趣味数学114：不可思议的“雪花曲线”

如果说有一种平面图形，它的面积是有限的而周长却是无限的，你相信吗？“雪花曲线”就是这样。那么，什么是“雪花曲线”呢？“雪花曲线”是从一个等边三角形(如图)开始，一步一步作出来的。第一步：把等边三角形的各边三等分，从每条边三等分后的中段，向外作小等边三角形，再去掉与原来等边三角形重叠的边(如图)。为了便于叙述，以后把这个过程简称为“变化”。第二步：对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。第三步：再对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。第四步：再对上一步得到的小等边三角形，重复上面的变化(如图)。第五步、第六步照这样一直进行下去，就得到“雪花曲线”。现在来计算“雪花曲线”(所围成的图形)的面积和周长。从以上过程可以看出，“雪花曲线”是一个边长、边数不断变化，同一图形边长相等的对称图形。所以，必须首先研究一下图形的边数、边长和面积的变化规律。观察发现：规律一：每次变化后，原来等边三角形的一条边，所形成的折线包括4条线段，所以，新图形的边数是原图形的4倍，而边长是原图形的1/3；规律二：每次变化后，原来等边三角形的一条边上，所作的小等边三角形的面积，是原来等边三角形面积的1/9(参看下图)。一、“雪花曲线”的面积：为了便于计算，设原来等边三角形的面积为“1”。第一步以后，因为原来的边数是3，向外作了3个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是1/9，增加的面积是31/9。第二步以后，边数变成34，向外作了34个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是(1/9)2，增加的面积是34(1/9)2。第三步以后，边数变成342，向外作了342个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是(1/9)3，增加的面积是342(1/9)3。第四步以后，边数变成343，向外作了343个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是(1/9)4，增加的面积是343(1/9)4。依次类推，第n步以后，边数变成34n-1，向外作了34n-1个小等边三角形；每个小等边三角形的面积是(1/9)n，增加的面积是34n-1(1/9)n。于是，“雪花曲线”的面积S雪131/934(1/9)2342(1/9)3343(1/9)434n-1(1/9)n化简，由第3项开始，从每项的最后一个因数中，拿出1个1/9，与前面的3乘在一起，于是：S雪131/9(31/9)(41/9)(31/9)(41/9)2(31/9)(41/9)3(31/9)(41/9)n-111/31/34/91/3(4/9)21/3(4/9)31/3(4/9)n-111/314/9(4/9)2(4/9)3(4/9)n-1中括号里面是一个首项为1，公比为4/9的无穷等比数列。根据等比数列的求和公式，首项为a，公比为q时，等比数列前n项的和Sna(1qn)/(1q)。对于q1的无穷等比数列来说，qn趋于0，Sa/(1q)。这里，a1，q4/91，所以，中括号里面的和等于1/(14/9)9/5。于是，“雪花曲线”的面积是S雪11/39/513/58/5。即，“雪花曲线”的面积是原来等边三角形的8/5倍。二、“雪花曲线”的周长：因为，周长边长边数，而每次变化后，边长是原来的1/3，边数是原来的4倍，所以，周长是原来的1/344/3。也就是说，每次变化后，边长都比原来增加1/3。