高等数学微积分第2章 第1节 数列的极限.ppt

,第二章极限与连续,第二章极限与连续,第一节数列的极限第二节函数的极限第三节极限的基本性质第四节极限的四则运算第五节极限的存在性定理第六节两个重要极限第七节无穷小量与无穷大量第八节函数的连续性第九节闭区间上连续函数的性质,1.了解数列极限与函数极限(包括左极限,与右极限)的概念.,2.理解无穷小的概念和基本性质,掌握无穷小的比较方法,了解无穷大的概念及其与无穷小的关系.,3.了解极限的性质与极限存在的两个准则,掌握极限四则运算法则,会应用两个重要极限.,4.理解函数连续性的概念(含左、右连续),5.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质,并会应用.,会判别函数间断点的类型.,本章基本要求,本章难点、重点,难点：极限的精确性定义.,重点：各种类型极限的计算、分段函数分界点处连续性的讨论.,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积,正形的面积,2、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,一.数列,对于(整标函数)，函数值依自变量增大的顺序排列的一组数，称为数列,记作:,第一节数列的极限,注,(1)几何表示,(2)单调性:,(3)有界性:,与等价形式,(4)等价定义:,函数,单调增加,单调减少,二.数列极限,1.定义,设有数列,和常数,如果,无限增大时,无限接近于常数,则称,趋于无穷大时,数列,极限存在,极限值为,记作:,当,注(1)本定义为描述性定义.,(2)数列极限存在也称数列收敛,否则称数列发散.,当,1.当,无限增大时,无限接近于,分析:,2.当,无限增大时,可以任意小.,3.要使,有多小,当,大到一定程度时,就能有多小.,对任意给定的正数,(不论多么小),总存在一个正整数,当,时,恒成立.,即,播放,举例说明,问题:,当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,2.定义,设有数列,和常数,如果,对任意给定的正数,(不论多么小),总存在一个正整数,当,时,恒成立,则称,当,无限增大时,数列,极限存在,极限值为,记作:,注,(1)本定义为精确性定义.,(2),具有任意性.,它是用来刻划,接近程度的,除受正数限制以外,不受其它限制.,(3),具有相应性.,正整数,大的程度的,它随,的确定而确定,但并不是惟一确定的,为了强调这种,依赖性,可用,来表示.,刻划,是用来,(4),几何表示,(6),精确性定义的作用,验证极限,证明定理,(5),任意,存在,例1.,验证,证,分析:,对,要使,只需,即可,故,对,当,时,恒成立.,所以,注:,(1)验证极限,目标:,找,具体操作:,从,中找,(2),将例题中,改成,验证,分析:,对,要使,只需,即可.,对,当,恒成立.,练习题,证,故,所以,时,三.数列极限的基本性质,(惟一性),如果数列,收敛,则,其极限值惟一.,证,(反证法),设,对,恒成立,恒成立,定理2.1,与,同时成立,同时成立,从而产生矛盾,故命题成立.,即,同时成立,(收敛数列的有界性),如果数列,收敛,则,数列,一定有界.,证,设,根据精确性定义知,对,恒成立,取,则,对一切,有,故命题成立.,定理2.2,注其它命题.,(极限不等式),设有,数列,如果,从某一项开始,则,证,(反证法),设,对,同时成立,即,同时成立,、,定理2.3,亦即,同时成立,从而矛盾,所以,故命题成立.,即,同时成立,(保号性),如果,并且,则,存在正整数,有,证,故命题成立.,定理2.4,子列:,例如，,注意：,奇数子列,偶数子列,一般表示法,定理2.5,的任意,子列都收敛于,定理:,的,奇数子列与,偶数子列,都收敛于,例,发散,解,利用函数的周期性,在yn中取两个子数列:,例,关于精确性定义的题型总结,