一元二次方程的四种解法

教育，尽责的中小学，1比1课外咨询专家龙文教育个性化辅导教案概述教师：陈艳玲学生：九年级日期：周：期间：主题一元二次方程的概念及解法学习情境分析教学目标和考试现场分析1.掌握一元二次方程的概念和一般形式，并能指出一元二次方程的项和系数。可以根据具体一元二次方程的特点灵活选择方程的解。体验问题解决方案的多样性。教学重点困难教学重点是：掌握四个常用二次方程的解。教学难点：求解一元二次方程方法的灵活选择教学方法解释法、合作探究法教学过程首先，一元二次方程的概念；问题(1)有一个面积为54平方米的长方形。一边短5米，另一边2米，形成一个正方形。这个正方形的边长是多少？如果切割正方形的边长假定为x，那么原始矩形的长度为_ _ _ _ _ _，宽度为_ _ _ _ _ _。根据问题的意思，它是：_ _ _ _。组织，获取：_ _ _ _ _ _ _ _。感应：(1)只包含一个未知数x；(2)最高数字是2；(3)积分方程。因此，像这样的方程，两边都有代数表达式，只包含一个未知数(一元)，而最大的未知数是2(二次)，叫做一元二次方程。一般来说，任何关于x的一元二次方程，经过排序后，都可以转换成如下形式ax2bxc=0 (a 0)。这种形式被称为一元二次方程的一般形式。在一元二次方程被组织成ax2 bx c=0(a0)之后，其中ax2是二次项，a是二次系数；Bx是主项，b是主项系数；c是一个常数。例1。将方程3x(x-1)=5(x 2)转化为一元二次方程的一般形式，写出二次项、一次项和常数项的系数。请注意，二次项、二次项系数、一次项、一次项系数和常量项都包括前面的符号。例2:将方程(x 1)2 (x-2)(x 2)=1转换成一元二次方程的一般形式，并写出二次项和二次项的系数。主项系数和主项系数；常数项。练习：判断下列方程是否为一元二次方程。(1)3x 2=5y-3(2)x2=4(3)3 x2-=0(4)x2-4=(x2)2(5)ax2 bx c=0例3。验证：方程(m2-8m 17)x2 2mx 1=0表示x。无论M取什么值，该方程都是二次方程。练习：一，多项选择1.在下面的方程中，一元二次方程的个数是()。3 x2 7=0ax2 bx c=0(x-2)(x 5)=x2-13 x2-=0A.1 b.2 c.3 d.42.方程2x2=3(x-6)转换成一般形式后，二次项系数、一次项系数和常项系数分别为()。a2，3，-6 B2，-3，3,18 C.2，-3，6 B.2，3，63.Px2-3x2-q=0是关于x的二次方程，然后()。每平方英尺=1磅每平方英尺=0磅每平方英尺是任何实数第二，填空1.方程3x2-3=2x 1的二次项系数为_ _ _ _ _ _ _ _，一次项系数为_ _ _ _ _ _ _ _，常数项为_ _ _ _ _ _ _ _。2.一元二次方程的一般形式是_ _ _ _ _ _。3.X x23x=0的方程(A-1)是一个二次方程，那么A的取值范围是_ _ _ _ _ _。三。综合改善1.当a满足什么条件时，关于x的方程a(x2 x)=x-(x 1)是一个含有一个变量的二次方程？2.方程(2m2 m)xm 1 3x=6关于x可能是二次方程吗？为什么？3.等式(2a-4) x2-2bxa=0。在什么条件下这个方程是二次方程？在什么条件下这个方程是一元方程？4.当m是该值时，方程(m1) x/4m/-427mx5=0是关于二次方程二元或一元二次方程的解；综述：方程的解二次方程的解也称为二次方程的根。例1。下列哪个数字是方程2x2 10x 12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4。例2。如果x=1是x的二次方程a x2 bx c=0(a0)的根，求代数表达式2007(a b c)的值练习： X(a-1)x2 X a 2-1=0的一元二次方程如果一个根是0，那么求a的值你能用你以前学过的知识找到下列等式的根吗？(1)x2-64=0 (2)3x2-6=0 (3)x2-3x=03.一元二次方程的解(1)直接开平方法问题1。填空(1)x2-8x _ _ _ _ _ _ _ _=(x-_ _ _ _ _ _)2；(2)9 x2 12x _ _ _ _ _=(3x _ _ _ _ _)2；(3)x2 px _=(x _)2。问题2:到目前为止，我们已经学习了哪些方程？两元怎么变成一元？有一个变量的二次方程和有一个变量的二次方程有什么区别？第二个怎么变成第一个？如何降低订单？你以前学过哪些减少次数的方法？等式x2=9，根据平方根的含义，直接平方得到x=3。如果x是2t 1，也就是(2t 1)2=9，我们也可以用直接平方的方法来求解吗？示例1:求解方程：(1)(2x-1)2=5(2)x 26 x 9=2(3)x 2-2x4=-1市政府计划在两年内将人均住房面积从10平方米增加到1440万平方米，寻求人均住房面积的年增长率。求解一元二次方程的共同特点是将一元二次方程的“降阶”成两个一元二次方程。这种想法被称为“减少订单的想法”。如果用直接开平方法得到的解是x2=p(p0 ),那么用直接开平方法将x=转换成解是(mx n)2=p(p0 ),那么mx n=就达到了降阶的目的。如果p 0，则方程没有解练习：1。选择题1.如果x2-4x p=(x q)2，则p和q的值分别为()。A.p=4，q=2，B.p=4，q=-2，C.p=-4，q=2，D.p=-4，q=-22.等式3x2 9=0的根是()。a3 B- 3c 3d没有真正的根第二，填空1.如果8x2-16=0，x的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。2.如果方程2(x-3)2=72，那么一元二次方程中的两个是_ _ _ _ _ _。3.如果A和B是实数，并且满足b2-12b 36=0，则ab的值是_ _ _ _ _ _。三。综合改善1.解x (x m) 2=n的方程。(2)分配方法1.求解以下方程(1)3 x2-1=5(2)4(x-1)2-9=0(3)4x 2 16x 16=9(4)4x 2 16x=-7上述方程可以转换成x2=p或(mx n)2=p(p0)，然后X=或mxn=(p 0)。例如：4x2 16x 16=(2x 4)2，你能把4x2 16x=-7转换成(2x 4)2=9吗？2.要使一个长方形的场地长6米，宽16米，场地的长度和宽度是多少？转换：x2 6x-16=0 shift x2 6x=16在两侧加(6/2)2，使左侧形成x2 2bx b2 x2 6x 32=16 9左侧写为正方形 (x 3)2=向下25度x 3=5，即x 3=5或x 3=-5求解主方程x1=2，x2=-8可以验证x1=2，x2=-8是方程的根，但场地的宽度不能为负，因此场地的宽度为2m，通常为8m。像上面解决问题的方法一样，用一个变量解决二次方程的方法叫做匹配法。一个变量在左边不含X的二次方程变成了一个变量在左边的二次方程，并且右边是非负的。该方程可以直接简化为用一个变量求解该方程。用公式法求解一元二次方程的一般步骤；(1)将方程转换成一般形式；(2)二次系数变为1；(3)常数项向右移动；(4)将一阶项系数的平方的一半加到方程的两侧，使左侧匹配成完全平坦的模式；(5)变形为(x p)2=q，如果q0，方程的根为x=-pq；如果q 0，则方程没有真正的根。例1。下面关于x的方程用公式法求解(1)x2-8x 1=0 (2)x2-2x-=0例2。求解以下方程(1)2x 2 1=3x(2)3x 2-6x 4=0(3)(1x)2 2(1x)-4=0例3验证代数表达式-3 y2 8y-6总是小于0，而不考虑：的y值例4:方程用公式法求解：ax2 bx c=0(a0)练习：1。选择题1.得到了二次三项式x2-4x 1的公式。A.(x-2)2 3 b .(x-2)2-3 c .(x 2)2 3d .(x 2)2-32.已知x2-8x 15=0，左侧被转换成包含x的完整正方形，其中正确的一个是()。3.如果mx2 (3-2m) x 3m-2=0 (m 0)的左侧是完全平坦的，则m等于()。a . 1b-1c . 1或9d。-1或94.求解方程2x2-x-2=0的公式法应转换为()。A.(x-)2=b .(x-)2=0(x-)2=d .(x-)2=在下面的等式中，必须有一个实数解()。a . x2 1=0 b .(2x 1)2=0 c .(2x 1)2 3=0d .(x-a)2=a6.给定x2 y2 z2-2x 4y-6z 14=0，x y z的值为()。a1 b . 2c-1d-2第二，填空1.方程x2 4x-5=0的解是_ _ _ _ _ _。2.如果代数表达式的值为0，则x的值为_ _ _ _ _ _。3.如果16(x-y)2 40(x-y) 25=0，则x和y之间的关系为_ _ _ _ _ _ _ _。4.假设(x y)(x y 2)-8=0，求x y的值。如果x y=z，原始方程可以变成_ _ _ _ _ _，所以z的值就是x y的值，所以x y的值就是_ _ _ _ _ _。三。综合改善1.用公式法解方程。(1)9y2-18y-4=0 (2)x2 3=2x2.已知：x24x2-6y13=0，获得的值。3.已知三角形的两条边的长度分别为2和4，第三条边是方程x2-4x 3=0的解。找出三角形的周长。4.如果x2-4x26y13=0，找到(xy) z的值。5.验证：无论X和Y取任何实数，多项式x2 y2-2x-4y 16的值总是正的(3)公式法从上面的例子4可以看出，一元二次方程ax2 bx c=0(a0)的根由方程的系数a、b和c决定。因此：(1)当求解一个含有一个变量的二次方程时，该方程可以首先转换成ax2 bx c=0的一般形式。当b2-4ac0时，将A、B和C代入公式x=得到方程的根。(公式中的运算恰好包括所学的六中运算，包括加法、减法、乘法、除法、乘法和平方根，体现了公式的统一性和和谐性。)(2)这个公式叫做一元二次方程的根公式。(3)用根公式求解二次方程的方法称为公式法。对公式的理解(4)根据根公式，一元二次方程至多有两个实根。A.x2-8x(-4)2=31 b . x2-8x(-4)2=1 c . x2 8x 42=1d . x2-4x 4=-11例1。下面的方程用公式法求解。(1)2x 2-x-1=0(2)x2 1.5=-3x(3)x2-x=0例2。一个数学兴趣小组提出了以下关于方程(m 1) (m-2)x-1=0的问题。如果方程是二次方程，m存在吗？如果是这样，找到m并解这个方程。用公式法求解一元二次方程的步骤：1)将给定的方程转化为一般形式，注意移位项的符号变化，并试着让a0。2)找出系数a、b、c，注意每个项目的系数都包括符号。3)计算b2-4ac。如果结果是否定的，这个方程就没有解。4)如果结果为非负，将其代入根公式计算结果。练习：1。选择题1.方程4x2-12x=3用公式法求解得到()。A.x=B.x=C.x=D.x=2.方程x2 4x 6=0的根是()。a1=，x2=B.x1