《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计

直线和双曲线的交点个数问题教学设计昌黎汇文二中 李小庆一、 教学目的：1.通过多媒体演示让学生掌握求直线与双曲线的交点个数的方法；2.使学生认识到数形结合在解决问题中起到的重要作用。二、 教学重点和难点：1. 直线与双曲线的交点个数的讨论；2. 数形结合思想方法在解题中的应用三、 教学过程：1、复习提问：双曲线的方程和性质双曲线的标准方程顶点渐近线焦点在x轴上焦点在y轴上思考问题：求双曲线与下列直线的交点的个数：y=x+1 y= -x+1 y=1.2x+1 y= -1.2x+1 y=1 y=2x+1 y= -2x+1老师提示：在求双曲线与直线的交点个数时，请说出它们的位置关系。 与的答案：1 直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）。与的答案：1 直线与双曲线相切。与的答案：2 直线与双曲线相交，交点在一支上。的答案：2 直线与双曲线相交，交点在两支上。与的答案：0 直线与双曲线相离。（以上内容都有多媒体演示）总结：当直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）或直线与双曲线相切时直线与双曲线有一个公共点。例1：论直线y=kx+1与双曲线C:公共点的个数。分析：直线y=kx+1过定点（0，1），解决这个问题的关键在于找什么？就是找与双曲线有一个交点的直线。通过多媒体演示得到答案解：k=1或k=时L与C有一个公共点；有两个交点：在左支上时1k 在右支上时 k-1在两支上时 -1k1所以k(,-1)(-1,1)(1, )时L与C有两个公共点。k(-,-1)(1,+)时L与C没有公共点。例2：讨论过（1，1）点的直线与双曲线公共点的个数。解：直线x=1和直线y=-x+2 与双曲线有一个交点;k(-,-1) 时有两个交点在右支上; k(-1,1) 时有两个交点在两支上; k(1,+) 时没有公共点。例3：讨论直线y=kx与双曲线公共点的个数。解：没有和双曲线只有一个交点的直线；k(-1,1) 时直线与双曲线有两个交点在两支上;k(-,-1)(1,+)时直线与双曲线没有公共点。例4：讨论过（1，0）点的直线与双曲线公共点的个数。解：直线x=1和直线y=x-1和直线y=-x+1与双曲线有一个公共点;两个交点在右下支上k-1 在两支上-1k1 在右上支上k1所以k(,-1)(-1,1)(1,+)时有两个公共点。 (3)例5：已知双曲线的右焦点为F，过点F倾斜角为的直线与双曲线的右支只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D 答案：C例7：已知试求使方程有解的k的取值范围。解：有解等价于函数y=x-ak0与y=0图象有交点所以k-1或 0k1四、总结：过一点和双曲线只有一个交点的直线的条数 过中心 0 过渐近线上一点且不是中心 2 过双曲线外一点且不在渐近线上 4 过双曲线上一点 3 过双曲线内一点 2四、 作业：过P（1，0）的直线与双曲线有且只有一个公共点，则斜率k的取值范围。答案：或拓展：（1） 答案： （2） 答案： （3）小结：消元转化为讨论某个一元二次方程