颜定勇组作业.doc

2012年全国大学生数学建模竞赛（CUMCM）赛题预测（一） 近年来我国的城市排水系统出现了各种问题，给广大居民的安全性造成了威胁，然而距离政府完成改善排水系统的硬件建设还尚需时日，因此在完成改善排水 能力之前，保证广大市民的安全就显得比较重要了，而解决这一问题的有效办法之一就是：加强道路积水预警机制。某公司为了让道路导航仪具有实时道路积水预警 功能，计划与气象局、积水排污、交通局等合作推出具有道路积水预警功能的道路导航仪，以更好的保证广大居民的安全。4 W/ AY5 i$ n5 U. 8 n/ C+ b* z0 M; H （1）假设气象局为您提供了所在区域的实时的降雨量数据（每一分钟提供一次，每一时刻的数据图像是一个三维图像）；【说明：这里不提供相关的数据了，大家去模拟相关数据：降雨量、地点坐标、海拔】 （2）假设已知您所在区域的排水系统处理能力和处理（数据包括：每条道路的排水管道最大排水量（每分钟），每条道路的排水管道网，及管道的高度）% g: ?$ 4 U0 a# d6 z8 A, z2 D4 F5 8 P+ y5 C+ E5 I, g! C 请您根据上述提供的数据建立一套数学建模来预测道路实时积水情况（时间间隔为1分钟），并显示道路积水热图，以供司机朋友选择相关路线。请您利用你的模型，搜集尽可能多的数据，建立2012年北京房山区水灾事故仿真模型。1 N& r3 o6 c& b% P# n# 0 Q a! u9 f A3 O! _ t; L【说明：出题的目的是为了解决当下的问题，以更好的保证广大居民的安全，在做题之前希望大家能为逝者默哀1分钟，谢谢！】* l- s& Z T, t! B6 Q+ G( L考察点：1、搜索资料的能力；8 s( A# I+ x T E* 2、解决复杂优化问题的能力；; w7 a0 z8 S0 r2 L& 6 i% 0 3、现学现卖的能力；4、仿真建模能力；5、数据建模能力；6、软件使用能力；) ! q! t* v8 H7、多维现实环境下的解决问题能力；2012年全国大学生数学建模竞赛（CUMCM）赛题预测（二） 交通事故因素分析 交通事故已成为“世界第一害”而中国是世界上交通事故死亡人数最多的国家之一。从二十世纪八十年代末中国交通事故年死亡人数首次超过五万人至今中国(未包括港澳台地区)每年交通事故50万起因交通事故死亡人数均超过10万人已经连续十余年居世界第一。(2010-07-09 10:05:48 来源: 网易汽车综合),附表收集了1990-2010年中国汽车的相关数据(数据来源于中国统计年鉴)。请你建立数学模型回答以下问题:1)就附表数据,分析“交通事故起数”与其他因素之间的关系并建立相应的数学模型同时指出与“交通事故起数”关系最大的因素。2)“万车死亡率”表示在一定空间和时间范围内,按机动车拥有量所平均的交通事故死亡人数的一种相对指标。其计算公式为:RN=D/N*10000。式中。RN表示万车死亡率;D表示交通事故的死亡人数;N表示机动车的拥有量。由于附表没有收集机动车的总拥有量,请你推算1990-2010年中国机动车的总拥有量,并预测2011到2015年中国交通事故死亡人数及机电车的总数并计算相应的万车死亡率。新华社北京1月21日电(记者陈炜伟 朱立毅)国务院安全生产委员会办公室日前印发了道路交通安全“十二五”规划。规划提出到2015年要力争实现全国道路交通事故万车死亡率不超过2.2,下降1.0以上。请你建立数学模型,按附表给出的数据说明此目标是否能实现,并与你计算出的2015年万车死亡率进行对比,说明目标实现的可能性。 3)2003年10月28日第十届全国人民代表大会常务委员会第五次会议通过了中华人民共和国道路交通安全法,2004年5月1日开始实施。从附表数据可以看出,该法律发挥了重要作用,请你建立数学模型量化地评估一下该法律的影响。4)请你建立数学模型分析交通事故与驾驶员驾龄之间的关系,若有可能请指出那个驾龄段最容易出事故。 2012年全国大学生数学建模竞赛（CUMCM）赛题预测（三）某景区由5个海岛A,B,C,D,E组成。海岛之间及与大陆港口P的距离由表2给出表2岛屿及港口之间距离（km）ABCDE大陆港口PA4621506070B303255115C485390D2195E85每个海岛的游览时间为半天。C,D两个岛屿有旅馆可供住宿。游览的过程为：游船凌晨由港口P出发，每半天游览一个景点。如果行程超过一天，则晚上选择岛屿C或D住宿。游览结束后回到港口P。景点每次接待游客的能力由表3给出表3景点旅游（半天）住宿（每晚）A240B470C250280D280200E210目前旅行社计划购买大、小两种游船用于旅游。大型可载乘客100人，小型40人。大型游船的每公里客均费用是小型游船的85%，但景点E只能停泊小型游船。客均旅行费用正比于船的行程。游船少载一个人的损失相当于客均旅行费用的1.5倍。（1） 旅行社经理希望你综合考虑景点的接纳能力，设计出不超过六种一日游和2日游套餐以及与之相配套的购船计划。使得游览总费用尽可能低。（不考虑游船购置费用）（2） 据调查，有50%的游客希望在岛上过夜。但住宿容纳能力明显不足。因此，有人提议在B,C,D三个海岛之一兴建一个新的旅馆。试分析应该在哪一个海岛兴建，规模多大？旅游套餐是否应该作相应调整？2012年全国大学生数学建模竞赛（CUMCM）赛题预测（四）学生评教模型对于学校来说，教学质量的好坏直接影响到办学水平。可以说它是高等学校的立校之本，是学校生存与发展的生命线，是学校一切工作的永恒主题。对教师的教学进行评价不仅可以鉴别教师工作质量的优劣高低，更重要的是能够准确、科学地对每个教师的工作质量进行价值判断，为改进教学工作、加强和改进师资队伍建设提供可靠的信息和资料，从而调动教师教学的积极性，提高教师的整体素质，最终达到提高教育教学质量的目的。然而目前，在评教过程中还存在很多问题，它们直接影响着教师的教学热情乃至学校的整体发展。因此，如何科学合理而公平地实现教师评教就成为提高教学质量过程中一个是非关键的环节。附件中是某校学生评教数据，每一个文件就是一个教师的某一门课程的评教原始数据。1. 建立数学模型，计算每个教师的评教得分，可以从如下一个或几个方面或其他方面考虑：对于同一个教师不同的课程的影响；不同授课班级学生人数的影响；学生恶意评教影响（不论对错，把某个教师的分数打得特别低，此处大家可以给予不同的解释）；消极评教的影响。2. 分析附件数据，对于不同的课程、不同的单位、不同的课程属性间得分是否有区别。3. 请结合如上分析，撰写一份该校学生评教分析报告。数学建模中常用的方法：类比法、二分法、差分法、变分法、图论法、层次分析法、数据拟合法、回归分析法、数学规划（线性规划，非线性规划，整数规划，动态规划，目标规划）、机理分析、排队方法、对策方法、决策方法、模糊评判方法、时间序列方法、灰色理论方法、现代优化算法（禁忌搜索算法，模拟退火算法，遗传算法，神经网络）。这些方法可以解一些模型：优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型。拟合与插值方法（给出一批数据点，确定满足特定要求的曲线或者曲面，从而反映对象整体的变化趋势）： matlab可以实现一元函数，包括多项式和非线性函数的拟合以及多元函数的拟合，即回归分析，从而确定函数； 同时也可以用matlab实现分段线性、多项式、样条以及多维插值。在优化方法中，决策变量、目标函数（尽量简单、光滑）、约束条件、求解方法是四个关键因素。其中包括无约束规则（用fminserch、fminbnd实现）线性规则（用linprog实现）非线性规则、（ 用fmincon实现）多目标规划（有目标加权、效用函数）动态规划、整数规划。回归分析：对具有相关关系的现象，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法 （一元线性回归、多元线性回归、非线性回归），回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型（经验公式）；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制。相对应的有 线性回归、多元二项式回归、非线性回归。逐步回归分析：从一个自变量开始，视自变量作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程：当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉；引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步；对于每一步都要进行值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对作用显著的变量；这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。（主要用SAS来实现，也可以用matlab软件来实现）。聚类分析：所研究的样本或者变量之间存在程度不同的相似性，要求设法找出一些能够度量它们之间相似程度的统计量作为分类的依据，再利用这些量将样本或者变量进行分类。系统聚类分析将n个样本或者n个指标看成n类，一类包括一个样本或者指标，然后将性质最接近的两类合并成为一个新类，依此类推。最终可以按照需要来决定分多少类，每类有多少样本（指标）。系统聚类方法步骤：1. 计算n个样本两两之间的距离2. 构成n个类，每类只包含一个样品3. 合并距离最近的两类为一个新类4. 计算新类与当前各类的距离（新类与当前类的距离等于当前类与组合类中包含的类的距离最小值），若类的个数等于1，转5，否则转35. 画聚类图6. 决定类的个数和类。判别分析：在已知研究对象分成若干类型，并已取得各种类型的一批已知样品的观测数据，在此基础上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样品进行判别分类。距离判别法首先根据已知分类的数据，分别计算各类的重心，计算新个体到每类的距离，确定最短的距离（欧氏距离、马氏距离）Fisher判别法利用已知类别个体的指标构造判别式（同类差别较小、不同类差别较大），按照判别式的值判断新个体的类别Bayes判别法计算新给样品属于各总体的条件概率，比较概率的大小，然后将新样品判归为来自概率最大的总体 模糊数学：研究和处理模糊性现象的数学 （概念与其对立面之间没有一条明确的分界线）与模糊数学相关的问题：模糊分类问题已知若干个相互之间不分明的模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模糊概念来反映更合理准确；模糊相似选择 按某种性质对一组事物或对象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性质具有边界不分明的模糊性；模糊聚类分析根据研究对象本身的属性构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系 ；模糊层次分析法两两比较指标的确定；模糊综合评判综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应性的评价等，都属于综合评判问题。由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果 。时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列通过对预测目标自身时间序列的处理，来研究其变化趋势（长期趋势变动、季节变动、循环变动、不规则变动） 自回归模型：一般自回归模型AR(n)系统在时刻t的响应X(t)仅与其以前时刻的响应X(t-1),， X(t-n)有关，而与其以前时刻进入系统的扰动无关 ；移动平均模型MA(m)系统在时刻t的响应X(t) ，与其以前任何时刻的响应无关，而与其以前时刻进入系统的扰动a(t-1),a(t-m)存在着一定的相关关系 ；自回归移动平均模型 ARMA(n,m)系统在时刻t的响应X(t)，不仅与其前n个时刻的自身值有关，而且还与其前m个时刻进入系统的扰动存在一定的依存关系 。时间序列建模的基本步骤 1. 数据的预处理：数据的剔取及提取趋势项2. 取n=1，拟合ARMA(2n,2n-1)（即ARMA(2,1)）模型3. n=n+1，拟合ARMA(2n,2n-1)模型4. 用F准则检验模型的适用性。若检验显著，则转入第2步。若检验不显著，转入第5步。5. 检查远端时刻的系数值的值是否很小，其置信区间是否包含零。若不是，则适用的模型就是ARMA(2n,2n-1) 。若很小，且其置信区间包含零，则拟合ARMA(2n-1,2n-2) 。6. 利用F准则检验模型ARMA(2n,2n-1)和ARMA(2n-1,2n-2) ，若F值不显著，转入第7步；若F值显著，转入第8步。7. 舍弃小的MA参数，拟合m2n-2的模型ARMA(2n-1,m) ，并用F准则进行检验。重复这一过程，直到得出具有最小参数的适用模型为止8. 舍弃小的MA参数，拟合m2n-1的模型ARMA(2n,m) ，并用F准则进行检验。重复这一过程，直到得出具有最小参数的适用模型为止。图论方法：最短路问题：两个指定顶点之间的最短路径给出了一个连接若干个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间，找一条最短铁路线 （Dijkstra算法 ）每对顶点之间的最短路径 （Dijkstra算法、Floyd算法 ）。最小生成树问题：连线问题欲修筑连接多个城市的铁路设计一个线路图，使总造价最低（prim算法、Kruskal算法 ）。图的匹配问题：人员分派问题：n个工作人员去做件n份工作，每人适合做其中一件或几件，问能否每人都有一份适合的工作？如果不能，最多几人可以有适合的工作？(匈牙利算法)。遍历性问题：中国邮递员问题邮递员发送邮件时，要从邮局出发，经过他投递范围内的每条街道至少一次，然后返回邮局，但邮递员希望选择一条行程最短的路线最大