线代模拟测试4-答案

2020 班模考试卷解析 线性代数模拟测试题（4） 参考答案与解析 线性代数模拟测试题（4） 参考答案与解析 一、选择题 一、选择题 （1）【答案】（A）. 【解析】方程组Axb无解r( )r( , ),AA b又 12111211 ( , )2323011 1200231 1211 011. 00133 aa aa a aaa A b 得1.a 故应选（A）. （2）【答案】（D）. 【解析】由r( )3nA知， 0Ax的一个基础解系含 3 个线性无关的解向量，又 根据线性方程组解的性质知，选项中各向量均为 0Ax的解，故仅需考虑各选项 3 个 解向量的线性相关性即可. 由于 3213213 ()2 0 ，故 3213213 , 2 线性相关，不是方程组 0Ax的基础解系. 故应选（D）. （3）【答案】（D）. 【解析】由r( )1A知， 0Ax基础解系含 2 个线性无关的解向量，又 123 , 为 0Ax的三个解向量，故 123 , 线性相关，则 123 125 ,31051503. 01 kk k 故应选（D）. 微信公众号【新卓越考研】免费更全年考研资料 2020 班模考试卷解析 （4）【答案】（B）. 【解析】若 n A x ，则 1nn AxA A xA ，所以（I）的解必是（II）的 解. 反之，若 1n Ax ，假设 n A x ，设 2 012 , n n kkkkx+Ax+A x+A x = 上式左乘 n A，得 00 0, n kkA x = 则有 2 12 , n n kkkAx+A x+A x = 上式左乘 1n A，得 11 0. n kkA x = 同理，得 23 0 n kkk，由定义知，向量组 2 , n x Ax A xA x线性无关. 又 2 , n x Ax A xA x为1n个n维向量，故必线性相关，矛盾，假设不成立. 因 此 n A x ，故（II）的解必是（I）的解. 综上，应选（B）. 二、填空题 二、填空题 （5）【答案】 T 0,0,1,0. 【解析】由方程组易知， 124 0,xxx取 3 x为自由变量，得基础解系为 T 0,0,1,0. （6）【答案】1r . 【解析】方程组Axb无解r( )r( , ),AA b又r( , )r( )r( )1,rA bAb 故r( , )1.rA b （7）【答案】只有零解. 【解析】方程组Axb有解r( )r( , ),AA b则Axb有唯一解r( )nA 0Ax只有零解. （8）【答案】1；0. 【解析】把 1 122ss CCC代入方程Axb，得 微信公众号【新卓越考研】免费更全年考研资料 2020 班模考试卷解析 1 1221122 12 , ssss s CCCCCC CCC AAAA bb 12 1. s CCC 把 1 122ss CCC代入方程 0Ax，得 1 1221122 12 , ssss s CCCCCC CCC 0 AAAA b 12 0. s CCC （9）【答案】 T 11121 , n k AAA，k为任意常数. 【解析】由 * r()1A，得r( )1nA，则 0Ax基础解系所含线性无关向量个 数仅为 1 个，若找到 1 个非零向量 满足 0A ，则 就是 0Ax的一个基础解系. 因为 * , 0AAA E故 * A的列向量均为 0Ax的解，又 11 0A ，故可取 * A的 第一列 T 11121 , n AAA为基础解系，从而 0Ax的通解为 T 11121 , n k AAA，k为任意常数. 三、解答题 三、解答题 （10）【解析】()因为ABO，又,BO故 0Ax有非零解，则 121 1212002. 1223 aaa aa aa A或 （） 当0a 时， 121121 121001 , 123000 A得 0Ax的通解为 2 1, 0 kk x 为任意常数； 当2a 时， 121121 143011 , 101000 A得 0Ax的通解为 1 1 , 1 cc x为任 意常数. 微信公众号【新卓越考研】免费更全年考研资料 2020 班模考试卷解析 （11）【解析】对增广矩阵进行初等行变换 11121112 ( ,)1210113 2300124 1112 0113, 0011 aa bb a ab A 当1,1ab 时，r( )r( ,)AA ，方程组无解； 当1a 时，r( )r( ,)3AA ，方程组有唯一解； 当1,1ab 时，r( )r( ,)23AA ，方程组有无穷多解，此时 1035 ( ,)0123 , 0000 A 得通解为 35 23 , 10 k xk为任意常数. （12）【解析】对系数矩阵进行初等行变换 1111110115 3211301226 , 0122600000 5433100000 A 可知，r( )2A，则 0Ax的一个基础解系包含 3 个线性无关的解向量. 又 1234 76511011 108620121 (,),12530000 13520000 11100000 可知， 1234 r(,)2 （ 12 , 为 1234 , 的一个极大线性无关组），故 0Ax 微信公众号【新卓越考研】免费更全年考研资料 2020 班模考试卷解析 的解不都能用 1234 , 线性表示. 令 345 1,0,0,xxx得 0Ax的一个解 T 5 (1, 2,1,0,0) . 因为 125 r(,)3 ，故 125 , 线性无关，故 125 , 为所求 0Ax的一个基 础解系. （13）【解析】将,X B按列分块为 1212 (,),( ,)Xx xBb b，则AX = B即为 1212 (,)( ,)A x xb b，亦即 1122 ,.Axb Axb 对( ,)A B作初等行变换 1110211102 1231601214 ( ,), 012100103 0111500004 a a A B 当4a 时，r( )r( ,)3AA B，AX = B有解. 此时 10011 01012 ( ,), 00103 00000 A B 得 11 Axb有唯一解 1 1 1 0 x， 22 Axb有唯一解 2 1 2 3 x，则AX = B有唯一解 11 12 . 03 X （14）【解析】（）因为 0Ax基础解系含有 3 个解向量， 0Bx基础解系含有 2 个 解向量，所以r( )1,r( )2,AB则 rr( )r( )34, A AB B 故方程组 , 0 0 Ax Bx 有非零解，即 0Ax和 0Bx有非零公共解. 微信公众号【新卓越考研】免费更全年考研资料 2020 班模考试卷解析 （）令 1 122331 122 kkkcc，即 1 122331 122 ,kkkcc 0 对系数矩阵作初等行变换 12312 1013210032 1320101011 (,) 2127500100 420141000000 秩为 3， 12 ,c c为自由变量， 故 0Ax和 0Bx的非零公共解为 1 122 cc， 其中 12 ,c c为 不全为零的任意常数. （15）【解析】因为 12 , 线性无关，故r( )2A. 由 12312341234 232得， 123 111 213 , 111 012 为 Ax的 3 个特解. 由线性方程组解的性质知， 2131 00 11 ,