趣味数学游戏的教育价值初步挖掘-以分油问题为例

福建中学数学 2013年第1期趣味数学游戏教育价值的初步挖掘以分油问题为例许伟亮 ( 华南师范大学数学科学学院， 广东 广州 ) 【摘要】：本文以趣味数学游戏分油问题为例子，分别从益智小游戏，相关数学背景知识，数学思想方法，作为现行中小学数学教材内容辅助教学情境材料，算法与程序教学和数学建模教学六个角度剖析挖掘其中的教育价值，以期能够为数学教育者提供新的教学取材途径和教学方法，改善学生对于数学的态度。【关键词】：数学游戏；教育价值；分油问题； 数学态度【中图分类号】：G420 【文献标志码】：A 1 引言1.1 学生对于数学学习的一些消极态度许多学生认为数学枯燥，费脑筋，学习没激情;数学课天天就是做练习，没有什么意思;除了升学需学数学以外，感觉数学在社会上实际用途不大，学习很盲目。有的学生只注意数学在社会中表面的作用，不知道数学对人思维训练的巨大作用以及人文价值。11.2 对数学教学中加强态度与价值观教育的对策全日制义务教育数学课程标准(实验稿)指出：“教师应充分利用学生的生活经验，设计生动有趣、直观形象的数学教学活动，如运用讲故事、做游戏、直观演示、模拟表演等，激发学生的学习兴趣，让学生在生动具体的情境中认识和理解数学知识。”“教材可以在适当的地方介绍些有关数学家的故事、数学趣闻与数学史料，使学生了解数学知识的产生与发展首先源于人类生活的需要，体会数学在人类发展历史中的作用，激发学生学习数学的兴趣。” 22 趣味数学游戏教育价值的挖掘趣味数学游戏可以从益智小游戏，相关数学背景知识，数学思想方法，作为现行中小学数学教材内容辅助教学情境材料，算法与程序教学和数学建模教学六个角度剖析挖掘其中的教育价值。下面以分油问题为例阐明如何从这六个角度对于趣味数学游戏的教育价值进行挖掘。2.1 分油问题简介与分析2.1.1 传说与游戏规则在我国最广为人知的分油问题莫过于韩信分油的传说了。韩信分油：传说有一天，韩信骑着马外出，在城外看到两个人吵架，一问之下才知道他们为平分10斤油而争吵，他们只有盛3斤和7斤的容器，怎么分得出5斤呢？结果，韩信用了很短时间，就解决了这问题。分油问题是一道非常经典的初等数学趣味题。它还有很多种表述版本。例如，日本分油问题：有一个装满油的8公升容器，另有一个5公升及3公升的空容器各一个，且三个容器都没有刻度，试将此8公升油分成4公升。.法国著名数学家泊松年轻时研究过的一道题：某人有12品脱美酒，想把一半赠人，但没有6品脱的容器，而只有一个8品脱和一个5品脱的容器，问怎样才能把6品脱的酒倒入8品脱的容器中。史泰因豪斯在数学万花筒中的表述：有装有14千克酒的容器，另外有可装5千克和9千克酒的容器，要把酒平分，该如何办？别莱利曼在趣味几何学中表述：一只水桶，可装12杓水，还有两只空桶，容量分别为9杓和5杓，如何把大水桶的水分成两半？2.1.2 问题分析与求解上述问题都是实际生活中的问题，为了便于将它们转化为数学问题，我们需要做以下假设：（1）假设在每次倒“油”时都没有“油”遗失；（2）假设三个容器是干净没有污秽的；（3）假设A、B、C三个容器没有破损；（4）假设在进行上述活动时没有意外发生。解决分油问题一般可以使用尝试法、不定方程法和几何坐标法。这里主要以韩信分油问题为例介绍不定方程法和几何坐标法。不定方程法：我们注意到这类题有几个共同的特点：（1）三个容器N1，N2，N按容积由小到大排列，分别为自然数N1,N2,N，得到的油M是小于N的自然数。（2）两个较小容器的容积数N1,N2互素的（不互素又会怎样呢？这可以作为学生的一个自主探究题目）。（3）由于容器没有刻度，倒油过程中，较小容器总需要倒空或者填满。（4）小容器倒油的次数X、Y是整数，最后需要得到的油M也是正整数。（5）在小容器里得到数量较少的油，如容器N1得到小于等于N1的油，容器N2得到小于等于N2的油所以分油的实质是一个求解二元一次不定方程的解的过程（有关二元一次不定方程的相关知识在人教版高中数学A版选修4-6初等数论初步中有比较详细的研究与讨论）。方程列为N2X+N1Y=M其中，N=N1+N2,M=（N1+N2）/2，则是平均分油问题，是分油问题的一个特例。与一般不定方程有所不同的是，在倒油问题上，这里X和Y取正值，也可取负值。正值表示倒满某个小容器的次数且首先将此容器倒满，负值表示从满油小容器倒出的次数。如果方程有多解，需要寻找一个最优解。X和Y的绝对值越小，表明倒油的次数越少，表明是一个最优解。有了这个解，就可以用来帮助我们完成分油过程。中间倒油的过程为了满足某个较小容器倒满或者清空而倒来倒去。具体如何实现只需要费一点点脑筋。韩信分油的不定方程解法：韩信分油的不定方程是：7X+3Y=5;解为：X=2,Y=-3步数10斤油篓7斤油篓3斤油篓01000137（+1）02343（-1）36404613（-1）59106901727（+1）18253（-1）9550一共9步完成韩信分油问题。几何坐标法：建立坐标系，利用坐标值分别表示各杯子水量，并利用图形相关性质研究分油问题解的一种方法。韩信分油的几何坐标解法：在分油过程中，3个油壶中的油总量是10斤；我们用三维坐标表示这三个油壶中装有油的多少，如(10,0,0)表示10斤油壶中装有10斤油，其余没有油，简记为(0,0)；又如(3,7,0)表示10斤油壶中装有3斤油，7斤油壶中装有7斤油，余者没有油，简记为(7,0)。我们的分油目的，就是寻求(0,0)(5,0)的状态转移过程。我们用一个顶点来表示一个状态，边来表示状态转移的可行性。建立如图1的模型。要解决分油问题，就是在图1中寻找一条(0,0)(5,0)的道路。图1图1中，从(0,0)(7,0) (4,3) (4,0) (1,3) (1,0) (0,l) (7,1) (5 ,3) (5,0)，就是一个分油方案。当然，分油的方法不止一种，同学门自己动手在图1中可以找到类似图2中道路的许多道路来，每条道路表示一个分油方案。3图22.2 分油问题的教育价值挖掘角度2.2.1 益智小游戏角度分油问题可作为一款开发智力的益智游戏，在中小学开展游戏教学活动。让学生在轻松愉快的氛围中，在竞争比拼与交流中学习问题解决的方法。如果以游戏教学的理论为指导，结合信息技术，将汉诺塔游戏制作成一个符合中小学生心理认知特点的教学游戏的话，如图3(图3为笔者自行开发的一款FLASH趣味数学游戏教学课件)，那么可以收到更加意想不到的效果。图3 分油问题FLASH教学游戏示意图2.2.2 相关数学背景知识角度分油问题涉及到了韩信、泊松、施泰因豪斯、别莱利曼等数学名家以及他们的相关著作，如施泰因豪斯的数学万花筒和别莱利曼的趣味几何学，有关这些数学家的生平介绍和相关优秀书籍都可以作为学生开拓数学视野，培养数学学习兴趣，养成良好数学态度的很好素材。2.2.3 数学思想方法角度分油问题中蕴含着方程思想与数形结合等数学思想，对于学生感受数学思想的魅力是极好的素材。同时这些思想方法也能够在现实生活中给予学生一些解决问题的方法指引。2.2.4 作为现行中小学数学教材内容辅助教学情境材料角度分油问题涉及到二元一次不定方程的解法等问题，可以作为人教版高中数学A版选修4-6初等数论初步中学习探究二元一次不定方程相关知识的辅助教学情境材料。分油问题的几何坐标法属于图论的一种方法，人教版高中数学A版选修4-8统筹法与图论初步就有关于图论的初步介绍，与科尼斯堡七桥问题一样，分油问题可以作为学生感受图论魅力的很好素材。目前由于高考升学压力等原因，高中教材中的选修3和选修4系列在学校中的教学一直难以实现。以趣味数学游戏作为自主探究课题，可以激发学生学习研究数学的兴趣，促进学生对于相关内容的学习与探究。2.2.5 算法与程序教学角度分油问题可为大学C+等程序语言教学提供形象生动的实例。具体说来分油问题可以与数据结构的教学相结合。从而使抽象难懂的程序语言教学变得形象生动。2.2.6 数学建模教学角度分油问题与和数学建模教学的结合。无论是分油问题的不定方程解法，还是几何坐标解法，其求解过程本身就是一个数学建模的过程。所以分油问题可以作为高中数学建模教学生动而有趣的素材，能够帮助学生感受数学建模的强大魅力。3 总结以上是以分油问题为例子，从益智小游戏，相关数学背景知识，数学思想方法，作为现行中小学数学教材内容辅助教学情境材料，算法与程序教学和数学建模教学六个角度剖析挖掘其中的教育价值，以期能够为数学教育者提供新的教学取材途径和教学方法，改善学生对于数学的态度。除了分油问题以外，像一笔画、汉诺塔、取石子、九连环、华容道等趣味数学游戏都可以从这几个方面进行教育价值的挖掘。趣