数学建模-人口增长模型

数学建模_叶客诚 1 人口增长模型 摘要 本文根据某地区的人口统计数据 建立模型估计该地区 2010 年的人口数量。 首先通过直观观察人口的变化规律后我们假设该地区的人口数量是时间 的二次函数 建立了一个二次函数模型并用最小二乘法对已有数据进行拟合得 到模型的具体参数从而可以预测 2010 年的人口数为 333.8668 百万。 然后我们发现从 1980 年开始该地区的人口增长明显变慢于是我们假设 人口增长率是人口数的线性减函数即随着人口数的增加 人口的增长速度会慢 慢下降从而我们建立了阻滞增长模型利用此模型我们最后求出 2010 年的人 口预报数为 296.3865。 关键字人口预报二次函数模型阻滞增长模型 问题重述 根据某地区人口从 1800 年到 2000 年的人口数据如下表 建立模型估计 出该地区 2010 年的人口 同时画出拟合效果的图形。 表 1 该地区人口统计数据 年 份 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 人口 7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2 年 份 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 人口 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 125.9 149.1 年 份 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3 符号说明 )(tx t时刻的人口数量 0 x 初始时刻的人口数量 r 人口增长率 m x 环境所能容纳的最大人口数量即0)( m xr 数学建模_叶客诚 2 问题分析 首先我们运用Matlab软件1编程见附件 1 绘制出 1800 年到 2000 年的人口数据图如图 1。 18001820184018601880190019201940196019802000 0 50 100 150 200 250 300 图 1 1800 年到 2000 年的人口数据图 从图 1 我们可以看出 1800 年到 2000 年的人口数是呈现增长的趋势的而 且类似二次函数增长。 所以我们可以建立了一个二次函数模型并用最小二乘 法对已有数据进行拟合得到模型的具体参数。 于是我们假设人口增长率是人口数的线性减函数 即随着人口数的增加人 口的增长速度会慢慢下降,从而我们可以建立一个阻滞增长模型。 模型建立 模型一二次函数模型 我们假设该地区t时刻的人口数量的人口数量)(tx是时间t的二次函数即 2 ( )x tatbtc 我们可以根据最小二乘法利用已有数据拟合得到具体参数。即要求a、b和 c使得以下函数达到最小值 数学建模_叶客诚 3 22 1 ( , , )() n iii i E a b catbtcx 其中 i x是 i t时刻该地区的人口数即有 2222 )3 .28020002000.)2 .718001800(),(cbacbacbaE 令0,0,0 EEE abc 可以得到三个关于a、b和c的一次方程从而可 解得a、b和c。 我们用Matlab编程 见附件 2 解得a0.006018357.21b,18948c 即 18948357.21006018.0)( 2 tttx 从而我们可以预测 2010 年的人口数为8668.333)2010(x百万。 180018501900195020002050 0 50 100 150 200 250 300 350 年 份 人口数 原 始 数 据 拟 合 函 数 图 2 二次函数模型的拟合效果图 图 2 是所得到的二次函数模型和原数据点的拟合效果图。 从图 2 可以看出 拟合的效果在 1950 年之前还可以但是对后期的数据拟合的不好。 模型二阻滞增长模型 我们假设人口增长率r是人口数x的线性减函数 即随着人口数的增加人 数学建模_叶客诚 4 口增长速度会慢慢下降 0 ( )r xrsx 人口数量最终会达到饱和且趋于一个常数 m x当 m xx 时增长率为 0 0 0 m rsx 由上面的关系式可得出 0 ( )1 m x r xr x 把上式代进指数增长模型的方程中并利用初始条件2 .7)1800(x可以得到 2 .7)1800( 1 0 x x x x r dt dx m 解得 )1800( 1 72 10 1 )( trm m e x x tx 我们可以利用已有数据拟合求解得程序见附件 4: 36.334 m x, r-0.027958。 可以预测 2010 年的人口数为3865.296)2010(x百万。 数学建模_叶客诚 5 180018501900195020002050 0 50 100 150 200 250 300 年 份 人口数 原 始 数 据 拟 合 函 数 图 4 阻滞增长模型的拟合效果图 图 4 是阻滞增长模型的拟合效果图。 从图 4 我们可以看出我们的模型对该 地区的人口数据拟合得很好。 可以看出阻滞增长模型更客观地反映人口的增长规 律基本上都在拟合曲线上拟合效果好特别是后期的数据非常的吻合所以 次模型对未来的人口数预测是很适合的结果更准确 对未来的预测比指数增长 模型更为优越。 参考文献 1 刘卫国, 陈昭平, 张颖. MATLAB 程序设计与应用M, 北京:高等教育出版 社, 2002 年。 2 姜启源, 谢金星, 叶俊. 数学建模(第三版)M, 北京高等教育出版社, 2004 年。 附录 附件 11800 年到 2000 年的人口数据图 x=1800:10:2000; y=7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 125.9 149.1 数学建模_叶客诚 6 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3; figure; plot(x,y,r*); 附件 2:线性增长模型的拟合代码 x=1800:10:2000; y=7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 125.9 149.1 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3; plot(x,y,r*); % 画点红色 hold on; % 使得以下图形画在同一个窗口 p = polyfit(x,y,2) % 多项式拟合返回系数 p xn = 1800:5:2010; % 定义新的横坐标 yn = polyval(p,xn); % 估计多项式 p 的函数值 plot(xn,yn) % 把(x,yn)定义的数据点依次连起来 % 给图形加上图例 xlabel(年份); ylabel(人口数); legend(原始数据,拟合函数,2); box on; grid on; x1=2010; y1 = polyval(p,x1) % 估计多项式 p 在未知点的函数值 附件 3阻滞增长模型的拟合代码 clc; % 清屏幕 clear; % 清除以前的变量 % 数据点(t,y) t=1800:10:2000; y=7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 125.9 149.1 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3; plot(t,y,b*); % 定义需要拟合的函数类型 myfun(a,t)a 是参数列表,t 是变量 myfun = (a,t)a(1)./(1+(a(1)./7.2-1)*exp(a(2)*(t-1800); a0=500,1; % 初始值 数学建模_叶客诚 7 % 非线性拟合.最重要的函数 第 1 个参数是以上定义的函数名第 2 个参数是 初值第 3、4 个参数是已知数据点 a=lsqcurvefit(myfun,a0,t,y); disp(a= num2str(a); % 显示得到的参数 % 画出拟合得到的函数的图形 ti=1800:10:2010; yi=m