19872014年考研数学试题答案及评分参考1994

郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题参考解答及评分标准 1994 年 第 1 页 1994 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数数 学（试卷一）学（试卷一） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) ) 1 sin 1 (lim 0 xx xgtc x = 6 1 . (2) 曲面32xyez z 在点)0 , 2 , 1 (处的切平面方程为 2x+y-4=0 . (3) 设sin x x ue y , 则 yx u 2 在 (2, 1 ) 点处的值为 2 )( e . (4) 设区域 D 为 x 2 +y 2 R 2 , 则 D dxdy b y a x )( 2 2 2 2 = ) 11 ( 4 22 4 ba R . (5) 已知 1 1 (1,2,3),(1, ) 2 3 ，设A ，其中是的转置，则 n A 11 23 1 2 3 3 2 1 321 31 n 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 设 M = 2 2 4 2 cos 1 sin xdx x x , N =dxxx)cos(sin 4 2 2 3 ,P =dxxxx)cossin( 4 2 2 32 , 则有 (D) (A) N P M (B) M P N (C) N M P (D) P 0, 2 ( ),( ). 2 M fxMf xx使于是 2 111 ,( ) 2 M xnf nnn 令当 充分大时 有 . 7 分 因为 2 11 11 ,( ). nn f nn 收敛 所以级数绝对收敛 8 分 七、七、(本题满分本题满分 6 分分) 已知点 A 与 B 的直角坐标分别为(1,0,0)与 (0,1,1)， 线段 AB 绕 Z 轴旋转一周所成的 旋转曲面为 S，求由 S 及两平面 Z=0, Z=1 所围成的立体体积. 解：解：直线 AB 的方程为： 1 1 , 111 xz xyz yz 即.2 分 在z轴上截距为z的水平面截此旋转体所得截面为一个圆， 此截面与z轴交于点 Q(0,0,z),与 AB 交于点 1(1 , , )Mz z z， 故圆截面半径 222 ( )(1)1 22r zzzzz. 4 分 从而截面面积 2 ( )(1 22),S zzz 旋转体体积 1 2 0 2 V(1 22) 3 zz dz =. 6 分 八、八、(本题满分本题满分 8 分分) 设四元线性齐次方程组(I)为 0 0 42 21 xx xx ，又已知某线性齐次方程组(II)的通解为 k1( 0, 1, 1, 0 )T + k2( 1, 2, 2, 1 )T. (1) 求线性方程组(I)的基础解系. 【 (0,0,1,0)T，( 1,1,0,1)T 】 (2) 问线性方程组(I)及(II)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解； 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题参考解答及评分标准 1994 年 第 5 页 若没有，则说明理由. 解：解：(1) 由已知，(I)的系数矩阵为 1100 0101 ， 故(I)的基础解系可取为(0,0,1,0)，( 1,1,0,1). 3 分 (2) 有非零公共解. 将(II)的通解代入方程组(I)，则有 212 122 20 20 kkk kkk ，解得 12 kk. 5 分 当 12 0kk 时，则向量 1222 (0,1,1,0)( 1,2,2,1)(0, 1, 1,0)( 1,2,2,1)( 1,1,1,1)kkkk 满足方程组(I) （显 然是(II)的解） ，故方程组（I） （II）有非零公共解，所有非零公共解是( 1,1,1,1)k ，其中k是 不为 0 的任意常数. 8 分 九、九、(本题满分本题满分 6 分分) 设 A 为 n 阶非零方阵，A * 是A的伴随矩阵， A 是 A 的转置矩阵，当AA * 时，证 明|A|0. 解：解：由公式 * |AAA I，故|AAA I . 2 分 若| 0A ，则有0AA.设A的行向量为(1,2,) i in，则0(1,2, ) ii in， 即0,1,2, i in.于是0A ，这与A是非零阵矛盾，故| 0A . 6 分 十、十、填空题填空题 (本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 6 分分) (1) 已知)()(BAPABP，pAP)(，则)(BP 1- p . (2) 设相互独立的随机变量 X、Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为 X 0 1 P 2 1 2 1 则随机变量,maxYXZ 的分布律为： X 0 1 P 1 4 3 4 十一、十一、(本题满分本题满分 6 分分) 若随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(1,3 2 )和 N(0,4 2 )，且 X 与 Y 的相关系数 2 1 XY ，设 23 YX Z， (1) 求 Z 的数学期望 EZ 和和方差 DZ； (2) 求 X 与 Z 的相关系数 ZX ； (3) 问 X 与 Z 是否独立？为什么？ 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题参考解答及评分标准 1994 年 第 6 页 解：解：(1) 101 323 EZ ， 1 分 22 22 3413 4 2()1 423 3223 2 DZ . 2 分 (2) 因 2 11111 (, )(,)(, )3() 3 40 32322 Cov X ZCov X XCov X Y ， 所以 (, ) 0 XZ Cov X Z DXDZ . 4 分 (3) 因,X Y均是正态，故Z也是正态，又0 XZ ，所以X与Z相互独立. 6 分 【笔者笔者注：注： 第(3)问原始答案有误.要由0 XZ 推出X与Z独立， 须以二元正态分布为前提】 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题参考解答及评分标准 1994 年 第 7 页 数数 学（试卷二）学（试卷二） 一一 三三、 【 同数学一 第一 三题】 四、四、(本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 12 分分) (1) 在椭圆 22 44xy上求一点，使其到直线2360 xy的距离最短. 解：解：设( , )P x y为椭圆 22 44xy上任意一点，则P到直线2360 xy是距离 236 13 xy d 为求d的最小值点，只需求 2 d的最小值点 2 分 令 222 1 ( , , )(236)(44) 13 F x yxyxy，由 Lagrange 乘数法，有 FFF 0,0,0 xy . 即 22 4 (236)20 13 6 (236)80 13 440 xyx xyy xy 4 分 解之得 1122 8383 ,;, 5555 xyxy.于是 1122 (,)(,) 111 , 1313 x yxy dd， 由问题的实际意义知最短距离是存在的,因此 8 3 ( , ) 5 5 即为所求的点 6 分 (2)【 同数学一 第四题 】 五五 七七、 【 同数学一 第五 七题】 八、八、(本题共本题共 2 小题，满分小题，满分 14 分分) (1) (本题满分本题满分 6 分分) 设A是n阶方阵，2,4,6,2n是A的n个特征值，I是n阶单位阵， 计算行列式3AI的值. 解：解：已知n阶方阵有n个不同的特征值，故存在可逆阵 P，使得 1 2 4 2 P AP n ，即 1 2 4 2 APP n . 2 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题参考解答及评分标准 1994 年 第 8 页 因此 111 22 44 333 22 AIPPIPPPP nn 4 分 11 1 21 1 41 33 21 23 PPPP n n (23)!n . 6 分 【笔者另解笔者另解】 ：因A的n个特征值为2,4,6,2n， 故3II的n个特征值为：1,1,3,23n， 所以21 1 3(23)(23)!AInn （2）(本题满分本题满分 8 分分)【 同数学一 第八题 】 九、九、(本题满分本题满分 6 分分)【 同数学一 第九题 】 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题参考解答及评分标准 1994 年 第 9 页 数数 学（试卷三）学（试卷三） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 若 0 0 12sin )( 2 xa x x ex xf ax 在,上连续，则a 2 . (2) 设函数( )yy x由参数方程 32 ln(1)xtt ytt 所确定，则 2 2 dx yd = (65)(1)tt t . (3) cos3 0 ( ) x d f t dt dx 3sin3(cos3 )x fx. (4) 2 3x x e dx 2 2 1 (1) 2 x exC. (5) 微分方程0)4( 2 dyxxydx的通解为cxyx 4 )4(. 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 设2 )()1ln( lim 2 2 0 x bxaxx x ，则 (A) (A) 5 1, 2 ab (B) 0,2ab (C) 5 0, 2 ab (D) 1,2ab (2) 设 1, 1, )( 2 2 3 1 xx xx xf 则)(xf在1x 处的 (B) (A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在，但右导数不存在 (C) 左导数不存在，但右导数存在 (D) 左、右导数都不存在 (3) 设)(xfy 是满足微分方程0 sin x eyy的解,且0)( 0 xf,则)(xf在 （C） (A) 0 x的某个邻域内单调增加 (B) 0 x某个邻域内单调减少 (C) 0 x处取得极小值 (D) 0 x处取得极大值 (4) 曲线 )2()1( 11 2 2 xx xx nactra x ey的渐近线有 (B) （A）1 条 （B）2 条 （C）3 条 （D）4 条 (5) 【 同数学一 第二、 （1）题 】 三、三、(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 25 分分) 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题参考解答及评分标准 1994 年 第 10 页 (1) 设)(yxfy，其中f具有二阶导数，且其一阶导数不等于 1，求 2 2 dx yd . 解：解： (1), 1 f yyfy f 2 分 2 2 3 (1) (1), 1(1) yff yyfyfy ff . 5 分 (2) 计算dxxx 1 0 2 3 4) 1 (. 解：解：设 2 sinxt，则0 x 时，0t ；1x 时， 2 t . 1 分 3 1 44 22 00 1 (1)cos 2 xxdxtdt 3 分 133 2 4 2 232 . 5 分 (3) 计算) 2 4 (lim n tgn n . 解解： 22 12 2 limln()lim lnlim ln1 22 4 11 n nnn tgtg nn tgnn n tgtg nn 2 分 22 2 4 limlim4 222 11 nn tgtg nn n tgtg nnn , 4 2 lim() 4 n n tge n . 5 分 (4) 【 同数学一 第三、(4) 题】 (5) 如图,设曲线方程为 2 1 2 xy,梯形OABC的面积为D， 曲边梯形OABC的面积为D1， 点 A 的坐标为（)0 , a，0a，证明： 2 3 1 D D . 证：证： 32 2 1 0 1(23) () 2326 a aaaa Dxdx 2 分 2 2 11 (1) 22 22 a aa Da 3 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题参考解答及评分标准 1994 年 第 11 页 2 2 2 2 1 (1) 31 2 3 (23)2 2 6 aa Da aaD a . 2 2 1 13 1, 3 2 2 aD D a . 5 分 四、四、(本题满分本题满分 9 分分) 设当0x时，方程1 1 x kx有且仅有一个解，求k的取值范围. 解：解：设 2 1 ( )1f xkx x ，则 34 26 ( ),( )0fxkfx xx . 3 分 (1) 当0k 时，( )0fx ，故( )f x为递减函数， 又 0 lim( ) x f x ，而当0k 时，lim( ) x f x ，当0k 时，lim( )1 x f x . 故当0k 时，原方程在(0,)内有且仅有一个解 6 分 (2) 当0k 时，令( )0fx ，解得唯一驻点 3 2 x k ，且为极小值点. 由于( )yf x在(0,)内是凹的， 所以当极小值 3 2 ()f k 为 0， 即 33 2 2 ( )1 0 2 k k k 时， 原方程有且仅有一个解.由上式解得 2 3 9 k .而当 2 3 9 k 时，原方程无解或有两个解. 综上所述，当 2 3 9 k 及0k 时，方程有且仅有一个解. 9 分 五、五、(本题满分本题满分 9 分分) 设 2 3 4 x x y . （1）求函数的增减区间及极值； （2）函数图像的凹凸区间及拐点； （3）求其渐近线； （4）作出其图形. 解：解：(1) 定义域(,0)(0,)，由 3 8 1y x 得驻点2x 和不可导点0 x .于是 x (,0) (0,2) (2,) y y 所以(,0),(2,)为增区间，(0,2)为减区间，2x 为极小点，极小值为3y .2 分 (2) 由 4 24 0y x ，知(- ,0),(0,+ )为凹区间，且无拐点 4 分 (3) 由 3 2 0 4 lim x x x 知，0 x 为垂直渐近线， 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题参考解答及评分标准 1994 年 第 12 页 又由 33 32 44 lim1,lim()0 xx xx abx xx 知yx为斜渐近线. (4) 令0y ，得零点 3 4x . 6 分 于是其图形如图所示. 9 分 六、六、(本题满分本题满分 9 分分) 求微分方程xyaysin 2 的通解，其中常数0a 解：解：对应的齐次方程的通解为 12 cossinycaxcax. 1 分 (1) 当1a 时，设原方程的特解为 *sincosyAxBx 2 分 代入原方程得 22 (1)sin(1)cossin ,A axB axx 比较等式两端对应项的系数得 22 11 ,0,*sin 11 AByx aa 所以. 4 分 (2) 当1a 时，设原方程的特解为 *( sincos )yx AxBx 5 分 代入原方程得2 cos2 sinsin ,AxBxx 比较等式两端对应项的系数得 11 0,*cos . 22 AByxx 所以 8 分 综上所述，当1a 时，原方程的通解为 12 2 1 cossinsin 1 ycaxcaxx a 当1a 时，原方程的通解为 12 1 cossincos 2 ycxcxxx. 9 分 七、七、(本题满分本题满分 9 分分) 设)(xf在0，1上连续且递减，证明：当10时， 0 1 0 )()(dxxfdxxf 证：证： 11 0000 ( )( )( )( )( )f x dxf x dxf x dxf x dxf x dx 2 分 1 12 0 (1)( )( )(1)( )(1) ()f x dxf x dxff 12 (1) ( )(),ff 5 分 其中 12 01. 因( )f x递减，则有 12 ( )()ff 7 分 又0,10，因此 12 (1) ( )()0ff，即原不等式成立 9 分 八、八、 (本题满分本题满分 9 分分) 求曲线| 1|3 2 xy与x轴围成的封闭图形绕直线3y旋转所 得的旋转体体积. 解：解：如图， AB和BC的方程分别为 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题参考解答及评分标准 1994 年 第 13 页 22 2(01)4(12)yxxyxx , 3 分 设旋转体在区间0,1上的体积为 1 V，在区间1,2上的体积为 2 V， 则它们的体积元素分别： 222 1 33 (2) dVxdx 222 2 33 (4) .dVxdx 7 分 由对称性得 12 222222 12 01 2()233(2) 233(4) VVVxdxxdx 2 2 2435 0 0 21488 2(82)2 (8) 3515 xx dxxxx . 9 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题参考解答及评分标准 1994 年 第 14 页 数数 学（试卷四）学（试卷四） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) dx x xx 2 2 2 2 | ln3. (2) 已知 1)( 0 xf 则 )()2( lim 00 0 xxfxxf x x = 1 . (3) 设方程 2 cos xy eyx确定的y为x的函数，则 dx dy = sin 2 xy xy yex xey . (4) 设A 1 2 1 00.0 00.0 . . 000. 00.0 n n a a a a ，其中0,1,2, i ain,则 1 A 1 2 1 1 1 1 1 00.0 0.00 0.00 . 00.0 n n a a a a (5) 设随机变量 X 的概率密度为 他其0 102 )( xx xf，以 Y 表示对 X 的三次独立重复观 察中事件 2 1 X出现的次数，则 PY=2= 9 64 . 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 【 同数学三 第二、 （4）题 】 (2) 【 同数学一 第二、(3) 题】 (3) 设 A 是nm矩阵， C 是n阶可逆矩阵， 矩阵 A 的秩为r， 矩阵 B = AC 的秩为 1 r， 则 (C) (A) r 1 r (B) r 1 r (C) r = 1 r (D) r与 1 r的关系依 C 而定 (4) 设0( )1,0( )1,( |)( |)1P AP BP A BP A B，则 (D) (A) 事件 A 和 B 互不相容 (B) 事件 A 和 B 互相对立 (C) 事件 A 和 B 互不独立 (D) 事件 A 和 B 相互独立 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题参考解答及评分标准 1994 年 第 15 页 (5) 设 12 , n X XX是来自正态总体),( 2 N的简单随机样本，X是样本均值， 记 n i i XX n s 1 2 2 1 )( 1 1 ， n i i XX n s 1 2 2 2 )( 1 ， n i i X n s 1 2 2 3 )( 1 1 ， n i i X n s 1 2 2 4 )( 1 ，则服从自由度为1n的t分布的随机变量是 (B) (A) 1/ 1 ns X t (B) 1/ 2 ns X t (C) ns X t / 3 (D) ns X t / 4 三、三、(本本题满分题满分 6 分分) 计算二重积分 D dxdyyx,)(其中.1| ),( 22 yxyxyxD 解：解：由 22 1xyxy ，得 22 113 ()() 222 xy. 1 分 令 11 cos ,sin 22 xryr，有 2 分 3 2 2 00 ()(1cossin ) D xy dxdyrdrrrd 3 分 3 2 2 0 0 sincos rrrdr 4 分 33 2 22 00 2rdrr 3 2 . 6 分 四、四、(本题满分本题满分 5 分分) 设函数)(xyy 满足条件 4)0( , 2)0( 044 yy yyy ，求广义积分 0 .)(dxxy 解：解：解特征方程 2 440rr，得特征根 12 2rr， 所以原方程的通解为 2 12 (). x ycc x e 2 分 由初始条件得 12 2,0.cc 2 2. x ye 因此原方程的特解为 2 2. x ye 4 分 于是 22 000 ( )2(2 ) 1 xx y x dxedxedx . 5 分 五、五、(本题满分本题满分 5 分分) 已知 y x arctgy x y arctgxyxf 22 ),(，求 yx y 2 . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题参考解答及评分标准 1994 年 第 16 页 解：解： 22 2 22 1 2 arctan() 1( )1( ) fyxyy x yx xxxy xy 2 分 23 2222 2 arctan yx yy x xxyxy . 3 分 222222223 222222 2 21()23()2 ()() 1 ( ) fxxxyx yyyxyyy y x yxxyxy x 22 22 xy xy . 5 分 六、六、(本题满分本题满分 5 分分) 设函数)(xf可导，且,)()(, 0)0( 0 1 dttxftxFf x nnn 求 n x x xF 2 0 )( lim . 解：解：令 nn uxt，则 0 1 ( )( ) n x F xf u du n ， 2 分 于是有 1 ( )(), nn F xxf x 3 分 因此 221 000 ( )( )1() limlimlim 22 n nnn xxx F xF xf x xnxnx 1 (0) 2 f n . 5 分 七、七、(本题满分本题满分 8 分分) 已知曲线)0( ,axay与曲线xyln在点 )00, (yx处有公共切线，求： (1) 常数a及切点),( 00 yx； (2) 两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积. 解：解：(1) 分别对 1 ln, 22 a ya xyxyy xx 和求导 得和 . 1 分 由于两曲线在点( 00 ,x y)处有公切线,可见 0 2 0 0 11 , 22 a x xax 得; 2 分 00 222 1111 ,ln 2 xya aaa 将分别代入两曲线方程 有. 于是 222 000 2 111 ;,1,(e ,1)axeya xe eae 从而切点为. 4 分 (2) 旋转体的体积为 22 2 2 01 1 ()(ln) ee x Vx dxx dx e 5 分 2 22 2 2 01 2 1 ln2ln 24 e ee x xxxdx e 2 2 22 1 1 1 42 ln2 24 e e eexxdx 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题参考解答及评分标准 1994 年 第 17 页 2 2 1 1 222 e ex . 8 分 八、八、(本题满分本题满分 6 分分) 假设)(xf在,a上连续，)( xf在),(a内存在且大于零，记 ( )( ) ( )() f xf a F xxa xa ,证明)(xF在),(a内单调增加. 证证: : 2 ( )() ( )( ) ( ) () fx xaf xf a F x xa 2 分 1( )( ) ( ) f xf a fx xaxa . 由中值定理知，存在()ax，使 ( )( ) ( ) f xf a f xa 4 分 于是有 1 ( )( )( )F xfxf xa . 由于( )0fx ，所以( )fx在( ,)a 内单调增加， 因此对任意的x和()ax有( )( )fxf.从而( )0F x,即)(xF单调增加 6 分 九、九、(本题满分本题满分 11 分分) 设线性方程组 23 112131 23 122232 23 132333 23 142434 xa xa xa xa xa xa xa xa xa xa xa xa ， (1) 证明，若 4321 ,aaaa两两不相等，则此线性方程组无解； (2) 设)0(, 4231 kkaakaa，且已知 21 是该方程组的两个解，其中 1 1 1 1 , 1 1 1 2 .写出此方程组的通解. 解：解：(1) 增广矩阵A的行列式 23 111 23 222 434241323121 23 333 23 444 1 1 ()()()()()() 1 1 aaa aaa Aaaaaaaaaaaaa aaa aaa ， 4 分 由 1234 ,a a a a两两不相等，知| 0A ，从而矩阵A的秩( )4R A . 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题参考解答及评分标准 1994 年 第 18 页 但系数矩阵A的秩( )3R A ，故( )( )R AR A，因此原方程组无解. 6 分 (2) 当)0(, 4231 kkaakaa时，方程组为 23 123 23 123 23 123 23 123 xkxk xk xkxk xk xkxk xk xkxk xk ，即 23 123 23 123 xkxk xk xkxk xk . 因 1 20 1 k k k ，故( )( )2R AR A ， 从而方程组相容且对应的导出方程组的基础解系应含有 321 个解向量. 8 分 又因 12 , 是原非齐次方程组的两个解，故 12 112 110 112 是对应齐次线 性方程组的解；且0，因此是导出方程组的基础解系. 10 分 于是原非齐次方程组的通解为 1 12 10 12 Xcc ， （c为任意常数.） 11 分 十、十、(本题满分本题满分 8 分分) 设 001 1 100 Axy 有三个线性无关的特征向量，求x和y应满足的条件. 解：解：解特征方程 322 |1(1) (1)0EA ， 得特征值 1 1（二重） ， 2 1 . 3 分 欲使 1 1有二个线性无关的特征向量，矩阵EA的秩必须等于 1， 而 101101 ()00 101000 EAxyxy ，故 11 0yx xy ，即0 xy. 6 分 因为不同特征值所对应的特征向量线性无关，所以矩阵A要有三个线性无关的特征向量， 必须满足条件0 xy. 8 分 十一、十一、(本题满分本题满分 8 分分) 假设随机变量 4321 ,XXXX相互独立，且同分布 00.6, 10.4 (1,2,3,4). ii P XP Xi 求行列式 12 34 XX X XX 的概率分布. 解：解：记 114 YX X， 223 YX X，则 12 XYY，且 12 ,Y Y独立同分布； 2 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题参考解答及评分标准 1994 年 第 19 页 又 1223 111,10.16P YP YP XX. 3 分 12 00 1 0.160.84P YP Y . 4 分 于是随机变量 12 XYY有三个可能值1,0,1，且易见 5 分 12 10,10.84 0.160.1344P XP YY， 12 11,00.16 0.840.1344P XP YY， 01 2 0.13440.7312P X . 于是X的概率分布为 12 34 101 0.13440.73120.1344 XX X XX . 8 分 十二、十二、(本题满分本题满分 8 分分) 假设由自动生产线加工的某种零件的内径 X（毫米）服从正态分布) 1,(N，内径小于 10 或大于 12 的为不合格品， 其余为合格品， 销售每件合格品获利， 销售每件不合格品亏损， 已知销售利润 T（单位：元）与销售零件的内径 X 有如下关系： 125 121020 101 X X X T ，问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大？ 解：解：设( )x是标准正态分布函数，( )x为标准正态密度，则平均利润 ( )20 101210 5 12E TPXP XP X 3 分 20(12)(10)(10)51(12) 25 (12)21 (10)5. 5 分 令 ( ) 25 (12)21 (10)0 dE T d . 6 分 得 22 (12)(10) 22 2521 0 22 ee ，即 22 (12)(10) 22 2521ee . 7 分 解得 0 125 11ln10.9 221 .故当 0 10.9毫米时，平均利润最大. 8 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1994 年数学试题参考解答及评分标准 1994 年 第 20 页 数数 学（试卷五）学（试卷五） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分，满分分 15 分分) (1)(4)【 同数学四 第四、(1)(4) 题 】 (5) 假设一批产品中一，二，三等品各占 650%，30%，10%，从中随意取出一件，结果不是 三等品，则取到的是一等品的概率为 2 3 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1)【 同数学四 第二、(1