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高等数学（II）试题（A）一 填空 （每小题3分 共15分 ）1 曲面 在点 的切平面的方程为_。2 设隐函数是由方程确定的，则 。3 设是平面 在第一卦限部分，则 。4 设周期为，且 ，是的Fourier级数的和函数，则 _。5 设幂级数在处条件收敛，则幂级数的收敛半径。二 选择（每小题2分 共10分 ）1 设D是平面区域，则下面说法正确的是（ ）（A ） 若在D上可微，则的一阶偏导在D上一定连续；（B） 若在D上一阶偏导存在，则在D上一定可微；（C） 若在D上一阶偏导存在，则在D上一定连续；（D） 若在D上与均连续，则 。2 下列级数中绝对收敛的级数是 （ ）（A） ； （B）; （C） ; （D） 。3 直线过点 且与直线 垂直相交，则交点的坐标是（ ）（A） ； （B）； （C）；（D）。4 方程 表示 。 (A) 单叶双曲面； （B） 双叶双曲面 ； （C） 锥面 ； （D） 旋转抛物面。5 一阶微分方程 的类型是（ ）（A）全微分方程； （B） 可分离变量方程；（C）齐次方程； （D）一阶线性微分方程。三 （6分） 设是具有二阶连续导数的函数，求 。四 （7分）计算 ，其中是直线 及双曲线所围区域。五 （7分）修建一个容积为V的长方体地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积造价分别是地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计仓库的长、宽和高，可使它的造价最小。六 （7分）求微分方程 的通解。七 （7分）计算 ，其中是由曲面 及所围的空间区域。八（7分）求 ，其中L是曲线 ，取逆时针方向。九（7分）计算曲面积分 ，其中是锥面介于之间的部分，而是在处的外法线向量的方向余弦。十 （7分）已知如下命题成立： 设是单调减少的正数列，级数收敛当且仅当收敛。 1）请用此命题证明 当时发散，而当时收敛；2）证明所给的命题。答案一 填空 （每小题3分 共15分 ）1 ； 2 ； 3 ； 4 ； 5 。二 选择（每小题2分 共10分 ） D A B D C三 （6分）解 4.2四 （7分）解 。2221五 （7分）解 设地面每个单位造价为1，则墙壁和仓顶分别为 2， 3。 设长宽高分别为。则现在的要求是 在 约束下的极值。1考虑 ，.1则条件极值点满足一下方程.3由上述方程组可解得 根据实际情况可知，此时造价最小。2六 （7分）解 特征方程为 对应的齐次方程的通解为 .2不是特征根，于是可设特解为 .2代入到原方程化简可 于是 2所求的通解为 1七 （7分）解 由及，得 ， .2于是 .32 八（7分）解 原式.3设D的边界是L，根据格林公式， 原式.4九 （7分）解 原式，取外侧， 1设，取上侧，则2. 2而 1于是 原式 。.1十 （7分）1 设 ，则 ，于是由已知 的敛散性与等比数列敛散性一致。1因此当时原级数发散
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