二重积分的计算方法

.,1,利用直角坐标系计算二重积分,小结,利用极坐标系计算二重积分,doubleintegral,二重积分的换元法,第二节二重积分的计算法,第九章重积分,.,2,本节介绍计算二重积分的方法:,二重积分化为,累次积分(即两次定积分).,.,3,一、利用直角坐标系计算二重积分,(1)积分区域为：,其中函数,在区间上连续.,.,4,计算截面面积,(红色部分即A(x0),以D为底,以曲面,为顶的曲顶柱体的体积.,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.,是区间,为曲边的曲边梯形.,为底,曲线,.,5,是区间为底,曲线为曲边的曲边梯形.,有:,称为,先对y后对x的二次积分(累次积分),.,6,(2)积分区域为：,先对x后对y的二次积分,也即,其中函数,在区间,上连续.,.,7,特殊地,注,D为矩形域:,则,axb,cyd,.,8,穿过区域且平行于y轴的直线,穿过区域且平行于x轴的直线,计算结果一样.,又是Y型:,(3)积分区域D既是X型:,X型区域的特点:,Y型区域的特点:,与区域边界相交不多于两个交点.,与区域边界相交不多于两个交点.,但可作出适当选择.,.,9,(4)若区域如图,在分割后的三个区域上分别使用积分公式.,(用积分区域的可加性质),则必须分割.,.,10,例,解,积分域既是X型又是Y型,法一,所围平面闭区域.,两曲线的交点,.,11,？,先对x后对y的积分,法二,.,12,例,siny2对y的积分,而它对x的积分,交换积分次序的方法是:,改写D为:,分析,所以将二次积分先,将所给的积分域,(1),(2),画出积分域的草图,(3),计算二次积分,不能用基本积分法算出,可用基本积分法算出.,交换积分次序.,用联立不等式表示D:,.,13,.,14,例,交换积分次序：,解,积分区域:,原式=,.,15,交换积分次序的步骤,(1)将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域,(2)按相反顺序写出相应的二次积分.,并画出草图;,.,16,1990年研究生考题,填空,3分,解,练习,交换积分次序,.,17,又是能否进行计算的问题.,计算二重积分时,恰当的选取积分次序,十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题,而且,凡遇如下形式积分:,等等,一定要放在,后面积分.,.,18,例求证,左边的累次积分中,积分域,可表为,提示,定积分与积分变量的记法无关,不能具体计算.,所以,是y的抽象函数,证毕.,先交换积分次序.,.,19,例求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为及,解,求所围成的,立体的体积.,?,还有别的做法吗,.,20,2002年研究生考题,7分,练习,计算二重积分,其中,解,设,.,21,解,计算积分,不能用初等函数表示,先交换积分次序.,练习,.,.,.,.,.,例,则,提示:如图，,A,设有平面闭区域,.,例.有一个平面薄片,在平面上占有区域其面密度为，求该薄片的质量M。,由于积分区域关于轴，轴都对称，且被积函数关于都是偶函数，根据得,解：根据二重积分的物理意义，,.,例.计算,其中D由,所围成.,解:令,(如图所示),显然,机动目录上页下页返回结束,.,2014.3,例.设在连续，且,证明,证明:,补区域使其与区域,注意到被积函数关于和对称，,关于直线对称。,.,例.,设为取值恒大于0的连续函数，区域，与是两个非零常数，则二重积分,.,解：由于区域关于直线对称，可得,从而,.,32,计算,解,积分区域D关于x轴对称,被积函数关于y为偶函数.,原式=,记D1为D的y0的部分.,则,D1,练习,.,33,二、利用极坐标系计算二重积分,两相邻弧半径平均值.,内取圆周,上一点,其直角坐标,则,设为,.,34,得,即,也即,.,35,(1)积分区域D:,.,36,(2)积分区域D(曲边扇形):,.,37,极坐标系下区域的面积,(3)积分区域D:,注,一般,在极坐标系下计算:,.,38,解,例,写出积分,的极坐标二次积分,其中积分区域,形式,在极坐标系下,圆方程为,直线方程为,.,39,解,例,计算,其中D是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.,在极坐标系下,.,40,解,求反常积分,例,显然有,.,41,又,对称性质,.,42,概率积分,夹逼定理,即,所求反常积分,.,43,解,计算,所围成的平面闭区域.,例,及直线,.,44,解,双纽线,求曲线,所围成的图形的面积.,例,根据对称性有,在极坐标系下,由,得交点,面积,.,45,将直角坐标系下累次积分:,化为极坐标系下的累次积分.,解,练习,原式=,.,46,解,.,47,计算,因被积函数,D2,例,分析,故,的,在积分域内变号.,D1,.,48,二重积分的计算规律,再确定交换积分次,1.交换积分次序:,先依给定的积分次序写出积分域D的,不等式,并画D的草图;,序后的积分限;,2.如被积函数为,圆环域时,或积分域为,圆域、扇形域、,则用极坐标计算;,.,49,3.注意利用对称性质,数中的绝对值符号.,以便简化计算;,4.被积函数中含有绝对值符号时,应,将积分域分割成几个子域,使被积函数在,每个子域中保持同一符号,以消除被积函,.,50,例,计算,分析,从被积函数看,用极坐标系要简单些,但从积分域D的形状看,为宜.,用却又以直角坐标系,在两者不可兼得的情况下,应以D的形状,来决定用什么坐标系,此题用直角坐标系.,.,51,.,52,三、二重积分的换元法,设被积函数,在区域D上连续,若变换,满足如下条件:,(1),一对一地变为,D上的点;,(2),有连续的一阶偏导数,且雅可比行列式,.,53,基本要求,变换后定限简便,求积容易,.,54,例,解,所围成的闭区域.,其中D为椭圆,作广义极坐标变换,.,55,故换元公式仍