26)应该指出，增量可以是正的，也可以是负的，负的增量代表变量的减少。增量比，(A27)它可以称为x=x0到x=x0 x区间内函数的平均变化率，当x0称为函数y=f (x)到x的导数或导数时，它的极限值记录为y 或f(x)，(a28)除了或之外，衍生词或衍生词通常以其他形式书写，如、等。与增量不同，导数代表函数在某一点的性质，即该点的变化率。应该指出，函数f(x)的导数f(x)本身就是函数y=f(x)，所以它对x的导数可以再取一次，这叫做函数y=f (x)的二阶导数，记为、等。(补29)通过类比，不难定义高阶导数。利用导数的概念，前面例子中的物理量可以表示为：瞬时速率：(a . 30)；瞬时加速度：(a . 31)；运河的坡度：(a.32)。2.4导数的几何意义在几何学中，切线的概念也是基于极限的。如图A-6所示，为了确定曲线在点P0处的切线，首先在曲线上的点P0附