大学物理课件6机械振动

机械振动机械振动 本课教学基本要求本课教学基本要求 1、掌握简谐振动的特征、规律和表示方法。、掌握简谐振动的特征、规律和表示方法。 2、熟练掌握三个特征量的意义及确定方法。、熟练掌握三个特征量的意义及确定方法。 3、掌握旋转矢量法确定初相位的基本技巧；会从振动曲、掌握旋转矢量法确定初相位的基本技巧；会从振动曲 线确定振动方程。线确定振动方程。 4、了解振动的理想化模型、了解振动的理想化模型-弹簧振子。弹簧振子。 5、掌握简谐振动的能量特征。、掌握简谐振动的能量特征。 6、掌握两个同方向同频率的简谐振动的合成方法及规律。、掌握两个同方向同频率的简谐振动的合成方法及规律。 7、理解两个互相垂直、同频率简谐振动合成的规律。、理解两个互相垂直、同频率简谐振动合成的规律。 2018/4/71 机械振动机械振动 因为振动是声学、地震学、建筑力学等必须因为振动是声学、地震学、建筑力学等必须 的基础知识，自然界中还有许多现象，如交变电的基础知识，自然界中还有许多现象，如交变电 流、交变的电磁场等，都属于广义的振动现象。流、交变的电磁场等，都属于广义的振动现象。 这些运动的本质虽然并非机械运动，但运动规律这些运动的本质虽然并非机械运动，但运动规律 的数学描述却与机械振动类似。因此，机械振动的数学描述却与机械振动类似。因此，机械振动 的研究也为光学、电学、交流电工学、无线电技的研究也为光学、电学、交流电工学、无线电技 术等打下了一定的基础。术等打下了一定的基础。 任何一种复杂的机械振动都可以看成多个直任何一种复杂的机械振动都可以看成多个直 线振动的叠加。线振动的叠加。 学习机械振动的意义学习机械振动的意义 2 机械振动机械振动 6.1 简谐运动简谐运动 在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动 任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动的合成任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动的合成 一、简谐运动一、简谐运动 1、弹簧振子、弹簧振子 2、弹簧振子运、弹簧振子运 动的动的定性分析定性分析 BO：弹性力向右，加速度向右，加速；：弹性力向右，加速度向右，加速； OC：向左，向左，向左，减速；向左，减速； CO：向左，向左，向左，加速；向左，加速； OB：向右，向右，向右，减速。向右，减速。 物体在物体在B、C之间来回往复运动之间来回往复运动 3、物体作简谐运动的条件、物体作简谐运动的条件 物体的惯性物体的惯性阻止系统停留在平衡位置阻止系统停留在平衡位置 作用在物体上的弹性力作用在物体上的弹性力驱使系统回复到平衡位置驱使系统回复到平衡位置 2018/4/73 机械振动机械振动 4、弹簧振子的动力学特征、弹簧振子的动力学特征 取平衡位置取平衡位置O 点为坐标原点，点为坐标原点， 水平向右为水平向右为x 轴的正方向。轴的正方向。 x kxf= 力的方向与位移的方向相反，始终指向平衡位置的，称为力的方向与位移的方向相反，始终指向平衡位置的，称为 回复力回复力。 maf = =x m k m f a= m k 2 0 2 2 2 x dt xd xa 2 = 简谐运动简谐运动 微分方程微分方程 2018/4/74 机械振动机械振动 5、简谐运动的运动学特征简谐运动的运动学特征 )t cos( )t sin( ) cos( 2 2 2 += += += += += += A dt xd a A dt dx v tAx 说明：说明： 物体在简谐运动时，其位移、速度、加速度都是物体在简谐运动时，其位移、速度、加速度都是周期性周期性变变 化的化的 简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的，只有正弦函数、简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的，只有正弦函数、 余弦函数或它们的组合才具有这种性质，这里我们采用余弦函数或它们的组合才具有这种性质，这里我们采用余弦余弦 函数函数。 2018/4/75 机械振动机械振动 二、简谐运动的特点二、简谐运动的特点 1、从受力角度来看、从受力角度来看动力学特征动力学特征 kxf= 2、从加速度角度来看、从加速度角度来看运动学特征运动学特征 xa 2 = 3、从位移角度来看、从位移角度来看运动学特征运动学特征 ) cos(+=+=tAx 说明：说明： 要证明一个物体是否作简谐运动，只要证明上面三个式子中的要证明一个物体是否作简谐运动，只要证明上面三个式子中的 一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个；一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个； 要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法就是受力方析，要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法就是受力方析， 得到物体所受的合外力满足回复力的关系。得到物体所受的合外力满足回复力的关系。 2018/4/76 机械振动机械振动 【例题例题】一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。的物体。 今将物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐振动。今将物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐振动。 因此因此 , 此振动为简谐振动。此振动为简谐振动。 m 0 l 0 x x x o 以平衡位置以平衡位置O为原点为原点 弹簧原长弹簧原长 挂挂m后伸长后伸长 某时刻某时刻m位置位置 f 伸伸 长长 受弹力受弹力 平衡位置平衡位置 解：解：求平衡位置求平衡位置 mgkx = 0 k mg x = 0 kx kxkxmg xxkmgF = = += = = += 0 0 )( k 2018/4/77 机械振动机械振动 三、简谐运动的振幅、周期、频率和相位三、简谐运动的振幅、周期、频率和相位 （一）振幅（一）振幅反映振动幅度的大小反映振动幅度的大小 1、定义、定义A 作简谐运动的物体离作简谐运动的物体离 开平衡位置的最大位开平衡位置的最大位 移的移的绝对值绝对值。 2、说明、说明 振幅恒为正值，单位为米振幅恒为正值，单位为米(m); 振幅的大小与振动系统的能量有关，由系统的初振幅的大小与振动系统的能量有关，由系统的初 始条件确定始条件确定。 2018/4/78 机械振动机械振动 （二）周期与频率（二）周期与频率反映振动的快慢反映振动的快慢 1、周期、周期 定义：物体作一次完全振动所需的时间，用定义：物体作一次完全振动所需的时间，用T表示，单位表示，单位 为秒为秒(s) ) (cos) cos(+=+=+=+=TtAtAx 2T 2 = =T 2、频率、频率 定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数，用定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数，用表示，表示， 单位为赫兹单位为赫兹(Hz)。 2 1 = = T 2018/4/79 机械振动机械振动 3、圆频率、圆频率 定义：物体在定义：物体在2秒时间内所作的完全振动的次数，用秒时间内所作的完全振动的次数，用表表 示，单位为弧度示，单位为弧度/秒秒(rad.s-1或或s -1)。 T 2 2= 说明说明 简谐运动的基本特性是它的周期性简谐运动的基本特性是它的周期性 周期、频率或圆频率均有振动系统本身的性质所决定，故周期、频率或圆频率均有振动系统本身的性质所决定，故 称之为称之为固有周期、固有频率或固有圆频率固有周期、固有频率或固有圆频率。对于弹簧振子。对于弹簧振子 k m T m k m k 2, 2 1 ,= 简谐运动的表达式可以表示为简谐运动的表达式可以表示为 ) 2cos() 2 cos() cos( +=+=+= +=+=+=tAt T AtAx 2018/4/710 机械振动机械振动 （三）相位（三）相位反映振动的状态反映振动的状态 1、相位、相位 +t 2、初相位、初相位 3、相位差、相位差 定义：定义：两个振动在同一时刻的相位之差或同一振动在不两个振动在同一时刻的相位之差或同一振动在不 同时刻的相位之差。同时刻的相位之差。 对于同频率简谐运动、同时刻的相位差对于同频率简谐运动、同时刻的相位差 10201020 )t ()t (=+ =+ 说明说明 0 质点质点2的振动超前质点的振动超前质点1的振动的振动 =Av 3/= ()()3/cos100 . 4)2( 2 = tx ()()3/sin100 . 4 2 = tv ()()3/cos100 . 4 22 = ta avxt,s5 . 0代入，得=代入，得= 2018/4/714 机械振动机械振动 (3) x= -0.02m时，时， 2 1 ) 3 cos( 1 = = t 3 2 3 1 = =t 3 4 3 1 = =t 或或 该时刻速度为负，该时刻速度为负， 舍去舍去 3 2 3 1 = =ts1 1 = =t 回到平衡位置，回到平衡位置， 2 3 3 2 = =t s 6 11 2 = =t s6/5 12 =ttt 解法解法 s 6 5 3 2 2 3 = = = t 2018/4/715 机械振动机械振动 x y o )cos(+=+=tAx x A o x y +t x A 6.2 旋转矢量旋转矢量 一、旋转矢量图示法一、旋转矢量图示法 二、旋转矢量与简谐运动二、旋转矢量与简谐运动 的关系的关系 A 振幅振幅 圆频率圆频率 初相位初相位 t+ 相位相位 2018/4/716 机械振动机械振动 三、旋转矢量的应用三、旋转矢量的应用 1、作振动图作振动图 2、求初相位、求初相位 3、可以用来求速度和加速度、可以用来求速度和加速度 4、振动的合成、振动的合成 2018/4/717 机械振动机械振动 旋转矢量法确定旋转矢量法确定 ： 先在先在X轴上找到相应轴上找到相应x0， ，有两个旋转矢量，由 有两个旋转矢量，由 的的正正 负来确定其中的一个负来确定其中的一个 = = , , 0 , , 0 02 , 0 0 , 0 000 0 0 AxAxv v v 或下半圆， 上半圆， 或下半圆， 上半圆， XO A A 0 x 2018/4/718 机械振动机械振动 【例题】【例题】 一简谐振动的振幅为一简谐振动的振幅为A，角频率为，角频率为 ，以下列，以下列 各种情况为起始时刻，分别写出简谐振动的表达式：各种情况为起始时刻，分别写出简谐振动的表达式： 物体过平衡位置向物体过平衡位置向X轴正方向运动；轴正方向运动； 物体被压缩到最大位移处；物体被压缩到最大位移处； 过过处向处向X轴负方向运动；轴负方向运动； 过过处向处向X轴正方向运动。轴正方向运动。 2 A A 2 3 X O ) 2 cos(1 = =tAx、 )cos(2=tAx、) 6 cos(4 = =tAx、 ) 3 cos(3 += +=tAx、 解：先写出简谐振动的标准表达式，解：先写出简谐振动的标准表达式， 并画旋转矢量图并画旋转矢量图 )cos(+=+=tAx 2018/4/719 机械振动机械振动 单摆单摆数学摆数学摆 1、概念、概念 单摆是一个单摆是一个理想化的振动系理想化的振动系 统：统：它是由一根无弹性的轻它是由一根无弹性的轻 绳挂一个质点构成的。绳挂一个质点构成的。 摆锤摆锤重物重物 摆线摆线细绳细绳 平衡位置平衡位置O点点 把质点从平衡位置略为移开，把质点从平衡位置略为移开， 质点就在重力的作用下，在质点就在重力的作用下，在 竖直平面内来回摆动。竖直平面内来回摆动。 2、运动方程、运动方程 x l mg l x mgmgmgF=sin 2018/4/720 机械振动机械振动 单摆的圆频率单摆的圆频率 l g m k = 2 振动方程振动方程 ()()+=+=txxcos 0 周期周期 g l T 2 频率频率 l g T 2 11 = l g = 3、说明：、说明： 单摆的合外力与弹性力类似，称为单摆的合外力与弹性力类似，称为准弹性力准弹性力 单摆的周期与质量无关单摆的周期与质量无关 单摆提供了一种测量重力加速度的方法单摆提供了一种测量重力加速度的方法 单摆可以当作单摆可以当作计时器计时器 gm f 2018/4/721 机械振动机械振动 复摆复摆物理摆物理摆 1、概念、概念 2、运动方程、运动方程 重力矩重力矩mglmglMsin 转动定律转动定律 2 2 dt d JJmgl J mgl = = 2 0 2 2 2 dt d 3、周期与频率、周期与频率 J mgl mgl J T= 2 4、应用、应用 测重力加速度测重力加速度 测转动惯量测转动惯量 2018/4/722 机械振动机械振动 6.3 简谐运动的能量简谐运动的能量 一、简谐运动的能量一、简谐运动的能量 以弹簧振子为例以弹簧振子为例 k m ox X () () () () += += += += tAv tAx sin cos 系统动能系统动能()() +=+=tmAmvEk 2222 sin 2 1 2 1 系统势能系统势能 ()()+=+=tkAkxE p cos 2 1 2 1 222 系统的总能量系统的总能量 ()()()()+=+=tkAtmAEEE pk 22222 cos 2 1 sin 2 1 222 2 1 2 1 kAmAE 弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比 2018/4/723 机械振动机械振动 二、能量平均值二、能量平均值 1、动能的时间平均值、动能的时间平均值 ()() 222 0 222 4 1 4 1 sin 2 11 kAmAdttmA T E T k =+=+= 2、势能的时间平均值、势能的时间平均值 ()() =+=+ T p mAkAdttkA T E 0 22222 4 1 4 1 cos 2 11 简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相 等，它们都等于总能量的一半。等，它们都等于总能量的一半。 结论结论 2018/4/724 机械振动机械振动 三、应用三、应用 忽略阻力，忽略阻力，机械能守恒机械能守恒，作简谐运动的，作简谐运动的 系统只有动能和势能，有系统只有动能和势能，有 ()()0=+=+ pk EE dt d 将具体问题中的动能与势能表达式代入将具体问题中的动能与势能表达式代入 上式，可得到上式，可得到简谐运动的微分方程简谐运动的微分方程及振及振 动动周期和频率周期和频率。 例题、例题、用机械能守恒定律求弹簧振子的用机械能守恒定律求弹簧振子的 运动方程。运动方程。 解：解：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒弹簧振子在振动过程中，机械能守恒 CkAkxmv=+=+ 222 2 1 2 1 2 1 02 2 1 2 2 1 =+=+ dt dx xk dt dv vm 两边对时间求导，得两边对时间求导，得 0 2 2 =+=+xvk dt xd vm 0 2 2 =+=+x m k dt xd m k 2 0 2 2 2 =+=+x dt xd ()()+=+=tAxcos 令令 2018/4/725 机械振动机械振动 【6.4】一质量为】一质量为1.010-2kg的物体，以的物体，以1.010-2m振幅作简谐振振幅作简谐振 动，速度最大值为动，速度最大值为2.010-2m/s。求：（。求：（1）振动的周期；（）振动的周期；（2） 总能量；（总能量；（3）物体在何处时，其动能和势能相等。）物体在何处时，其动能和势能相等。 解：解： Hz2100 . 1/100 . 2/)1( 22 = AvAv mm s14 . 3 2/2/2=T J100 . 2)100 . 1(2100 . 1 2 1 2 1 )2( 6222222 =AmE 22 2 1 2 1 2 1 2 1 )3(kAEkxEp= Ax 2 2 = = 2018/4/726 机械振动机械振动 5.4 简谐运动的合成简谐运动的合成 一、两个同方向同频率简谐运动的合成一、两个同方向同频率简谐运动的合成 某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动 () () () () 222 111 cos cos += += += += tAx tAx 合振动合振动 21 xxx+=+= 1、应用解析法、应用解析法 ()() () () ()() () ()tAA tAA tAtA xxx sinsinsin coscoscos cos cos 2211 2211 2211 21 + += + += + += + += 2211 2211 coscoscos sinsinsin AAA AAA += += += += ()() + + tA tAtAx cos sinsin coscos )cos(2 1221 2 2 2 1 +=+=AAAAA 2211 2211 coscos sinsin AA AA tg + + = + + = 令令 2018/4/727 机械振动机械振动 2、应用旋转矢量法、应用旋转矢量法 2 A A 1 A 2 1 x y 11 cosA 22 cosA 11 sinA 22 sinA )cos(2 1221 2 2 2 1 +=+=AAAAA 2211 2211 coscos sinsin AA AA tg + + = + + = 合成振动合成振动 是简谐运动是简谐运动 ()()+=+=tAx cos 演示演示 2018/4/728 机械振动机械振动 3、讨论、讨论 , 2 , 1 , 0 2 12 =kk 21 AAA+=+= 合振幅最大合振幅最大 2 A A 1 A 情况情况1 当当称为干涉相长称为干涉相长 21 AA = = 1 2AA = = 2 A A 1 A 1 A 2 A A | 2121 AAAAA+ k 12 情况情况2 , 3 , 2 , 1 ) 12( 12 =kk 21 AAA= 合振幅最小合振幅最小 当当称为干涉相称为干涉相消消 21 AA = =0= =A 情况情况3：一般情况一般情况 2018/4/729 机械振动机械振动 二、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成二、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成 某质点同时参与两个同频率的互相垂直方向的简谐运动某质点同时参与两个同频率的互相垂直方向的简谐运动 ) cos( 11 +=+=tAx ) cos( 22 +=+=tAy 合振动的轨迹方程为合振动的轨迹方程为 ()()()() 12 2 12 21 2 2 2 2 1 2 sincos 2 =+=+ AA xy A y A x 是个椭圆方程，具体形状由相位差决定。是个椭圆方程，具体形状由相位差决定。 2018/4/730 机械振动机械振动 讨论讨论1 0 12 = 0 2 21 2 2 2 2 1 2 =+=+ AA xy A y A x x A A y 1 2 = = 合振动的轨迹是一条通过原点的直线合振动的轨迹是一条通过原点的直线 y x 讨论讨论2 0 2 21 2 2 2 2 1 2 =+=+ AA xy A y A x x A A y 1 2 = = y x = 12 合振动的轨迹是一条通过原点的直线合振动的轨迹是一条通过原点的直线 讨论讨论3 1 2 2 2 2 1 2 =+=+ A y A x 2/ 12 = 合振动的轨迹是的合振动的轨迹是的椭圆椭圆 方程，且方程，且顺顺时针旋转时针旋转 2018/4/731 机械振动机械振动 讨论讨论4 1 2 2 2 2 1 2 =+=+ A y A x 2/3 12 = 合振动的轨迹是的合振动的轨迹是的椭圆椭圆 方程，且方程，且逆逆时针旋转时针旋转 21 AA = = 讨论讨论5 合振动的轨迹是的合振动的轨迹是的圆圆 1 2 2 2 2 1 2 =+=+ A y A x 2/3 , 2/ 12 = 讨论讨论6 则为任一椭圆方程则为任一椭圆方程 ， ， ， ， 210 210 2 12 12 12 = = + = = = + = kk k k 综上所述综上所述：两个频率相同：两个频率相同 的互相垂直的简谐振动合的互相垂直的简谐振动合 成后，成后，合振动在一直线上合振动在一直线上 或者在椭圆上进行或者在椭圆上进行当两个当两个 分振动的振幅相等时，位分振动的振幅相等时，位 相差为相差为/2或或3/2时，椭圆时，椭圆 轨道就成为圆。轨道就成为圆。 2018/4/732 机械振动机械振动 几种特殊情况：几种特殊情况： 1020 = 0= Q P . 4=2=43= =45=23=47= )cos()cos( 202101 +=+=+=+=tAytAx 2018/4/733 机械振动机械振动 三、两个三、两个垂直方向不同频率简谐运动的合成垂直方向不同频率简谐运动的合成 合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论 视为同频率的合成：两个振动的相位差缓视为同频率的合成：两个振动的相位差缓 慢地变化，质点运动的轨道循环变化。慢地变化，质点运动的轨道循环变化。 0 12 情况情况1：两个分振动的频率相差很小：两个分振动的频率相差很小 合成运动的轨道是封闭曲线，合成运动的轨道是封闭曲线， 运动也具有周期。这种运动轨运动也具有周期。这种运动轨 迹的图形称为迹的图形称为李萨如图形李萨如图形。 应用应用测量频率测量频率 在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已 知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如 图形去比较，就可得知另一个未知的频率。图形去比较，就可得知另一个未知的频率。 2:1:= yx TT 情况情况2：两个分振动的频率相差较大，有简：两个分振动的频率相差较大，有简 单整数比关系单整数比关系 2018/4/734 机械振动机械振动 情况情况2、振动方向垂直，不同频率简谐振动的合成、振动方向垂直，不同频率简谐振动的合成 当两个互相垂直的简谐振动的频率成整数比时，合成的轨当两个互相垂直的简谐振动的频率成整数比时，合成的轨 迹闭合，运动是周期的，叫李萨如图。（迹闭合，运动是周期的，叫李萨如图。（Lissajous Figure） x y y x y x x y T T n n = = . )( )( 点数 多切点数或最大交 线的最垂直水平 为曲线与一 点数 多切点数或最大交 线的最垂直水平 为曲线与一 yx nn 2018/4/735 机械振动机械振动 【例【例6.5】一质点同时参与同方向同频率的两个振动】一质点同时参与同方向同频率的两个振动 cm 3 2 5sin3 1 += +=txcm 3 1 5cos4 2 = =tx 求合振动的振幅、初相位，振动方程。求合振动的振幅、初相位，振动方程。 解：解： cm 6 5cos3 1 += += tx = = 2 cossin cm543 63 cos43243 )cos(2 22 22 1221 2 2 2 1 =+= += += =+= += += AAAAA 2018/4/736 机械振动机械振动 【例【例6.5】一质点同时参与同方向同频率的两个振动】一质点同时参与同方向同频率的两个振动 cm 3 2 5sin3 1 += +=txcm 3 1 5cos4 2 = =tx 求合振动的振幅、初相位，振动方程。求合振动的振幅、初相位，振动方程。 解：解： cm 6 5cos3 1 += += tx = = 2 cossin 427 . 0 3 cos4 6 cos3 3 sin4 6 sin3 coscos sinsin 2211 2211 = + + = + + = = + + = + + = AA AA tg rad404 . 0 = x 6/ 3/ 1 A 2 A A 2018/4/737 机械振动机械振动 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 物体在弹性力或准弹性力作用下产生的简谐运动称无物体在弹性力或准弹性力作用下产生的简谐运动称无 阻尼自由振动。阻尼自由振动。 阻尼振动阻尼振动 物体在弹性力（或准弹性力）和物体在弹性力（或准弹性力）和阻力阻力作用下产生的运作用下产生的运 动称阻尼振动。动称阻尼振动。 *5.5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振 阻尼振动的种类：阻尼振动的种类： 在阻尼振动中，振动系统所具有的能量将在振动过程在阻尼振动中，振动系统所具有的能量将在振动过程 中逐渐减少。能量损失的原因通常有两种：中逐渐减少。能量损失的原因通常有两种： 一种是由于介质对振一种是由于介质对振 动物体的摩擦阻力，使振动物体的摩擦阻力，使振 动系统的能量动系统的能量逐渐变为热逐渐变为热 运动的能量运动的能量而造成能量损而造成能量损 失。这称失。这称摩擦