线性代数性质定理复习

线性代数性质定理研究综述第一章决定因素本章集中讨论决定因素的计算，对阶决定因素的定义，只需理解其大体意义即可。重点学习如何利用行列式的个别性质和行(列)星扩展等基本方法简化行列式的计算，对计算行列式的技术不需要过分探索。1、决定因素的本质(1)决定因素与转移决定因素相同。(2)交换决定因素的两行(列)、决定因素变量。(3)如果决定因素的两行(列)相等或成比例，那么这个决定因素等于零。(。(4)决定因素一行(列)中的所有因素等于乘以相同的数字，再乘以此决定因素。也就是说，如果决定因素的行(列)中存在公共参数，则可以在决定因素符号之外提及。(5)决定因素的一行(列)中的每个因素乘以相同的数字，然后加到另一行(列)中，决定因素的值保持不变。(6)如果决定因素的一行(列)中的每个因素是两个因素的总和，则此决定因素等于两个决定因素的总和。2、按行(列)扩展决定因素(1)代数剩余：除了阶行列式的第一行和最后一行，剩下的阶行列式称为圆的剩余子样式，写下来。记住，元素的代数余数。(2)按行(列)展开清理：顺序决定因素等于行(列)中每个元素与其对应代数馀数的乘积之和，可以逐行展开。也可以通过按列1展开。(3)决定因素中任意行(列)的每个元素与其他行中相应元素的代数残差积之和为0，即：或者。3，克拉默定律：其中是通过将的第十个元素替换为方程式的右端而得到的决定因素。4、常用的决定因素上(下)三角形决定因素等于主对角线上元素的乘积。特别是(主)对角决定因素等于对角线上每个元素的乘积。利用决定因素的特性，将决定因素做成三角形，便于计算。第二章矩阵及其运算理解矩阵的加法、数字乘法、矩阵和矩阵乘法、矩阵的前置和矩阵矩阵矩阵等概念。本章的重点是熟练掌握矩阵的线性运算(加法和乘法)、矩阵和矩阵的乘法、矩阵的前置、矩阵决定因素和运算规律。掌握可逆矩阵的概念和矩阵可逆性的充要条件。理解伴随矩阵的概念后，使用伴随矩阵查找矩阵的逆矩阵。1，矩阵运算(1)矩阵加法满足(a)(b)(2)满足乘法矩阵(a)(b)(c)(3)矩阵与矩阵相乘满足(前面矩阵的列数=后面矩阵的行数)(a)(b)(c)注意：(a)一般情况；那么说可以交换。(b)也可以不是0矩阵。(4)矩阵前置满足(a)(b)(c)(d)(e)(5)正方形的幂(正整数，)(a)(全部为正整数)。(b)正方形不可交换。(6)满足正方形矩阵的决定因素(全部为正方形)(a)。(b)(c)2、逆矩阵(1)定义：设置，如果可用，(单位数组)矩阵是可逆的，是反向的，并且是记录的。(2)正方形具有可逆性，所以。(3)逆阵的本质(a)如果可以逆转，就可以逆转(b)如果可以反转，也可以反转(c)如果可以反转，也可以反转(d)如果是假角色，可以是假角色(4) adjoint矩阵：设置，adjoint数组(其中是中间元素的代数馀数)。伴随阵列的性质：(a)(b)如果是(c)如果是(d)(e)3，克拉默定律的矩阵表示如果是，方程式有其自己的解决方案。第三章矩阵的基本变换和线性方程本章重点介绍如何使用基本行转换使矩阵成为行阶梯和行的最简单形式，以及如何使用矩阵基本行转换求解线性方程。了解矩阵的秩的概念，了解如何通过矩阵基本变换找到矩阵的秩。理解不存在非齐次线性方程的解或具有唯一解或无限多的必要条件和具有非零解的必要条件。1，定义转换默认行：基本列转换：基本转换：即相等，排名。2，矩阵的秩(1)矩阵的最高非零阶，称为矩阵的秩。(2)中最简单的造型具有非零行的标准造型。(3)矩阵的秩特征：(a)。(b)。(c)。(d)假角色。(e)特别的，当时。(f)。(g)。(h)如果是。3、线性方程理论(1)圆非齐次线性方程组解的充要条件只有当时的唯一解；当时有无限多个解决方案。未解决的先决条件是。(2)元素齐次线性方程组非零解的充要条件是；只有零解决方案的充分条件是。(3)矩阵方程解的充要条件如下。第四章向量组的线性相关性本章的学习中，需要特别注意方程语言、矩阵语言、几何语言之间的转换，重要的一般问题是对的说明。矩阵语言：中的产品矩阵。方程式语言：矩阵方程式的解法。几何语言：向量群组可以由向量群组线性表示，是此表示的系数矩阵。您应该熟悉矢量组的线性组合和矢量(或矢量组)可以由一个矢量组线性表示的概念，尤其是这些概念和线性方程的关联性。理解向量组的线性相关和线性相关概念，熟悉它们与齐次线性方程的关系。理解向量组的最大独立组和向量组的排名概念后，使用矩阵的基本变换查找向量组的最大独立组和排名。本章的另一点是理解齐次线性方程基本解系统的概念，熟练地寻找基本解系统，理解齐次和非齐次线性方程一般解的构成。1，维度向量，向量组有序数组称为维向量。和分别称为列和行向量，即列和行矩阵。由同一维的多个列(行)矢量组成的集合称为矢量组。包含有限向量的向量组可以构造矩阵。2，线性组合和线性表现法(1)矢量可以由矢量组线性表示方程式有解法(清理1)(2)矢量组可以用矢量组线性表示矩阵方程有解决办法(清理2)(3)矢量组与矢量组等效(可以相互线性表示)(4)矢量组可以用矢量组线性表示时。(清理3)3、线性相关性和线性无关向量组线性相关性齐次线性方程存在非零解决方案(清理4)与向量组的线性相关的充分必要条件是存在可以由其他向量线性表示的向量。4、矢量组线性相关的重要结论(1)矢量组线性相关时，矢量组也线性相关。(清理5-1)(2)由维度向量组成的向量组，数目大于维度时线性相关。(清理5-2)(3)如果向量不是线性关联的，向量群组是线性关联的，则向量可以由向量群组线性表示，并且表示式是唯一的。(清理5-3)5，向量组的最大独立组和向量组的秩(1)定义：如果在矢量组中可以选择一个矢量，则满足(a)向量组线性独立；(b)矢量组中的所有矢量线性相关，因此矢量组是矢量组的最大独立组。最大独立组中包含的向量数称为向量组中的排名，请记下。只有0向量的向量组没有最大的独立组，且排名为0。(c)上述条件(b)可改为：向量组中的所有向量都可以由向量组线性表示。(2)只包含有限向量的向量组构成矩阵，矩阵的秩是向量组的秩，即。(清理6)6、齐次线性方程组的基本解和一般解元素齐次线性方程的解集为：解集的最大独立组之一称为齐次线性方程的基本解，其中包含解向量。齐次线性方程组的基本解系统设置的一般解如下7、非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程的一个解是相应齐次线性方程的基本解是时，非齐次线性方程的一般解是：8，向量空间如果(1)不是空的，并且矢量的线性运算是闭合的，则称为矢量空间。向量空间的最大独立组称为的基础，向量空间的排名称为的维度，在的情况下称为维度向量空间。设定维度向量空间的基底后，所有向量都永远有一组唯一的对齐数，因此对齐的阵列称为向量式座标。(2)给定维向量组，集合是向量空间，称为向量组生成的向量空间。矢量组相当于矢量组，是在矢量空间中生成的。第五章相似矩阵和二次型本章主要特征值和特征向量的计算和矩阵的对角化，特别是对称矩阵的对角化。求正交矩阵，既相似又契约。学好本章的关键是掌握对称矩阵正交相似性的对角线的原理和步骤，向量的内积、正交、施密特正交化方法、正交矩阵、特征值和特征向量等以正交相似性为中心对角地处理这些中心主题。熟练掌握特征值和特征向量的方法及其与正交矩阵的关系。1、矢量的内积、长度和正交性(1) n维向量称为向量和的内部乘积。(2)非负实数称为向量的长度(或标准)。当时称为单位向量。即可从workspace页面中移除物件。(3)当时被称为与矢量正交。0向量与所有向量互垂。2，正交向量组：两组非正交矢量称为正交矢量组。正交矢量组与路线无关。给定线性独立向量组后，找到相应的正交向量组，称为正交化。施密特正交过程：设置矢量组：线性独立，用于命令.矢量组是两个正交的，与组相同。如果将n维矢量设置为矢量空间()的基础，并且两个正交矢量都是单位矢量，则称为的标准正交基础。3，正交矩阵如果n阶矩阵满足，则称之为正交矩阵，简称为正交数组。(1)；(2)可逆性和；(3)的行(列)矢量组是两个正交的，都是单位矢量。4，特征值和特征向量(1)设置为顺序矩阵，n维与非零矢量建立关系时，方形矩阵的特征值，非零矢量称为与特征值相对应的特征值向量。(2)的二次多项式称为阶矩阵的特性多项式，矩阵的特性方程，特性方程的根是的特征值。在复数范围内有一定的解，阶矩阵有自己的值(重根由重根计算)。将正方形的唯一值设置为1)；2)3)如果是正方形的特征值，则是特征值。矩阵多项式的特征值(其中；)。(3)设置为正方形的特征值时，齐次方程的所有非零解都是对应于特征值的正方形的所有特征向量，此齐次方程的基本解是对应于特征值的整个特征向量的最大独立组。(4)设置为正方形的特征值的相应特征向量，如果每个向量不相等，则线性是独立的。5，相似矩阵(1)对于顺序矩阵和，如果存在可逆矩阵，则称为相似，类似运算，对称为相似转换，可逆矩阵称为相似转换矩阵。矩阵类似于时，中的特性多项式相同，因此具有相同的特征值。(2)矩阵类似于对角矩阵(在此例中，矩阵类似于对角线)，即存在可逆矩阵1)是唯一值。2)的第一列矢量是对应的固有矢量。3)矩阵对角具有相似对角线的充分必要条件是存在线性独立固有向量。6，对称矩阵的对角化(1)对称矩阵的性质1)对称矩阵的特征值是实数。2)对应于不同特征值的特征向量正交；3)有给定的对称阵列、正交阵列。(2)切换对称阵列对角线的步骤1)得到的所有互不相同的特征值反过来是重量数。2)对每个特征值求方程的基本解，得到线性独立固有向量。正交化规格以获得两个正交单位固有矢量。因此，总共生成两个正交单位固有向量。3)使两个正交单位固有向量成为正交阵列即可。7，次要标准造型(1)二次齐次函数称为次要型式。顺序，二次格式，对称矩阵称为二次矩阵，将二次类型排序为矩阵的排名。(2)二次研究的主要问题是寻找可逆转换。制作此仅包含平方的次要类型称为次要标准造型(法国)。当时常识被称为二次规格型。(3)对于顺序矩阵和，如果存在可逆矩阵，则称为矩阵和契约。转换称为合同转换。将二次型转换为可逆转换就像将对称矩阵转换为合同型，将二次型转换为标准型就像将对称矩阵对角转换为合同(将对称矩阵合同称为对角转换)。也就是说，等于求可逆矩阵。(4)有给定的二次型，正交变换。其中是对称矩阵的特