五年级奥数完整教案-老师版VIP

.奥数第一讲 巧算 小朋友，你是不是在日常生活和解答数学问题时，经常要进行计算？在数学课里我们学习了一些简便计算的方法，但如果善于观察、勤于思考，计算中还能找到更多的巧妙的计算方法哦，不仅使你能算得好、算得快，还可以让你变得聪明和机敏。一、计算： 9.99629.98169.93999.5解：算式中的加法看来无法用数学课中学过的简算方法计算，但是，这几个数每个数只要增加一点，就成为某个整十、整百或整千数，把这几个数 “凑整 ”以后，就容易计算了。当然要记住，“凑整 ”时增加了多少要减回去。 9.99629.98169.93999.5=10301704000（0.0040.020.10.5）=42100.624 =4209.376二、计算：10.990.980.970.960.950.940.930.040.030.020.01解：式子的数是从 1开始，依次减少 0.01，直到最后一个数是 0.01，因此，式中共有 100个数而式子中的运算都是两个数相加接着减两个数，再加两个数，再减两个数 这样的顺序排列的。由于数的排列、运算的排列都很有规律，按照规律可以考虑每 4个数为一组添上括号，每组数的运算结果是否也有一定的规律？可以看到把每组数中第 1个数减第3个数，第2个数减第4个数，各得0.02，合起来是0.04，那么，每组数（即每个括号）运算的结果都是0.04，整个算式100个数正好分成 25组，它的结果就是25个0.04的和。 10.990.980.970.960.950.940.930.040.030.020.01=（10.990.980.97）（0.960.950.940.93）（0.040.030.020.01） =0.0425 =1如果能够灵活地运用数的交换的规律，也可以按下面的方法分组添上括号计算： 1 0.990.980.970.960.950.940.930.040.030.020.01=1（0.990.980.970.96）（0.950.940.930.92）（0.030.020.01） =1 三、计算： 0.10.20.30.80.90.100.110.120.190.20解：这个算式的数的排列像一个等差数列，但仔细观察，它实际上由两个等差数列组成， 0.10.20.30.80.9是第一个等差数列，后面每一个数都比前一个数多 0.1，而0.100.110.120.190.20是第二个等差数列，后面每一个数都比前一个数多 0.01，所以，应分为两段按等差数列求和的方法来计算。 0.10.20.30.80.90.100.110.120.190.2=（0.10.9）92（0.100.20）112=4.51.65 =6.15四、计算： 9.99.91.99解：算式中的9.99.9两个因数中一个因数扩大10倍，另一个因数缩小10倍，积不变，即这个乘法可变为 990.99+1.99可以分成0.991的和，这样变化以后，计算比较简便。 9.99.91.99=990.990.991=（991）0.99 1 =100五、计算： 2.43736.54243.70.6346解：虽然算式中的两个乘法计算没有相同的因数，但前一个乘法的2.437和后一个乘法的243.7两个数的数字相同，只是小数点的位置不同，如果把其中一个乘法的两个因数的小数点按相反方向移动同样多位，使这两个数变成相同的，就可以运用乘法分配律进行简算了。 2.43736.54243.70.6346=2.43736.542.43763.46=2.437（36.5463.46） =243.7六、计算： 1.11.21.31.41.5解：算式中的几个数虽然是一个等差数列，但算式不是求和，不能用等差数列求和的方法来计算这个算式的结果。平时注意积累计算经验的同学也许会注意到7、11和 13这三个数连乘的积是 1001，而一个三位数乘 1001，只要把这个三位数连续写两遍就是它们的积，例如 5781001=578578，这一题参照这个方法计算，能巧妙地算出正确的得数。 1.11.21.31.41.5 =1.11.30.721.21.5 =1.0013.6 =3.6036 练习15.4673.8147.5334.18626.251.256.433.99719.961.9998199.740.10.30.90.110.130.150.970.995199.919.98199.819.97623.753.9876.01392.076.83239.877200420052005200420042004200520058（10.120.23）（0.120.230.34）（10.120.230.34）（0.12 0.23）96.7341.5363.2664.464100.80.1251189.190.388.692.188.990.8124.830.590.411.590.3245.91337.521.50.11235.512.50.112 1499992222+333333341519891999-19882000奥数第二讲 数的整除如果整数a除以不为零数b，所得的商为整数而余数为0，我们就说a能被b整除，或叫b能整除a。如果a能被b整除，那么，b叫做a的约数，a叫做b的倍数。数的整除的特征：（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2整除。（2）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。（3）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。（4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么这个整数一定能被5整除。（5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除，那么这个数就一定能被6整除。（6）能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数，这个数就能被7（或11或13）整除。（7）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。（8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。1、 例题与方法指导例1、下列各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？（数的整除特征）88205， 167128， 250894， 396500，675696， 796842， 805532， 75778885。例2、一个六位数2356是88的倍数,这个数除以88所得的商是_或_.思路导航：一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能23 0 56 0 或23 8 56 8 又 23056088=2620 23856888=2711所以,本题的答案是2620或2711.例3、123456789,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_.思路导航：因为36=94,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+9=45，由能被9整除的数的特征，（可知+之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知是00,04,，36，72，96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.所以,这个数的个位上的数最小是0.例4、下面一个1983位数333444中间漏写了一个数字(方框),已 991个 991个知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_.思路导航：333444 991个 991个=33310993+3410990+444 990个 990个 因为111111能被7整除，所以333和444都能被7整除,所以只要 990个 990个34能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.例5、有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_.思路导航：三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有当和为33时,三个数是10,11,12；当和为66时,三个数是21,22,23；当和为99时,三个数是32,33,34.所以，答案为 10,11,12或21,22,23或32,33,34。注“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下：设三个连续自然数为n,n+1,n+2,则n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)所以，能被3整除.2、 巩固训练1. 有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是_.2. 一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_.3. 任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示B的各位数字之和,那么C是_.4. 有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_.1. 118符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,如果十位数不变,则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两位数有:39、79.所以,所求的和是39+79=118. 2 195因为这个数可以分解为两个两位数的积，而且1515=225200,所以其中至少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数,但11不可能符合条件,因为对于小于200的自然数凡11的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数,十位必是偶数.所以只需检查13的倍数中小于200的三位数1313=169不合要求,1315=195适合要求.所以,答案应是195.3. 9根据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.因为3456=3849,所以任何一个四位数乘3456,其积一定能被9整除,根据能被9整除的数的特征,可知其积的各位数字之和A也能被9整除,所以A有以下八种可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.从而A的各位数字之和B总是9,B的各位数字之和C也总是9.4. 90+1+4+7+9=21能被3整除,从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的四位数能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9两种选择组成四位数,由小到大排列为:1047,1074,1407,1470,1479,1497.所以第五个数的末位数字是9.3、 拓展提升1.找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？2.只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？3.试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明.答案1.如果最小的数是1,则和1一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有2和3两数，因此最小的数必须大于或等于2.我们先考察2、3、4、5这四个数,仍不符合要求,因为5+2=7,不能被5-2=3整除.再往下就是2、3、4、6,经试算,这四个数符合要求.所以,本题的答案是(3+4)=7.2.因为225=259,要使修改后的数能被25整除,就要既能被25整除,又能被9整除,被25整除不成问题,末两位数75不必修改,只要看前三个数字即可,根据某数的各位数字之和是9的倍数,则这个数能被9整除的特征,因为2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出以下四种改法:把1改为0；把4改为3；把1改为9；把2改为1.3.不能.假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数,我们来按所排列顺序将它们每5个分为一组,可得20组,其中每两组都没有共同的数,于是,在每一组的5个数中都至少有两个数是3 的倍数.从而一共有不少于40个数是3 的倍数.但事实上,在1至100的自然数中有33个数是3的倍数,导致矛盾.奥数第三讲 数字谜小朋友们都玩过字谜吧，就是一种文字游戏，例如“空中码头”（打一城市名）。谜底你还记得吗？记不得也没关系，想想“空中”指什么？“天”。这个地名第1个字可能是天。“码头”指什么呢？码头又称渡口，联系这个地名开头是“天”字，容易想到“天津”这个地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。这样谜底就出来了：天津。算式谜又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，把算式还原。“虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常用、等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文字或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字，相同的数字或字母表示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。在数学里面，文字也可以组成许许多多的数学游戏，就让我们一起来看看吧。横式字谜1、 例题与方法指导例1、，8，97在上面的3个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这3个数的平均数是150。那么所填的3个数字之和是多少？思路导航：1503-8-97-5=340所以3个数之和为3+4+5=12。例2、我学数学乐我学数学乐=数数数学数数学学数学在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐”分别代表的4个不同的数字。如果“乐”代表9，那么“我数学”代表的三位数是多少？ 分析：学=1，我=8，数=6 ，8161981619=6661661161例3、（）=24在式中的4个方框内填入4个不同的一位数，使左边的数比右边的数小，并且等式成立。思路导航：这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：a（bcd）=acdb (去括号） 当a=1时，有682=24，893=24；当a=2时，有493=12，684=12，896=12；所以，满足要求的等式有：1（268）=24，1（389）=24，2（349）=24，2（468）=24，2（689）=24。例4、 =5； 12+=，把1至9这9个数字分别填入上面两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有3个数字已经填好。分析：根据第一个等式，只有两种可能：78=56，69=54；如果为78=56，则余下的数字有：3、4、9，显然不行；而当69=54时，余下的数字有：3、7、8，那么，12+3-7=8或12+3-8=7都能满足。2、 训练巩固1. 迎迎春春=杯迎迎杯，数数学学=数赛赛数，春春春春=迎迎赛赛在上面的3个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。如果这3个等式都成立，那么，“迎+春+杯+数+学+赛”等于多少？分析：考察上面三个等式，可以从最后一个等式入手：能够满足：春春春春=迎迎赛赛 的只有8888=7744，于是，春=8，迎=7，赛=4；这样，不难得到第一个为：7788=6776，第二个为：5599=5445；所以，迎+春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39。2. 迎+春春=迎春，（迎+杯）（迎+杯）=迎杯在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。那么“迎+春+杯”等于多少？分析：同样可以从第二个算式入手，发现满足要求的只有（8+1）（8+1）=81，于是，迎=8；这样，第一个算式显然只有：8+99=89；所以，迎+春+杯=8+9+1=18。3、 拓展提升1.在下列各式的中分别填入相同的两位数：(1)5=2；(2)63。2. 将39中的数填入下列各式，使算式成立，要求各式中无重复的数字：(1)=；(2)。3.在下列各式的中填入合适的数字：(1)448=；(2)2822=；(3)13= 46。4. 在下列各式的中填入合适的数：(1) 32831；(2)5733229；(3)48377427。答案与提示练习224.(1)287；(2)17；(3)65。竖式字谜一、例题与方法指导例1 在图4-1所示的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字那么“喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少？分析： 首先看个位，可以得到“欢”是0或5，但是“欢”是第二个数的十位，所以“欢”不能是0，只能是5。 再看十位，“欢”是5，加上个位有进位1，那么，加起来后得到的“人”就应该是偶数，因为结果的百位也是“人”，所以“人”只能是2；由此可知，“喜”等于8。 所以，“喜欢”这两个汉字所代表的两位数就是85。例2 在图4-2所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字如果：巧+解+数+字+谜=30，那么“数字谜”所代表的三位数是多少？分析：还是先看个位，5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”，“谜”必定是5（0显然可以排出）； 接着看十位，四个“字”相加再加上进位2，结果尾数还是“字”，那说明“字”只能是6； 再看百位，三个“数”相加再加上进位2，结果尾数还是“数”，“数”可能是4或9； 再看千位，（1）如果“数”为4，两个“解”相加再加上进位1，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于6与“字”等于6重复，不能； （2）如果“数”为9，两个“解”相加再加上进位2，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以。 所以“数字谜”代表的三位数是965。例3 图4-4是一个加法竖式，其中E，F，I，N，O，R S，T，X，Y分别表示从0到9的不同数字，且F，S不等于零那么这个算式的结果是多少？ 分析：先看个位和十位，N应为0，E应为5；再看最高位上，S比F大1；千位上O最少是8；但因为N等于0，所以，I只能是1，O只能是9；由于百位向千位进位是2，且X不能是0，因此决定了T、R只能是7、8这两个；如果T=7，X=3，这是只剩下了2、4、6三个数，无法满足S、F是两个连续数的要求。所以，T=8、R=7；由此得到X=4；那么，F=2，S=3，Y=6。所以，得到的算式结果是31486。2、 训练巩固1. 在图4-5所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字那么D+G等于多少？分析：先从最高位看，显然A=1，B=0，E=9；接着看十位，因为E等于9，说明个位有借位，所以F只能是8；由F=8可知，C=7；这样，D、G有2、4，3、5和4、6三种可能。所以，DG就可以等于6，8或10。2. 王老师家的电话号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得9063，把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529求王老师家的电话号码分析：我们可以用abcdefg来表示这个七位数电话号码。由题意知，abcd+efg=9063，abc+defg=2529；首先从第一个算式可以看出，a=8，从第二个算式可以看出，d=1；再回到第一个算式，g=2，掉到第二个算式，c=7；又回到第一个算式，f=9，掉到第二个算式，b=3；那么，e=6。所以，王老师家的电话号码是8371692。3. 将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数如果新数比原数大7902，那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少？分析：用abcd来表示愿四位数，那么新四位数为dcba，dcba-abcd=7902；由最高为看起，a最大为2，则d=9；但个位上10+a-d=2，所以，a只能是1；接下来看百位，b最大是9，那么，c=8正好能满足要求。所以，原四位数最大是1989。3、 拓展提升1.已知图4-6所示的乘法竖式成立那么ABCDE是多少？ 分析：由1/7的特点易知，ABCDE=42857。1428573=428571。2. 某个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字的前面，所构成的新数恰好是原数的4倍问原数最小是多少？ 分析：由个位起逐个递推：44=16，原十位为6；46+1=25，原百位为5；45+2=22，原千位为2；42+2=10，原万位为0； 14=4，正好。所以，原数最小是102564。奥数第四讲 定义新运算定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号，例如“+、-、”等。表示运算意义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如ab=3a-3b，新运算使用的符号是，而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义，严格按照规定的法则进行运算。如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。1、 例题与方法指导例1、设 ab都表示数，规定ab表示a的4倍减去b的3倍，即ab=4a-3b,试计算56，65。解56=54-63=20-18=2 65=64-53=24-15=9说明 例1定义的没有交换律，计算中不得将前后的数交换。例2、对于两个数a、b,规定ab表示3a+2b,试计算（56）7，5（67）。思路导航：先做括号内的运算。解：（56）7=（53+62）7=277=273+72=95 5（67）=5（63+72）=532=53+322=79说明 本题定义的运算不满足结合律。这是与常规的运算有区别的。例3、已知23=234，42=45，一般地，对自然数a、b，ab 表示a(a+1)（a+b-1）.计算（63）-（52）。思路导航：原式=67-56 =336-30规定：a=a+(a+1)+(a+2)+（a+b-1）,其中a,b表示自然数。例4、已知13=1+2+3=6，求1100的值。已知x10=75,求x.思路导航：（1）原式=1+2+3+100=（1+100）1002=5050（2）原式即x+(x+1)+(x+2)+（X+9）=75,所以： 10X+(1+2+3+9)=75 10x+45=75 10x=30 x=3例5、定义运算：ab=3a+5ab+kb，其中a，b 为任意两个数，k 为常数。比如：27=32+527+7k。（1）已知52=73。问：85 与58 的值相等吗？（2）当k 取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有ab=ba，即新运算“”符合交换律？分析与解：（1）首先应当确定新运算中的常数k。因为52=35+552+k2=65+2k，所以由已知52=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）2=4。定义的新运算是：ab=3a+5ab+4b。85=38+585+45=244，58=35+558+48=247。因为244247，所以8558。（2）要使ab=ba，由新运算的定义，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0，3(a-b)-k(a-b)=0，(3-k)(a-b)=0。对于两个任意数a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。当新运算是ab=3a+5ab+3b 时，具有交换律，即ab=ba。例6、对任意的数a，b，定义：f（a）=2a+1， g（b）=bb。（1）求f（5）-g（3）的值；（2）求f（g（2）+g（f（2）的值；（3）已知f（x+1）=21，求x 的值。解：（1） f（5）-g（3）=（25+1）-（33）=2； （2）f（g（2）+g（f（2） =f（22）+g（22+1） =f（4）+g（5）=（24+1）+（55）=34； （3）f（x+1）=2（x+1）+1=2x+3， 由f（x+1）=21，知2x+3=21，解得x=9。2、 巩固训练1、 若对所有b,ab =ax,x是一个与b无关的常数；ab=(a+b)2,且 （13）3=1（33）。求（14）2的值。2、如果规定：=234，=345，=456，=8910，求+-+-+-的值。3、对于任意的两个数a 和b，规定a*b=3a-b3。求8*9 的值。4、对于任意的两个数P， Q，规定PQ=（PQ）4。例如：28=（28）4。已知x（85）=10，求x 的值。5、 定义：定义： ab=ab-3b，ab=4a-b/a。计算：（43）（24）。6、已知： 23=234，45=45678， 求（44）（33）的值。7、 定义两种运算“”和“”如下：ab 表示a，b 两数中较小的数的3 倍，ab 表示a，b 两数中较大的数的2.5 倍。比如：45=43=12，45=52.5=12.5。计算：(0.60.5)+(0.30.8)(1.20.7)-(0.640.2)。8、设m，n 是任意的自然数，A 是常数，定义运算mn=（Am-n）4，并且23=0.75。试确定常数A，并计算：（57）（22）（32）。9、对任意两个不同的自然数a 和b，较大的数除以较小的数，余数记为a b。比如73=1，529=4，420=0。（1）计算：19982000，（519）19，5（195）；（2）已知11x=4，x 小于20，求x 的值。10、对于任意的自然数a，b，定义：f（a）=aa-1，g（b）=b2+1。 （1）求f（g（6）-g（f（3）的值；（2）已知f（g（x）=8，求x 的值。奥数第五讲 周期性问题在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现。如：人调查十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；一年有春夏秋冬四个季节；一个星期有七天等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解决。 在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，如果正好有个整数周期，结果为周期里的最后一个；如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数，最后根据余数的大小得出正确的结果。1、 例题与方法指导例1、某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_.思路导航：因为74=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，且2月1日与2月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了 31+30+31+1=93(天).因为937=132，所以这年6月1日是星期二.例2、1989年12月5日是星期二,那么再过十年的12月5日是星期_.思路导航：依题意知，这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之中共有36510+2=3652（天）因为（3652+1）7=5216，所以再过十年的12月5日是星期日.注上述两题(题1题2)都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答.在计算天数时,要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是400的倍数才是闰年.例3、按下面摆法摆80个三角形,有_个白色的. 思路导航：从图中可以看出,三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列，也就是这一排列的周期为6，并且每一周期有3个白色三角形.因为806=132，而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角形133=39（个）.例4、节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯.也就是说,从第一盏白灯起,每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯,小明想第73盏灯是_灯.思路导航：依题意知,电灯的安装排列如下:白,红,黄,绿,白,红,黄,绿,白,这一排列是按“白，红，黄，绿”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4.由734=181,可知第73盏灯是白灯.例5、时针现在表示的时间是14时正,那么分针旋转1991周后,时针表示的时间 是_.思路导航：分针旋转一周为1小时,旋转1991周为1991小时.一天24小时,199124=8223，1991小时共82天又23小时.现在是14时正,经过82天仍然是14时正,再过23小时,正好是13时.注在圆面上,沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈,再加上一根长针和一根短针,就组成了我们天天见到的钟面.钟面虽然是那么的简单平常,但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题,周期现象就是其中的一个重要方面.例6、在100 米地跑道两侧每隔2 米站着一个同学。这些同学从一端开始，按两 女生，再一男生地规律站立着。问这些同学中共有多少个女生？解：一侧：1002=50（人） 50+1=51（人）51（2+1）=17 组一组里有2 个女生，女生217=34（人）两侧共有女生342=68（人）答：共有女生68 人。2、 巩固训练1. 把自然数1,2,3,4,5如表依次排列成5列，那么数“1992”在_列.第一列第二列第三列第四列第五列1234598761011121314181716152. 把分数化成小数后，小数点第110位上的数字是_.3. 循环小数与.这两个循环小数在小数点后第_位,首次同时出现在该位中的数字都是7.4. 一串数: 1,9,9,1,4,1, 4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,共有1991个数. (1)其中共有_个1,_个9_个4； (2)这些数字的总和是_.5、 7777所得积末位数是_. 50个答案：1、3仔细观察题中数表. 1 2 3 4 5 (奇数排) 第一组 9 8 7 6 (偶数排) 10 11 12 13 14 (奇数排) 第二组 18 17 16 15 (偶数排) 19 20 21 22 23 (奇数排) 第三组 27 26 25 24 (偶数排)可发现规律如下:(1)连续自然数按每组9个数,且奇数排自左往右五个数,偶数排自右往左四个数的规律循环排列；(2)观察第二组,第三组,发现奇数排的数如果用9除有如下规律:第1列用9除余数为1,第2列用9除余数为2,，第5列用9除余数为5.(3)109=11，10在1+1组，第1列 199=21，19在2+1组，第1列因为19929=2213，所以1992应排列在（221+1）=222组中奇数排第3列数的位置上.2、7=0.57142857它的循环周期是6，具体地六个数依次是5，7，1，4，2，81106=182因为余2，第110个数字是上面列出的六个数中的第2个，就是7.3、35因为0.1992517的循环周期是7,0.34567的循环周期为5,又5和7的最小公倍数是35,所以两个循环小数在小数点后第35位,首次同时出现在该位上的数字都是7.4、853,570,568,8255.不难看出,这串数每7个数即1,9,9,1,4,1,4为一个循环,即周期为7,且每个周期中有3个1,2个9,2个4.因为19917=2843，所以这串数中有284个周期，加上第285个周期中的前三个数1，9，9.其中1的个数是:3284+1=853(个),9的个数是2284+2=570(个),4的个数是2284=568(个).这些数字的总和为1853+9570+4568=8255.3、 拓展提升1. 紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数.例如89=72,在9后面写2,92=18,在2后面写8,得到一串数字: 1 9 8 9 2 8 6这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？2. 1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？3. 设n=2222，那么n的末两位数字是多少？ 1991个4在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？答案：1、 依照题述规则多写几个数字: 1989286884286884可见1989后面的数总是不断循环重复出现286884，每6个一组，即循环周期为6.因为(1989-4)6=3305，所以所求数字是8.2、1991个1990相乘所得的积末两位是0,我们只需考察1990个1991相乘的积末两位数即可.1个1991末两位数是91,2个1991相乘的积末两位数是81,3个1991相乘的积末两位数是71,4个至10个1991相乘的积的末两位数分别是61,51,41,31,21,11,01,11个1991相乘积的末两位数字是91，由此可见，每10个1991相乘的末两位数字重复出现，即周期为10.因为199010=199,所以1990个1991相乘积的末两位数是01,即所求结果是01.3、n是1991个2的连乘积,可记为n=21991,首先从2的较低次幂入手寻找规律,列表如下:nn的十位数字n的个位数字nn的十位数字n的个位数字21022129622042139223082148424162156825322163626642177227282184428562198829122207621024221522114822204观察上表,容易发现自22开始每隔20个2的连乘积,末两位数字就重复出现,周期为20.因为199020=9910，所以21991与211的末两位数字相同，由上表知211的十位数字是4，个位数字是8.所以,n的末两位数字是48.4、 因为100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们可以看作是从同一端点染色. 6与5的最小公倍数是30,即在30厘米的地方,同时染上红色,这样染色就会出现循环,每一周的长度是30厘米,如下图所示.6121824305101520259596100.90由图示可知长1厘米的短木棍,每一周期中有两段,如第1周期中,6-5=1,55-64=1.剩余10厘米中有一段.所以锯开后长1厘米的短木棍共有7段.综合算式为:2(100-10)30+1=23+1=7(段)注解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色,转化为自左向右的染色,便于利用最小公倍数发现周期现象,化难为易.奥数第六讲 行程问题行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题，不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中，都拥有非常重要的地位。行程问题中包括：火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程，等等。每一类问题都有自己的特点，解决方法也有所不同，但是，行程问题无论怎么变化，都离不开“三个量，三个关系”：这三个量是：路程(s)、速度(v)、时间(t)三个关系：1. 简单行程： 路程 = 速度 时间2. 相遇问题： 路程和 = 速度和 时间3. 追击问题： 路程差 = 速度差 时间牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。追击及相遇问题1、 例题与方法指导例1.有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？思路导航：这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）3=228（米）第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228 （38-36）=114（分钟）第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周长为（40+38）114=8892（米）我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。例2.东西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度从东到西地，1.5小时后，乙车从西地出发，再经过3小时两车还相距15千米。乙车每小时行多少千米？思路导航： 从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千米，关键要知道乙车已