2019重庆中考数学题位复习系统之几何图形折叠问题

2019重庆中考数学题位复习系统（编著：刘伟）2019重庆中考数学题位复习系统之几何图形折叠问题典例剖析 例1（2018重庆）如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，得到AGE=30，若AE=EG=2厘米，则ABC的边BC的长为6+4厘米【分析】根据折叠的性质和含30的直角三角形的性质解答即可【解答】解：把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，BE=AE，AG=GC，AGE=30，AE=EG=2厘米，AG=6，BE=AE=2，GC=AG=6，BC=BE+EG+GC=6+4，故答案为：6+4，【点评】此题考查翻折问题，关键是根据折叠的性质和含30的直角三角形的性质解答 例2 （2018重庆）如图，在RtABC中，ACB=90，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将BCD沿直线CD翻折至ECD的位置，连接AE若DEAC，计算AE的长度等于【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长【解答】解：由题意可得，DE=DB=CD=AB，DEC=DCE=DCB，DEAC，DCE=DCB，ACB=90，DEC=ACE，DCE=ACE=DCB=30，ACD=60，CAD=60，ACD是等边三角形，AC=CD，AC=DE，ACDE，AC=CD，四边形ACDE是菱形，在RtABC中，ACB=90，BC=6，B=30，AC=，AE=【点评】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答跟踪训练1（2018阜新）如图，将等腰直角三角形ABC（B=90）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为5【分析】由折叠的性质可求得AE=A1E，可设AE=A1E=x，则BE=8x，且A1B=4，在RtA1BE中，利用勾股定理可列方程，则可求得答案【解答】解：由折叠的性质可得AE=A1E，ABC为等腰直角三角形，BC=8，AB=8，A1为BC的中点，A1B=4，设AE=A1E=x，则BE=8x，在RtA1BE中，由勾股定理可得42+（8x）2=x2，解得x=5，故答案为：5【点评】本题主要考查折叠的性质，利用折叠的性质得到AE=A1E是解题的关键，注意勾股定理的应用2（2018崇明县二模）如图，ABC 中，BAC=90，AB=6，AC=8，点D是BC的中点，将ABD，将ABD沿AD翻折得到AED，联结CE，那么线段CE的长等于【分析】如图连接BE交AD于O，作AHBC于H首先证明AD垂直平分线段BE，BCE是直角三角形，求出BC、BE，在RtBCE中，利用勾股定理即可解决问题【解答】解：如图连接BE交AD于O，作AHBC于H在RtABC中，AC=8，AB=6，BC=10，CD=DB，AD=DC=DB=5，BCAH=ABAC，AH=，AE=AB，点A在BE的垂直平分线上DE=DB=DC，点D在BE使得垂直平分线上，BCE是直角三角形，AD垂直平分线段BE，ADBO=BDAH，OB=，BE=2OB=，在RtBCE中，EC=，故答案为【点评】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型3（2018马鞍山二模）如图，ABC中，AC=BC=4，C=90，将ABC折叠，使A点落在BC的中点A处，折痕分别交边AB、AC于点D、点E，则AD=【分析】连接AA交DE于点M，过点A作ANAB于点N，根据折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质可求出AD的长度【解答】解：连接AA交DE于点M，过点A作ANAB于点N，如图所示AC=BC=4，C=90，A为线段BC的中点，AC=AB=2，AN=BN=，AA=2，AB=4，AN=ABBN=3将ABC折叠，使A点落在BC的中点A处，折痕分别交边AB、AC于点D、点E，AM=AA=DAM=AAN，AMD=ANA=90，ADMAAN，=，即=AD=故答案为【点评】本题考查了折叠的性质、勾股定理以及相似三角形的判定及性质，证明ADMAAN是解题的关键4（2018沙坪坝区模拟）如图，在RtABC中，ACB=90，点D是边AB的中点，连结CD，将BCD沿直线CD翻折得到ECD，连结AE若AC=6，CD=5，则线段AE的长为【分析】连接BE，延长CD交BE与点H，作CFAB，垂足为F首先证明DC垂直平分线段BE，ABE是直角三角形，利用三角形的面积求出EH，得到BE的长，在RtABE中，利用勾股定理即可解决问题【解答】解：如图，连接BE，延长CD交BE与点H，作CFAB，垂足为F在RtABC中，ACB=90，点D是边AB的中点，CD=5，AD=DB=CD=5，AB=10AC=6，BC=8SABC=ACBC=ABCF，68=10CF，解得CF=将BCD沿直线CD翻折得到ECD，BC=CE，BD=DE，CHBE，BH=HEAD=DB=DE，ABE为直角三角形，AEB=90，SECD=SACD，DCHE=ADCF，DC=AD，HE=CF=BE=2EH=AEB=90，AE=故答案为【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型5（2018双滦区一模）如图，ABC中，AB=AC，BAC=54，BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则OEC为108度【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出BAO，根据等腰三角形两底角相等求出ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得ABO=BAO，再求出OBC，然后判断出点O是ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出OCB=OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解【解答】解：如图，连接OB、OC，BAC=54，AO为BAC的平分线，BAO=BAC=54=27，又AB=AC，ABC=（180BAC）=（18054）=63，DO是AB的垂直平分线，OA=OB，ABO=BAO=27，OBC=ABCABO=6327=36，AO为BAC的平分线，AB=AC，AOBAOC（SAS），OB=OC，点O在BC的垂直平分线上，又DO是AB的垂直平分线，点O是ABC的外心，OCB=OBC=36，将C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，OE=CE，COE=OCB=36，在OCE中，OEC=180COEOCB=1803636=108故答案为：108【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键6（2018盘锦）如图，已知RtABC中，B=90，A=60，AC=2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当DCM为直角三角形时，折痕MN的长为或【分析】依据DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当CDM=90时，CDM是直角三角形；当CMD=90时，CDM是直角三角形，分别依据含30角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长【解答】解：分两种情况：如图，当CDM=90时，CDM是直角三角形，在RtABC中，B=90，A=60，AC=2+4，C=30，AB=AC=，由折叠可得，MDN=A=60，BDN=30，BN=DN=AN，BN=AB=，AN=2BN=，DNB=60，ANM=DNM=60，AMN=60，AN=MN=；如图，当CMD=90时，CDM是直角三角形，由题可得，CDM=60，A=MDN=60，BDN=60，BND=30，BD=DN=AN，BN=BD，又AB=，AN=2，BN=，过N作NHAM于H，则ANH=30，AH=AN=1，HN=，由折叠可得，AMN=DMN=45，MNH是等腰直角三角形，HM=HN=，MN=，故答案为：或【点评】本题考查了翻折变换折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等7（2018乌鲁木齐）如图，在RtABC中，C=90，BC=2，AC=2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置，BD交AB于点F若ABF为直角三角形，则AE的长为3或【分析】利用三角函数的定义得到B=30，AB=4，再利用折叠的性质得DB=DC=，EB=EB，DBE=B=30，设AE=x，则BE=4x，EB=4x，讨论：当AFB=90时，则BF=cos30=，则EF=（4x）=x，于是在RtBEF中利用EB=2EF得到4x=2（x），解方程求出x得到此时AE的长；当FBA=90时，作EHAB于H，连接AD，如图，证明RtADBRtADC得到AB=AC=2，再计算出EBH=60，则BH=（4x），EH=（4x），接着利用勾股定理得到（4x）2+（4x）+22=x2，方程求出x得到此时AE的长【解答】解：C=90，BC=2，AC=2，tanB=，B=30，AB=2AC=4，点D是BC的中点，沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置，BD交AB于点FDB=DC=，EB=EB，DBE=B=30，设AE=x，则BE=4x，EB=4x，当AFB=90时，在RtBDF中，cosB=，BF=cos30=，EF=（4x）=x，在RtBEF中，EBF=30，EB=2EF，即4x=2（x），解得x=3，此时AE为3；当FBA=90时，作EHAB于H，连接AD，如图，DC=DB，AD=AD，RtADBRtADC，AB=AC=2，ABE=ABF+EBF=90+30=120，EBH=60，在RtEHB中，BH=BE=（4x），EH=BH=（4x），在RtAEH中，EH2+AH2=AE2，（4x）2+（4x）+22=x2，解得x=，此时AE为综上所述，AE的长为3或故答案为3或【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理8（2018莘县一模）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为AB上一点，将BCE沿CE翻折至FCE，EF与AD相交于点G，且AG=FG，则线段AE的长为1【分析】设BE=x，根据翻折变换的性质用x表示出AE、EG，根据勾股定理列出方程，解方程即可【解答】解：如图所示，四边形ABCD是矩形，D=B=A=90，AB=CD=4，AD=BC=6，根据题意得：BCECEF，EF=BE，F=B=90，CF=BC=6，在GAE和GFH中，GAEGFH（ASA），EG=GH，AE=FH，AH=EF，设BE=EF=x，则AE=FH=4x，AH=x，DH=6x，CH=6（4x）=2+x，根据勾股定理得：DC2+DH2=CH2，即42+（6x）2=（x+2）2，解得：x=3，BE=3，AE=1，故答案为：1【点评】本题考查的是翻折变换的性质和勾股定理的应用，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等9（2017沙坪坝区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=2，BD=6，将AOD沿AD翻折得到AED，延长EA交BD于点F，交BC于点G连接OG，则FOG的面积是【分析】作AHCD于H，GNAC于N思想利用勾股定理求出菱形的边长，根据菱形的两个面积公式求出AH，利用相似三角形求出GN、AN、OF即可解决问题【解答】解：作AHCD于H，GNAC于N四边形ABCD是菱形ACBD，OA=OC=1，OB=OD=3，CD=，ACBD=CDAH，AH=，DH=，CAG+2DAC=180，ADC+2DAC=180，CAG=ADC，ACG=ACD=CAD，AGC=ACG，AG=AC=2，ANG=AHD，AGNDAH，=，GN=，AN=，OFGN，=，OF=，SOFG=OFON=故答案为【点评】本题考查菱形的性质、翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型10（2017重庆）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EFED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将EFG沿EF翻折，得到EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则EMN的周长是【分析】解法一：如图1，作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形对应边相等证明FQ=BQ=PE=1，DEF是等腰直角三角形，利用勾理计算DE=EF=，PD=3，如图2，由平行相似证明DGCFGA，列比例式可得FG和CG的长，从而得EG的长，根据GHF是等腰直角三角形，得GH和FH的长，利用DEGM证明DENMNH，则，得EN=，从而计算出EMN各边的长，相加可得周长解法二，将解法一中用相似得出的FG和CG的长，利用面积法计算得出，其它解法相同解法三：作辅助线构建正方形和全等三角形，设EP=x，则DQ=4x=FP=x2，求x的值得到PF=1，AE的长；由DGC和FGA相似，求AG和GE的长；证GHF和FKM全等，所以GH=FK=4/3，HF=MK=2/3，ML=AK=10/3，DL=ADMK=10/3，即DL=LM，所以DM在正方形对角线DB上，设NI=y，列比例式可得NI的长，分别求MN和EN的长，相加可得结论【解答】解：解法一：如图1，过E作PQDC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，DCAB，PQAB，四边形ABCD是正方形，ACD=45，PEC是等腰直角三角形，PE=PC，设PC=x，则PE=x，PD=4x，EQ=4x，PD=EQ，DPE=EQF=90，PED=EFQ，DPEEQF，DE=EF，DEEF，DEF是等腰直角三角形，易证明DECBEC，DE=BE，EF=BE，EQFB，FQ=BQ=BF，AB=4，F是AB的中点，BF=2，FQ=BQ=PE=1，CE=，PD=41=3，RtDAF中，DF=2，DE=EF=，如图2，DCAB，DGCFGA，=2，CG=2AG，DG=2FG，FG=，AC=4，CG=，EG=，连接GM、GN，交EF于H，GFE=45，GHF是等腰直角三角形，GH=FH=，EH=EFFH