插空法：“不相邻”排列问题的专项工具

辅教导学 数学通讯 2 O 1 4年 第 7 、 8期( 上半月) 6 9 插空法 ： “ 不相邻 排列问题的专项工具 仇 索 ( 江苏省如皋高等师范学 校 ， 2 2 6 5 0 0 ) 插空法是解决 “ 不相邻”排列 问题的专 项工 具 ， 正如一 句 口诀 ： 相邻问题用捆绑 ， 非邻 问题用 插空 一般 地说 ， 使用插空法时 ， 应先将无限制条 件的元素排列好 ， 再 将不相邻 的元 素插 入到 已经 排好的元素之间或者两端 应用插空法时 ， 要 注意 所插空元素 的特点 、 细节 、 要求 ， 采取配套的方法 和策略， 才能一举攻克“ 不相邻”排列问题 1 所插 空的元 素可 以相 邻 例 l 1 2 名同学合影 ， 站成前排 4 人后排 8 人 ， 现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排 ， 若其 他人的相对顺序不变 ， 则不 同调整方法的总数是 多 少 ? 错 解 从 后排 8人 中选 2人共 种 ， 前 排 4 人共形成 5个空位 ， 将这 2人插入 5个空位 中， 共 A； 有种 ， 所以不同调整方法的总数是 C ； Ai 解析 该解法是把剩下的 2 人以不相邻的方 式插入空位中， 事实上这 2人可 以相邻 ， 共分为 2 人 在 一起 和不 在 一 起 两 种 情 况 ， 所 以正 确 答 案 为 C ； ( A ： + A A； )一 8 4 0种 或者 采 用 逐个 插 入 法 ： 先从 5 个空位中插入其中 1 人 ， 有 5 种插法 ， 余 下的 1 人 再插 入 5个 人所 形成 的 6个空 位 中 ， 有 6种 插 法 ， 所 以共 有 C i 5 6 8 4 0种 例 2 有 7 人 排 成一 排 照相 ， 其 中有 甲 、 乙 、 丙 3人 不 能相邻 的排法 共有 多 少种 ? 错解 除了甲、 乙、 丙以外的 4人先排好， 有 A： 种 ， 4人 排好 后 形 成 5个 空 位 ， 再 将 甲 、 乙 、 丙 3 人 插 人 5个 空 位 中 有 A；种 ， 这 样 共 有 A： A 一 1 4 4 0种 排 法 解析 错解仅考虑到甲、 乙、 丙 3 人互不相邻 的 情况 ， 忽 略 了还可 以是 甲 、 乙 、 丙 3 人不 能 同时 相 邻 ， 但允许其 中有 2人相邻这种情况 ， 所 以正确答 案是 A ： ( Al +C j A i Ai ) 一4 3 2 0 种 或者用间接法 ： 在 7个 人 的全排 列 的方 法 数 中减 去 甲 、 乙、 丙 3人 全相邻 的方法数 ， 就得到甲、 乙、 丙 3 人不能相邻的 排 法数 ， 这样 共 有 A； 一 A2 A；一 4 3 2 0种方 法 例 3 某工程队有 6 项工程需要单独完成 ， 其 中工程乙必须在工程 甲完成后才能进行 ， 工程丙 必须 在工 程 乙完 成 后 才 能 进 行 ， 而 工 程 丁 必 须 在 工程丙完成后立即进行 ， 那么安排这 6 项工程有多 少不 同排 法种 数 ? 错解 将 剩余 两 个 工 程 插 在 由 甲 、 乙、 “ 丙 、 丁” 形成的 4个空位中， 可得 A ；一 1 2种 解析 错解与例 1如 出一辙 ， 都是片面考虑 成“ 以不相邻的方式插入空位中” ， 事实上 ， 将剩余 两个 工程 的其 中一 个 ( 设 为戊 ) 插 人 到 甲 、 乙 、 “ 丙 、 丁” 形成的 4个空位中有 4种插入方法 ， 再将另外 一 个插 入 甲 、 乙、 “ 丙 、 丁” 、 戊 形 成 的 5个 空 位 中有 5 种 插入方 法 ， 所 以共有 4 5= 2 0 种 方法 这是 逐 一 插人 的解 法 2 所插 空 的元素 需要 分组 例 4 现有 3 男 3女 6 位同学 ， 从左至右站成 一 排合影留念 ， 要求 3位女生有且只有两个相邻 ， 则 不 同的排 法有 多少 种 ? 解 析 先 将 3 位 男生 排成一 排 ， 有 A； ， 再将 3 位女生分成两组 C ； C j ， 其 中相邻的 2个 女生有次 序 之 分 ， 因此是 A； ， 最后将 两 组女生 插入 男生 问空 档 ( 包 括 两 端)中去 ， 有 C i A； ， 所 以共 有 A； ( C ； C )A ；( C i A ； )一 4 3 2种 例 5 一排共 7 个座位， 现有 4人入座 ， 其中 有 2 - 人坐在一起， 但任何 3人不连坐在一起， 则一 共有 多少 不 同的入 座方 法 ? 解 析 根 据 题 意 ， 可 将 4人 分 成 “ 2 、 1 、 1 ”和 “ 2 、 2 ”这两 组 ， 分 别是 2 l I和 2 2 ，然后 将 两个 r 、f 、p f 、f 、 2 x2 组 分别插 入 3 个 空椅 子形 成 的 4 个 空位 中 ， 分 别是 r 2 r 、 1 r 、 1 A A；和A： A； A； ， 所 以 共 有 Ai A；+ 2 r 2r 2 Ai A2 A ；一 2 8 8+1 4 4= 4 3 2种入座方式 2 例 6 某停车场有连成 1 排的 9 个停车位 ， 现 有 5 辆 不 同 的车需 要停 放 ， 要 求 2辆 连 在 一起 ， 还 7 0 数 学通讯2 O 1 4年第 7 、 8期( 上半月) 辅教导学 有 2 辆 也 连在 一起 ， 还有 1 辆 单 独停放 的停 法共 有 多少种? 解析 9个停车位 ， 5辆不同的车停放 ， 还剩 下 4 个停车位， 这 4 个停车位形成 5 个空位 根据题 意 ， 可先考虑 5 辆不同的车分成 3组 ， 然后“ 分配” 到 3 个 空位 ， 这是 一个 不 同元 素的部 分均 匀非 定 向 分配问题 ， 5 个空位选 3 个空位有 C ； 种 ， 将部分均 ， 、 2， 、2， 、1 匀 的 3 个 组“ 分配 ” 到这 3 个 空位 ， 有 A； 种 ， 2 因为“ 捆绑”的车之 间可以交换顺序 ， 有 A； A； 种 ， r 、2， 、2， 、1 这样 ， 共有 C i Ai Ai Ai 一 3 6 0 0种 2 3 所插 空的 元素没 有顺序 例 7 有 6张椅子排 成一 排 ， 现有 3人 人座 ， ( 1 ) 3个空位全不相邻的入座方法有多少种 ? ( 2 ) 恰好有两张空位椅子相邻 的不 同入座方 法有多少种? 错解 ( 1 ) 先安排 3 人入座 ， 有 A； 种方法 ， 形 成 4个空位 ， 再将 3个空椅子插入 4个 空位 中， 有 Ai 种 方法 ， 所 以全 不 相 邻 的 入 座 方 法 有 A； Ai： 1 4 4种方 法 ( 2 )因为有两张空位椅子需要相邻 ， 故可把 3 张空椅 子 分成 2组 ， 其 中一组 2张 ， 另一组 1张 ， 有 C ； 种 ， 之后 插入 已坐 的 3人所形 成 的 4个 空位 中 ， 有 A i种方 法 ， 相邻 的 2张空 椅还 有 A； 种排 法 ， 所 以不同入座方法共有 A i C ； A i A ；= 4 3 2种 解 析 ( 1 ) 3 人 入座形成 4 个 空位 ， 但 3 张空椅 子不 需要 区分 ， 与顺 序无 关 ， 相 当于 3个 相 同元 素 占据 4个位 置， 有 C i种方 法 ， 所 以正确 答案是 A C i = 2 4种 ( 2 ) 错解把空椅视作为不同元 素进行了分组 处理 ， 事实上它们只有 1 种分法， 相邻 的两个空位 因 为没 有顺 序之 别 也 无 需 再 排 列 ， 正 确 解 法 是 将 两张相邻 的空椅子看做一个整体 ； 与另一 张空椅 插入 4 个空位中， 显然将这两者交换顺序是不同的 方法， 故不同入座方法有 A； A ：= 7 2种 例 8 在一条马路上有编号为 1 、 2 、 3 、 、 1 0 的 1 O个路灯 ， 为节约用电而不影响照明， ( 1 ) 将其中三只路灯灭掉 ， 但不能灭掉相邻 的 两 只 ， 一 共有 多少 种不 同的熄 灭方 法 ? ( 2 ) 将其中三只路灯灭掉 ， 且熄灭的 3只灯不 在 两端 ， 且 不 相 邻 ， 一 共 有 多 少 种 不 同 的 熄 灭 方 法 ? 解析 组成空位 的 7只亮灯之间没有顺序 ， 对于( 1 ) 7只亮灯有 8 个空位， 对于( 2 ) 则有 5 个空 位 3只需要熄灭的灯不相邻 ， 用它们去插空， 由于 这 3 只灯也没有顺序， 所以不同的熄灭方法总数分 别 为 C ； 一 5 6和 C ； = 2 O 例 9 某人在飞碟射击项 目中射击 8 枪 ， 命 中 4 枪 若命中的 4 枪中恰好有两个 2 枪连续命中( 不 能出现 4 枪连续命中) ， 有多少种不同的情况? 解析 把两个连续命中 目标的 2 枪“ 捆绑” 在 一 起 ， 形成两个“ 大元素” ， 由于这两个“ 大元素”不 相邻 ， 故使用插空法 先将剩余 的没有命 中目标 的 4枪先排好 ， 因为元素相同， 显然只有 1种排法， 接 下来， 把这两个“ 大元素”插入到 已经排好的 4枪 形成的 5个空档中， 由于“ 大元素”没有区别 ， 所以 没有次序之分， 有 c i 种插法 ， 所以根据分步计数原 理 ， 其所 有情 况共 有 C ； 一 1 0种 注 假如把条件修改为“ 命 中的 4枪 中恰好 有 且 仅有 3枪 连 续 命 中 ， 有 多 少种 不 同 的情 况? ” 此时 ， 把连续命中 目标的 3枪“ 捆绑” 在一起 ， 形成 一 个“ 大元素” ， 则这个“ 大元素” 与命中目标的另 1 检就是两个不相同的元素 ， 再插入到已经排好的 4 枪形成的 5个空档中， 就有次序之分了 要注意两 者情况的区分 比较， 分清所插空的元素究竟有没 有顺 序 4 所插 空 的元 素需 要分类 当遇到一部分元素要求 不相邻 ， 另有一部分 元素也要求不相邻， 从而形成“ 几个非相邻”并存 的情况， 也即一次插空演变为二次插空、 多次插空 的时 候 ， 需 要考 虑将 所 插 空 的元 素进 行 分类 讨 论 现在 这种 题 目在考 试 中 比较 时 尚 ， 因为 它不 是 “ 单 一 的不相邻问题”所能解决 的， 需要条分缕析的分 析问题能力 例 1 O 有 3 本不同的数学书 ， 2 本不同的物理 书 ， 3 本 不 同 的化 学 书 ， 全 部竖 起排 成一 排 ， 若 要 求 数学书互不相邻 ， 同时物理书也互不相邻 ， 有多少 种 排法 ? 解 析 第一 类 ， 先 排 3本化 学 书 ， 有 A ； 种 排 法 ， 然后插入 3 本不同的数学书， 有 Ai 种插法 ， 最 后插入 2 本不同的物理书 ， 有 A； 种插法 ， 所以共有 A； A i A； 一 6 0 4 8 种排法 第二类 ， 先排 3本化学书 ， 有 A； 种排法 ， 然后 把“ 数学物理数学”看作整体 ， 它和另 1本“ 数学” 进行 插空 ， 有 Aj Ai 种 插 法 ； 最后 把 剩下 的 l本 物 理 书 插 空 ， 有A： 种 插 法 ， 所 以 共 有 辅 教导学 数学通讯 2 O 1 4年 第 7 、 8期( 上半月) 7 1 A； Ai A! Ai A j一 5 1 8 4种排 法 第三类， 先排 3 本化学书， 有 种排法 ， 然后把 “ 数学物理数学物理 数学”看作整 体进行插 空， 有 种插法， 因此共有 一 2 8 8 种排法 综合以上三种情况， 最终结果为 6 0 4 8 +5 1 8 4 + 2 8 8 1 1 5 2 0种排 法 注 本题也可 以间接考虑 先把 2本物理书 和 3 本化学书排好 ， 有 A； ， 再把数学书插入这 5 本 书形成的 6 个空位中， 有 Ai 种 ， 这里面包含了 2 本 物理书连排的情况 ， 也就是 3 本数学书互不相邻且 2 本物理书相邻的情况不符合条件， 采用捆绑法和 插 空 法 易 得 A： A； A2 2 8 8 0 ， 所 以 最 终 结 果 是 A i A： 一A A； A一 1 1 5 2 0种 例 1 1 有 6本不同的书 ， 其中数学书 2本、 物 理书 2 本 、 化 学书 2 本 ， 全 部竖 起排 成一 排 ， 若要求 数学书互不相邻 ， 同时物理书和化学书也互 不相 邻 ， 有多 少种 排法 ? 解 析 不妨 用 一 口 、 、 o 分 别表示 2 本 数学书、 2 本物理书 、 2本化学书 首先考虑 2本数 学书互不相邻 ， 故它们之间要插入其它书， 以插入 本 数为分 类标 准 ， 就 能不 重 复 也 不遗 漏 首 先 排 好 这两本数学书 ， 有 A 种 ， 其次分类讨论如下 ： 第一 类 ， 当 口 之间有 o 中的一 个 时 ， 如 一 口 ， 将 其“ 捆绑 ” 和 全排 列 ， 再将 o 插空， 有 A； C ： A； Aj一 9 6种 第二类 ， 当 口 之间有 o 中的两个 时， 如 口 ， 将其“ 捆绑”和剩下 的 和 。 全 排列 ， 便有 A； C ； C i A； A；一 9 6种 第 三 类 ， 当 口 之 间 有 o 中 的 三 个 时 ， 如 口 ， 中间 的排法 只 能是 C ： A ； ， 之后 再 与剩 下 的 1 个 全 排列 ， 便 有 A； C j A； A； 一 3 2种 第 四类 ， 当 口 之 间有 o 中 的四个 时 ， 中间 4个 的 排 法 显 然 是 两 两 不 相 邻 ， 所 以有 A； A j A ； A； 种 ， 故有 A； ( A； Ai A； A； ) = 1 6 种 综 合 以上 四种 情 况 ， 最 终结 果为 9 6 + 9 6 十 3 2 + 1 6 2 4 0种 排法 5 特殊要求与不相邻处理的先与后 例 1 2 有红 、 蓝 、 黄 三种 颜 色 的球各 7个 ， 每 种颜 色 的 7 个 球 标有 数 字 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 从 中任 取 3 个标 号 不 同的球 ， 这 3 个 球颜 色互 不相 同且 所 标数字互不相邻的取法种数有多少? 解 析 题 目中有两 个 限制 条件 ， ( 1 ) 3 个 球 颜 色互 不相 同 ， ( 2 ) 3个球 的编号 不 同且互 不相 邻 ， 不 相邻问题是我们熟 悉的条件， 可从 不相 邻入手打 开思路 第一步 ： 先从 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7这 7个数中 找 出不相邻的 3个不 同数字， 把 7个数字分成两 类 ： 被选 中和未被选中， 把未被选 中的 4个按从小 到大的顺序排成一列 ， 只有 1种排法 ， 从已经排好 的数字 形成 的 5 个 空 位( 包 括两端 )中选 取 3个 空 位 ， 插 入被 选 中的 3 个数 字 ， 有 C i 种插 法 ； 第二 步 ， 给选出的 3个数字找颜色， 共有 A； 种 ， 所 以共有 C Ai 一 6 0种选 法 注 本题若从限制 条件“ 3个球颜色互不相 同”人手 解决 ， 需 先分 步 再 分类 ， 较 为麻 烦 且 易 出 错 ， 但从 限制 条件 “ 3 个球 所标 数字互 不 相邻” 人手 解题就简单易懂得 多， 所 以在解决 多个 限制 条件 的问题 时 ， 应 注意 运 用 限制 条 件 和 不 相邻 问题 插 空 策 略的先 后顺 序 插空法 是解决元 素互 不相邻 问题 的基本方 法， 但是在实际