随机信号处理第三章ppt课件

.,第三章,主要内容：平稳随机过程各态遍历随机过程,.,3.1平稳随机过程,.,1、平稳随机过程的定义,如果随机过程的任意n维分布不随时间起点变化，即当时间平移时，其任意的n维概率密度不变，则称是严格平稳的随机过程或称为狭义平稳随机过程。,对于一维概率密度：,对于二维概率密度：,(1)严格平稳随机过程(StrictlystationaryProcess),.,对于严格平稳的随机过程，它的均值和方差是与时间无关的常数，而自相关函数只与t1和t2的差值有关，而与本身的取值是无关的。严平稳最基本的特征是时间起点的平移不影响它的统计特性，即X(t)与X(t+t)具有相同的统计特性。,.,(2)广义平稳随机过程（WeaklystationaryProcess),满足,.,例1设随机过程X(t)=Xt，X为标准正态分布的随机变量。试问X(t)是否平稳？,解、,所以X(t)是非平稳的。,.,例2设随机过程X(t)=Acost+Bsint，-t。其中A，B为相互独立的正态随机变量，且,试讨论随机过程X(t)的平稳性。,解、,故X(t)是广义平稳的。,.,由于在许多工程技术问题中，常常仅在相关理论(一、二阶矩)的范围内讨论问题，因此划分出广义平稳随机过程来。而相关理论之所以重要，是因为在实际中，一、二阶矩能给出有关平稳随机过程平均功率的几个主要指标。另外，在电子系统中经常遇到最多的是正态随机过程，对于正态随机过程而言，它的任意维分布都只由它的一、二阶矩来确定，广义平稳的正态随机过程必定是严格平稳的。因此，在实际中，我们通常只考虑广义平稳性，今后除特别声明外，平稳性指的是广义平稳。,.,2、平稳随机过程自相关函数的性质,1、性质：,若随机过程不含周期分量，,若随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有周期分量，,这一性质可用于检测周期性的信号,(1),(2),(3),(4),(5),.,相关函数示意图,.,解、,例3、已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为,求X(t)的均值和方差。,.,例4已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为求X(t)的均值、均方值和方差。,解、,故有：,.,3、相关系数及相关时间,相关系数：,也称为归一化协方差函数或标准协方差函数。,相关时间：,相关时间示意图,.,两个不同相关时间随机过程的样本函数,相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依赖性越强，变化越缓慢；相关时间越小，反映随机过程前后取值之间的依赖性越弱，变化越剧烈。,.,4、随机过程的各态遍历性（ergodicity）,定义：对于平稳随机过程X(t)，若有,则X(t)为遍历过程。,其中,均值遍历性,相关函数遍历性,.,各态历经过程与非各态历经过程示意图,时间平均等于统计平均，时间相关函数等于统计相关函数,各态历经特性：,.,例5、判断随机相位信号是否具有遍历性，其中随机变量均匀分布于(0，2)。,解、,故具有遍历性。,.,例6、判断随机过程X(t)=Y的遍历性，其中Y是方差不为零的随机变量。,解、,平稳随机过程,故X(t)是平稳的，但不是各态遍历的。,.,1、联合分布函数和联合概率密度,n+m维联合分布函数：,n+m维联合概率密度：,3.2随机过程的联合分布和互相关函数,.,平稳相依：如果X(t)与Y(t)的联合统计特性不随时间起点的平移而变化，则称X(t)与Y(t)是严格联合平稳的。即,.,2、互相关函数及其性质,互相关函数(crosscorrelationfunction)：,互协方差函数(crosscovariancefunction)：,.,若，则X(t)与Y(t)正交；若，则X(t)与Y(t)不相关；,则称X(t)与Y(t)广义联合平稳。(jointlywidesensestationary),若,.,性质：,若X(t)与Y(t)是联合平稳的，则Z(t)=X(t)+Y(t)是平稳过程，且,(1),(2),(3),(4),.,互相关系数,互相关系数：,又称归一化互协方差函数或标准互协方差函数,.,例1、设,解、,其中0为常数，在(0，2)上均匀分布，求互协方差函数。,.,3.3随机序列的统计描述,1、概率分布与概率密度,一维：,二维：,.,2、数字特征,均值,方差,自相关函数,协方差函数,.,3、平稳随机序列,广义平稳的定义,相关函数的性质：与连续时间随机过程相同,.,4、各态历经特性,.,5、平稳随机序列的自相关阵和协方差阵,均值向量：,自相关阵：,协方差阵：,.,性质：,对称性：,半正定性：对于任意N维非随机向量F,Toeplitz阵：对于平稳随机序列，,.,自相关阵的正则形式：,其中i为标量，为R的特征值；Qi为列向量，为R的特征向量。,.,3.4估值问题,研究随机过程的重要方法统计实验分析理论基础：随机过程的各态遍历假设。从有限个样本出发找出总体的统计特性估值问题研究内容：基本统计特性均值、方差、相关函数、功率谱密度（待下章）的估计问题,.,1、估计的质量评价,评价估计量好坏的性能指标,估计的偏：,无偏估计：,有偏估计：,渐近无偏估计：,估计的方差：,.,对于无偏估计，如果估计的方差越小，表明估计量的取值越集中于真值附近，估计的性能越好。,对无偏估计,对所有估值,有，则为最小方差估计。,对于有偏估计，尽管估计的方差很小，但估计的误差可能仍然很大。,.,.,一致估计：,估计的均方误差：,.,常用的估计准则,最大后验概率准则：使后验概率密度最大最小均方误差准则：均方误差最小条件中位数估计：条件概率密度的中位数线性最小均方误差准则：线性类估计中均方误差最小最大似然准则：似然函数最大最小二乘准则：测量误差平方和最小,.,2、随机序列的数字特征估计,均值估计：,均值函数：mean()用法：m=mean(x)功能：返回X(n)均值估计,结论：当各样值互不相关时，均值估计量是无偏的一致估计量。,.,方差估计：,方差函数：var()用法：sigma2=var(x)；功能：返回X(n)方差估计,标准差函数：std()用法：sigma=std(x)；功能：返回X(n)标准差估计,结论：方差估计量是渐近无偏的一致估计量。,.,自相关函数的估计：,自相关函数：xcorr()用法：c=xcorr(x,option);功能：返回X(n)自相关函数估计,(1),(2),结论：是无偏估计量，但估计方差较大。,结论：是渐近无偏的一致估计量。,option选项是：biased：有偏估计unbiased：无偏估计,.,互相关函数：xcorr()用法：c=xcorr(x,y,option)功能：返回X(n),Y(n)互相关函数估计,biased：有偏估计,unbiased:：无偏估计,互相关函数的估计：,option选项是：,.,白噪声干扰的正弦信号与白噪声信号的自相关函数,.,利用互相关函数计算相对时移,.,函数：ksdensity()用法：f,xi=ksdensity(x)功能：估计用矢量x表示的随机序列在xi处的概