课题：平面上动圆的圆心轨迹的探究

课题:平面上动圆的圆心轨迹的探究福建上杭一中 林文柱,教学目标设计:1.认知目标:(1)掌握圆的定义及基本性质,尤其是两圆相切的性质;(2)掌握轨迹问题的一般求法;(3)了解利用几何画板作动点轨迹的好处和意义.2.能力目标:使学生在问题的研究过程中,进一步地领会求动点轨迹的思想方法,更深一步地了解,运用圆的定义和性质来分析问题的能力,培养学生的观察能力,空间想象能力,综合运用知识解决问题的能力.3.情感目标:(1)增强问题的直观性,激励学生的学习兴趣和动机.特别是对抽象能力不强的学生能给予较大的帮助,树立他们学好数学的信心.(2)运用辩证唯物主义思想:运动与静止,变与不变的对立统一关系.,教材内容及重点,难点分析:本节课的重点是动圆圆心轨迹的求法,进一步了解圆的定义和性质;难点是怎样充分利用圆的性质来分析问题.本堂课是一节研究课,主要让学生通过对问题的分析和探索,熟练地运用圆的性质解题,掌握数形结合,等价转化等数学思想.,教学对象分析:虽然本节课的内容及主要知识学生已经学过,但是真正掌握的学生不多,主要是学生对一些常见问题的基本处理方法比较生疏,尤其是运用性质来分析问题,解决问题,就更加薄弱了.因此,在教学中,立足于学生的这种状况,可以通过发挥学生的想象力以及多媒体动画演示等手段,深入浅出地在观察之中升华规律性知识,并根据学生的现场反应随时确定教学进程和教学方法.,教学策略及教法设计:根据本节课的内容和学生实际水平,采用的主要是启发式的教学方法和讲练结合,并利用计算机辅助教学.在教学中,采用启发式的教学方法,引导学生展开丰富的想象力,直观地感受动点的轨迹方程,再引导学生运用所学的圆的性质找出问题的突破口,而讲练结合,使学生能很快得出此题型的轨迹方程的求法,从而发展学生等价转换,数形结合等数学思想,培养学生综合运用知识解决问题的意识.,教学环境设计:动点的轨迹具有高度的抽象性和概括性的特点,学生光凭想象很难得出轨迹,所以本节课要采用几何画板来辅助完成本节课的教学工作.上课时,对于每个问题准备采取这样的步骤:首先给出问题,全体学生一起分析得出问题的突破口,然后请学生想象轨迹,再一边分析提示,一边动画演示,最后制作轨迹,根据制作的轨迹,要求同学们在变化的过程中找到相应的不变的结论和规律.,教学过程设计与分析一,创设情景设球门的中心在地上的射影为点A,进攻时,守门员安琪的活动区域近似地看作一个圆面O1,如图,当他位于点B时,队员郝海东一定有一个最佳位置点P,当队员郝海东位于P时,既可自己直接进攻得分,也可助守门员安琪得分,但必须满足条件AP=BP,且O 1上满足此条件的点有且只有点A一个,则当点A在O 1上运动时,点P的运动轨迹恰好是我们熟悉的圆锥曲线,我们能否从中提炼出数学问题呢分析:点P轨迹实际上是:过定点A且与定圆O 1相切的动圆圆心的轨迹.二,复习回顾(课件演示)1.椭圆,双曲线的第一定义,方程等.2.圆锥曲线的统一定义即椭圆,双曲线的第二定义和相关的概念等.三,提出问题(一)已知定点和定圆,求解动圆的圆心P的轨迹方程1.相关问题:已知定点A(-3,0),定圆O 1:(x -3)2+ y 2=4,动圆P过A且与O 1相切,求点P轨迹方程.(1)引导学生分析:(2)引导学生探索(课件1)将相切改为:外切,则有(双曲线的左支)将相切改为:内切,则有(双曲线的右支)归纳:内切或外切即相切,则有(双曲线)(3)引导学生探究:改变定点与定圆的位置关系,固定或改变动圆与定圆相切的关系,探究动圆圆心P的轨迹方程(课件2)将A的坐标改为(-5,0) 将A的坐标改为(1,0)将A的坐标改为(2,0) 将A的坐标改为(3,0)2.相关结论(1)当点A在O 1外时,点P的轨迹是双曲线:外切时是左支,内切时是右支. (2)当点A在O 1上时,点P的轨迹是挖去两点的直线.(3)当点A在O 1内,且不与O 1重合时,点P的轨迹是椭圆.(4)当点A在O 1内,且与O 1重合时,点P的轨迹是圆 . 课件2验证(二)已知定直线和定圆,求解动圆的圆心P的轨迹方程1.相关问题:已知定直线:x= ( 3,定圆O 1:(x -3)2+y2=4,动圆P与定直线和定圆都相切,求点P轨迹.(1)引导学生分析:(2)引导学生探索(课件3)将与定圆相切改为:与定圆外切,则有(抛物线)将与定圆相切改为:与定圆内切,则有(抛物线)(3)引导学生探究:固定动圆和定圆相切的关系,改变定直线和定圆的位置关系,探究动圆圆心P的轨迹方程(课件4)与固定定直线和定圆的位置关系,改变动圆和定圆相切的关系,探究动圆圆心P的轨迹方程(课件5)将定直线方程改为x = ( 5 将定直线方程改为x = 1 将定直线方程改为x = 2将定直线方程改为x = 3 将定直线方程改为x = 5 将定直线方程改为x = 82.相关结论:固定动圆与定圆相切的关系(1)动圆与定圆相外切:设定直线方程为x = k ,则k 1时的轨迹是顶点不同,开口向右的抛物线 k =5和k =1时的轨迹是一条挖去顶点的抛物线和一条射线 1 k 5时的轨迹是顶点不同,开口向左的抛物线.(2)动圆与定圆相内切:设定直线方程为x = k ,则k 1时的轨迹是顶点不同,开口向右的抛物线.k =5和k =1时的轨迹是一条挖去两点的射线 1 k 5时的轨迹是顶点不同,开口向左的抛物线. 课件4验证3.相关结论:固定定直线和定圆的位置关系(1)定直线和定圆相离时的轨迹是顶点不同,开口向左或向右的抛物线(2)定直线和定圆相切时的轨迹是一条挖去顶点的抛物线和一条挖去一点的直线(x轴)(3)定直线和定圆相交时的轨迹是顶点不同,开口向左或向右的抛物线.课件5验证(三)已知两个定圆,求解动圆圆心P的轨迹方程1.相关问题:已知定圆A:(x +3)2+y2=16和定圆B:(x -3)2+ y 2=1,动圆P与两定圆都相切,求点P的轨迹.(1)引导学生分析:(2)引导学生探索(课件6)将相切改为:外切,则有(双曲线的右支)将相切改为:内切,则有(双曲线的左支)将相切改为:一个内切,一个外切,则有(双曲线)(3)引导学生探究:固定动圆与两定圆相切的关系,改变两个定圆的位置关系,探究动圆圆心P的轨迹方程(课件7)与固定两定圆的位置关系,改变动圆与两定圆相切的关系,探究动圆圆心P的轨迹方程(课件8)将定圆A的圆心改为(-5,0),两定圆外离.将定圆A的圆心改为(-2,0),两定圆外切.将定圆A的圆心改为(-1,0),两定圆相交.将定圆A的圆心改为(0,0), 两定圆内切.将定圆A的圆心改为(1,0), 两定圆内含.2.相关结论:固定动圆与两定圆相切的关系(1)动圆与两定圆都相内切或都相外切两定圆外离时的轨迹是双曲线. 两定圆外切时的轨迹是双曲线. 两定圆相交时的轨迹是双曲线.两定圆内切时的轨迹是一条挖去三点的直线(x轴).两定圆内含时的轨迹是椭圆.(2)动圆与两定圆一个相外切和一个相内切两定圆外离时的轨迹是双曲线.两定圆外切时的轨迹是一条挖去三点的直线(x轴).两定圆相交时的轨迹是椭圆. 两定圆内切时的轨迹是椭圆.两定圆内含时的轨迹是椭圆.课件7验证3.相关结论:固定两定圆的位置关系(1)两定圆外离时.动圆与两定圆 都相内切或都相外切的轨迹是双曲线.一个相外切和一个相内切的轨迹是双曲线.(2)两定圆外切时.动圆与两定圆 都相内切或都相外切的轨迹是双曲线.一个相外切和一个相内切的轨迹是一条挖去三点的直线(x轴).(3)两定圆相交时.动圆与两定圆 都相内切或都相外切的轨迹是双曲线.一个相外切和一个相内切的轨迹是椭圆.(4)两定圆内切时,动圆