第三章 二维随机变量及其分布ppt课件

第三章二维随机变量及其分布,第一节二维随机变量及其联合分布第二节边缘分布与随机变量的独立性第三节两个随机变量的函数的分布,.,实际问题中往往需要同时研究多个随机变量.例如抽样调查15-18岁青少年的身高X和体重Y以研究该年龄段青少年的身体发育情况,此时不仅要探究X和Y各自的性质,还要探究它们间的相互关系.有序对(X,Y)称为二维随机变(向)量,它是平面上的随机点:,.,性质(1)F(x,y)分别关于x,y单调不减.(2)F(x,y)分别关于x,y左连续.(3)0F(x,y)1,且F(,y)=F(x,)=F(,)=0,F(+,+)=1.,二维随机变量(X,Y)的联合分布函数:F(x,y)=PXx,Yy.,.,随机点落在矩形域的概率Px1Xx2,y1Yy2=F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1).,.,二维离散型随机变量(X,Y)的可能取值是有限或可列无限个实数对.(X,Y)的联合概率分布(分布律):PX=xi,Y=yj=pij,(i,j=1,2,3,).,性质(1)0pij1;(2)i,jpij=1.,.,例1袋中有三个球,依次标有数字1,2,2,从中任取一个,不放回袋中,再任取一个.X,Y分别为第一,二次取到的球上的数字,求(X,Y)的联合分布列.解(X,Y)的可能取值为(1,2),(2,1),(2,2).PX=1,Y=2=(1/3)(2/2)=1/3,PX=2,Y=1=(2/3)(1/2)=1/3,PX=2,Y=2=(2/3)(1/2)=1/3,.,例2设二维随机变量(X,Y)可能取值为(0,0),(1,1),(1,1/3),(2,0)且取这些值的概率依次为求(X,Y)的分布列.解,(X,Y)的联合分布律,.,二元连续型随机变量(X,Y)的分布函数其中f(x,y)称为(X,Y)的(联合)概率密度(分布密度).,.,性质(1)f(x,y)0;(2)(3)在连续点处(4)(X,Y)落在区域D的概率,F(+,+)=1,.,例3设(X,Y)的概率密度为(1)确定常数k;(2)求(X,Y)的分布函数;(3)求P0X4,00时,所以,.,(3),或,.,(4),.,例4已知(X,Y)的密度,求概率(1)PX1,Y3;(2)PX+Y3.解,.,(2),.,区域D上的均匀分布,.,例设(X,Y)服从区域D上的均匀分布,D为x轴,y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域.求PY1/2.,答:,区域D上的均匀分布,D1,.,思考设(X,Y)服从D上的均匀分布,D为x轴,y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域.求其分布函数.解(X,Y)的密度函数,分布函数,(1)当x1/2或y0时,F(x,y)=P(=0.,.,(2)当1/21时,.,综上,所求的分布函数为,.,二维正态分布N(1,2,12,22,):,其中10,20,11.,最常见的二维连续型分布,第三章二维随机变量及其分布,第一节二维随机变量及其联合分布第二节边缘分布与独立性第三节两个随机变量的函数的分布,不在教学范围内:三.条件分布(conditionaldistribution)pp61-64,.,边缘分布,随机变量的独立性,.,二维随机变量(X,Y)是把两个随机变量视为一个整体,讨论其联合取值规律:F(x,y)=PXx,Yy.边缘分布问题:由二维随机变量(X,Y)的分布来确定两个一维随机变量X,Y各自的分布.,marginaldistribution,.,设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),则FX(x)=PXx=PXx,Y+=F(x,+),FY(y)=PYy=PX+,Yy=F(+,y)依次称为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.,marginaldistribution,FX(x)=PXx=F(x,+),FY(y)=PYy=F(+,y),.,二维离散型的边缘分布,若二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为PX=xi,Y=yj=pij,(i,j=1,2,3,),则称pi.=PX=xi=jpij为关于X的边缘分布,p.j=PY=yj=ipij为关于Y的边缘分布.,.,关于X的边缘分布,关于Y的边缘分布,.,例1设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为,求关于X,Y的边缘分布.,关于Y的边缘分布,解关于X的边缘分布,.,二维连续型随机变量的边缘分布,其中,关于X的边缘概率密度,其中,关于Y的边缘概率密度,关于X的边缘分布函数,关于Y的边缘分布函数,.,例2设(X,Y)的联合密度为求k值和两个边缘分布密度.解由,得,当x0,1时,关于X的边缘分布密度,当x0,1时,fX(x)=0.,故关于X的边缘分布密度,.,故,关于Y的边缘分布密度,当y1,3时,fY(y)=0.当y1,3时,关于Y的边缘分布密度,.,例3设(X,Y)的联合分布密度,(1)求k;(2)求关于X和Y的边缘密度;(3)求概率PX+Y1/2.,均匀分布,解(1)由,得,(2)当x1,1时,当x1,1时,fX(x)=0.故X的边缘密度,.,当y1,1时,当y1,1时,fY(y)=0.故Y的边缘密度,.,(3),.,若(X,Y)N(1,2,12,22,),则两个边缘分布分别服从正态分布:XN(1,12),YN(2,22),与相关系数无关.一般地,联合分布可确定边缘分布,但边缘分布未必能确定联合分布.,.,随机变量X和Y相互独立:F(x,y)FX(x)FY(y).对于离散型和连续型的随机变量,该定义分别等价于pijpipjf(x,y)fX(x)fY(y).在很多实际问题中,随机变量的相互独立性是不难判断的.相互独立时,边缘分布可确定联合分布.,二随机变量的独立性,.,例1设(X,Y)的分布律为,证明:X,Y相互独立.证逐个验证等式pijpipj,故X,Y相互独立.,.,例2设(X,Y)的概率密度为,求(1)P0X1,0Y1;(2)(X,Y)的边缘密度;(3)判断X,Y是否独立.解(1),.,(2)边缘密度函数,当x0时,当x1时,fY(y)=0.,当0y1时,所以,X与Y不独立.,.,例4设(X,Y)服从矩形域(x,y)|axb,cd上的均匀分布,求证X与Y相互独立.证,当axb时,当x(a,b)时fX(x)=0.于是,类似地,可见f(x,y)fX(x)fY(y),即X与Y相互独立.,.,设(X,Y)N(1,2,12,22,),则X,Y相互独立=0.,此时XN(1,12),YN(2,22):,证见p60例4.,第三章二维随机变量及其分布,第一节二维随机变量及其联合分布第二节边缘分布与独立性第三节两个随机变量的函数的分布,.,第三节两个随机变量的函数的分布,已知二维随机变量(X,Y)的分布,求Z=g(X,Y)的分布.Z的