高等数学公式大全

【张小向高数宝典】 【上篇：公式大全】 【中篇：典型题赏析】 【下篇：高数秘籍】 双面打印/复印，节约纸张 版本号: .2011.6 272365083 1 高等数学宝典（上篇）公式大全 （含微分方程、复变函数） 高等数学宝典（上篇）公式大全 （含微分方程、复变函数） 一. 初等数学 一. 初等数学 1. 三角函数 (1) 相互联系 , 1cossin 22 =+xx ,sec1tan 22 xx=+ .csc1cot 22 xx=+ , 1cscsin=xx , 1seccos=xx . 1cottan=xx ,tan cos sin x x x = .cot sin cos x x x = 奇变偶不变, 符号看象限: = = =+ ? ? , 3 , 1 , 0 )( , 4 , 2 , 0 )( ) 2 ( ncof nf n f 其中“”号由角) 2 (+ n 所处的象限确定. (2) 和角公式 ,sincoscossin)sin(=,sinsincoscos)cos(= . tantan1 tantan )tan( = (3) 积化和差 ),sin()sin( 2 1 cossin+= ),cos()cos( 2 1 coscos+= ).cos()cos( 2 1 sinsin+= (4) 和差化积 , 2 cos 2 sin2sinsin + =+ , 2 sin 2 cos2sinsin + = , 2 cos 2 cos2coscos + =+ . 2 sin 2 sin2coscos + = (5) 降幂公式 , 2 2cos1 sin2 = . 2 2cos1 cos2 + = (6) 半角公式 1 cos sin 22 = , 1cos cos 22 + = , 1 cos1 cossin tan 21cossin1 cos = = + , 1 cos1cossin cot 21 cossin1 cos + = = . 2. 复数 (1) 代数表示 z = a+bi (2) 三角表示 z = r(cos +i sin), 其中 r = |a + bi| = 22 ab+, a = rcos, b = rsin. (3) 指数表示 a + bi = rei (欧拉公式: ei = cos +i sin ). 3. 一些常见的曲线 (1) 圆 222 ayx=+的参数方程为 = = ,sin ,cos ay ax 极坐标方程为 = a (0, 2) ); 【张小向高数宝典】 【上篇：公式大全】 【中篇：典型题赏析】 【下篇：高数秘籍】 双面打印/复印，节约纸张 版本号: .2011.6 272365083 2 (2) 圆 222 )(aayx=+的参数方程为 += = ,sin ,cos taay tax (t0, 2) ) 极坐标方程为 = 2asin (0, ) ) ; (3) 圆 222 )(ayax=+的参数方程为 = += ,sin ,cos tay taax (t0, 2) )极坐标方程为 = 2acos ) 2 , 2 ( ; (4) 圆 222 )(ayax=+的参数方程为 = += ,sin ,cos tay taax (t0, 2) ) 极坐标方程为 = -2acos ) ) 2 3 , 2 ( ; (5) 圆 222 )(aayx=+的参数方程为 += = ,sin ,cos taay tax (t0, 2) ) 极坐标方程为 = -2asin (, 2) ); (6) 椭圆1 2 2 2 2 =+ b y a x 的参数方程为 = = ,sin ,cos tby tax (t0, 2) ); (7) 空间螺线 = = = , ,sin ,cos btz tay tax (tR); (8) 笛卡儿叶线 x3+y3=3axy 的参数方程为 + = + = 3 2 3 1 3 1 3 t at y t at x ; (9) 星形线 x2/3+y2/3=a2/3的参数方程为 = = 3 3 sin cos ay ax ; (10) 摆线(圆滚线) 2 2)1arcsin(yay a y ax= 的参数方程为 = = )cos1 ( )sin( tay ttax ; 【张小向高数宝典】 【上篇：公式大全】 【中篇：典型题赏析】 【下篇：高数秘籍】 双面打印/复印，节约纸张 版本号: .2011.6 272365083 3 (11) 心形线)( 2222 xyxayx+=+ 的极坐标方程为 = a(1-cos); (12) 心形线)( 2222 xyxayx+=+ 的极坐标方程为 = a(1+cos); (13) 双纽线(x2+y2)2=a2(x2-y2) 的极坐标方程为2 = a2cos2 ; (14) 双纽线(x2+y2)2=2a2xy 的极坐标方程为2 = a2sin2 ; (15) 阿基米德螺线 x y ayxarctan 22 =+ 的极坐标方程为 = a (16) 不经过原点的直线 ax + by + c = 0 (a2 + b2 0) acos + bsin + c = 0 . sincos ba c + = 例如: x = a (a 0) ); 2 , 2 ( cos = a x = a (a 0) );, 0( sin = a y = a (a 0) ). 4 3 , 4 ( sincos + = a 二. 极限 二. 极限 1. |q| = 0)内满足下列条件: (1) , 0)(lim)(lim 00 = + xgxf xxxx (2) f, g 在(x0, x0+)内可导, 且, 0)( x g (3) A xg xf xx = + )( )( lim 0 (A 为有限数或). 则. )( )( lim )( )( lim 00 A xg xf xg xf xxxx = = + 设函数 f(x)在区间(x0, x0+)(0)内满足下列条件: (1) ,)(lim)(lim 00 = + xgxf xxxx (2) f, g 在(x0, x0+)内可导, 且, 0)( x g (3) A xg xf xx = + )( )( lim 0 (A 为有限数或). 则. )( )( lim )( )( lim 00 A xg xf xg xf xxxx = = + 不可用洛必达法则的情形. (1) 2 1 lim 1 + + x x x , (2) x xx x sin lim + , (3) xx xx x ee ee + + lim. 事实上, 2 1 lim 1 + + x x x = 3 2 , x xx x sin lim + =) sin 1 (lim x x x + =1, xx xx x ee ee + + lim= x x x e e 2 2 1 1 lim + + =1. 14. 带皮亚诺余项的泰勒公式 设函数 f(x)在 x0处 n 阶可导, 则 f(x)= k n k k xx k xf )( ! )( 0 0 0 )( = + o(x-x0)n). 15. 几个初等函数的麦克劳林公式 (1) ex=1+x+ 2 1 x2+ 6 1 x3+ ! 1 n xn + o(xn). (2) sinx = x- ! 3 1 x3+ ! 5 1 x5-+(-1)n )!12( 1 +n x2n+1 + o(x2n+1). (3) cosx = 1- !2 1 x2+ !4 1 x4-+(-1)n )!2( 1 n x2n + o(x2n). (4) ln(1+x) = x- 2 1 x2+ 3 1 x3-+(-1)n-1 n 1 xn + o(xn). (5) )1 (x+= n x n n xx ! ) 1() 1( ! 2 ) 1( 1 2 + + + ? ?+ o(xn). (6) sin2x = 2 2cos1x =() + n n n x n xxx 2 242 )2(o )!2( )2( ) 1( ! 4 )2( ! 2 )2( 1 2 1 2 1 ? 【张小向高数宝典】 【上篇：公式大全】 【中篇：典型题赏析】 【下篇：高数秘籍】 双面打印/复印，节约纸张 版本号: .2011.6 272365083 7 =)(o !)!12( ! 2 ) 1( 3 22 1 1 4 2nn n n xx nn x x+ + + ?. (7) cos2x =1- sin2x = 1-)(o !)!12( ! 2 ) 1( 3 22 14 2nn n n xx nn x x+ + ?. 16. 带拉格朗日余项的泰勒公式 设函数 )( , )( n ba Cxf, 且 )1( ),( )( + n ba Cxf, 则, 0 baxx, 有 f(x)= k n k k xx k xf )( ! )( 0 0 0 )( = + 1 0 )1( )( )!1( )( + + + n n xx n f , 其中介于 x 与 x0之间. 17. 几个初等函数的带拉格朗日余项的麦克劳林公式 (1) ex=1+x+ 2 1 x2+ 6 1 x3+ ! 1 n xn + 1 )!1( + + n x x n e (xR, 01). (2) sinx = x- ! 3 1 x3+ ! 5 1 x5-+(-1)n-1 )!12( 1 n x2n-1 + 12 )!12( cos ) 1( + + nn x n x (xR, 01). (3) cosx = 1- ! 2 1 x2+ ! 4 1 x4-+(-1)n )!2( 1 n x2n + 221 )!22( cos ) 1( + + nn x n x (xR, 01). (4) ln(1+x) = x- 2 1 x2+ 3 1 x3-+(-1)n-1 n 1 xn + )1( 1 )1)(1( ) 1( + + + n nn xn x (xR, 01). (5) )1 (x+= n x n n xx ! ) 1() 1( ! 2 ) 1( 1 2 + + + ? ? + 11 )1 ( )!1( )() 1( + + + nn xx n n ? (xR, 0 0, t (0, /2). 令 x = atant, 则 22 xa+= asecx, dx = a sec2xdt, 其中 a 0, t (0, /2). 7. 分部积分法 (1) 不定积分的分部积分法 u(x)dv(x) = u(x)v(x) - v(x)du(x) (2) 分部积分法中 u(x), v(x)的常见选取方法 P(x)sinxdx = -P(x)d(cosx), P(x)cosxdx = P(x)d(sinx). P(x)exdx = P(x)d(ex). P(x) lnxdx = lnxd(P(x)dx). eaxcos(bx)dx = a 1 cos(bx)d(eax) = b 1 eax d(sin(bx), eaxsin(bx)dx = a 1 sin(bx)d(eax) = b 1 eax d(cos(bx). (3) 定积分的分部积分法 b a xxvxud)()( = b a xvxu)(d)(. )(d)()()( = b a b a xuxvxvxu 8. 平面曲线的弧长 (1) 在直角坐标系中: y = f(x), xa, b, 其中,C)( )1( ,ba xf取 ds =,)d()d( 22 yx+ 则s-ds = o(x) (x0), 于是.d)(1 2 += b a xys (2) 参数方程 = = )( )( ty tx t, , 其中,C)(),( )1( , tt 【张小向高数宝典】 【上篇：公式大全】 【中篇：典型题赏析】 【下篇：高数秘籍】 双面打印/复印，节约纸张 版本号: .2011.6 272365083 10 ds = 22 )d()d(yx+ 22 ( )( ) d ,ttt=+于是.d)( )( 22 += ttts (3) 极坐标系中: = (), , , 则 = = sin)( cos)( y x , .d)()( 22 += s 9. 空间曲线的弧长 设空间曲线 L 的参数方程为 ( ) ( ) ( ) xx t yy t zz t = = = t, , 其中 (1) , ( ), ( ), ( )C,x ty tz t 则 ds = 222 (d )(d )(d )xyz+ 222 ( )( )( ) d ,x ty ty tt=+ 于是 L 的长度为 222 ( )( )( ) d .sx ty ty tt =+ 10. 平面图形的面积 (1) 直角坐标系中 y = f(x) 与 y = g(x)以及 x = a, x = b 所围成的图形的面积(其中 f(x) g(x) .d)()( = b a xxgxfA x = (y) 与 x = (y)以及 y = c, y = d 所围成的图形的面积(其中(y) (y) .d)()( = d c yyyA (2) 极坐标系中 = a, , , ,d)( 2 1 d 2 =A .d)( 2 1 2 = A 11. 空间立体的体积 (1) 平行截面面积 A(x)已知的立体(a x b): dV = A(x)dx, .d)( = b a xxAV (2) 旋转体的体积 y = f(x) (xa, b)绕 x 轴旋转一周(其中 f(x)0), A(x) = f 2(x), 故.d)( 2 = b a xxfV x = g(y) (yc, d)绕 y 轴旋转一周(其中 g(y)0), A(y) = g2(y), 故.d)( 2 = d c yygV 五. 微分方程 五. 微分方程 1. 一阶可分离变量的微分方程: ),()( d d ygxf x y =其中 f(x), g(y)连续. )()( d d ygxf x y =xxf yg y d)( )( d = =xxf yg y d)( )( d .)()(CxFyG+= (其中 g(y)0, , )( 1 )( yg yG= F (x) = f(x), C 为任意常数) 2. 一阶线性微分方程: ),()( d d xqyxp x y =+其中 p(x), q(x)连续. (1) 对于, 0)( d d =+yxp x y 分离变量得:,d)( d xxp y y = = xxp Cey d)( ( C 为任意常数). (2) 对于),()( d d xqyxp x y =+ = xxp exCy d)( )(得.d)( d)(d)( Cxexqey xxpxxp + = 3. 可经变量代换化为已知类型的几类一阶微分方程 (1) 齐次方程: ),( d d yxf x y = 其中 f(tx, ty) = f(x, y), . 0t 【张小向高数宝典】 【上篇：公式大全】 【中篇：典型题赏析】 【下篇：高数秘籍】 双面打印/复印，节约纸张 版本号: .2011.6 272365083 11 将原方程化为),( d d x y x y = 令 x y u=得,uxy= 从而, d d d d x u xu x y +=代入原方程并整理得,)( d d uu x u x= 分离变量, 得, d )( d x x uu u = 两边积分, 以 x y 代替 u. (2) 伯努里方程: ,)()( d d yxqyxp x y =+其中. 1, 0 两边同除以 y得),()( d d 1 xqyxp x y y=+ 令, 1 = yz 则, d d )1 ( d d x y y x z = 原方程化为),()1 ()()1 ( d d xqzxp x z =+ 解上述关于 z 的一阶线性非齐次微分方程, 以 1 y代替 z. 4. 可降阶的高阶微分方程 (1) )( )( xfy n =型 (2) 不显含未知函数 y 的方程:).,(yxfy= 令, zy = 则).,( d d zxf x z = 若解之得),( 1 Cxz= 则.d),( 21 +=CxCxy (3) 不显含自变量 x 的方程: ).,(yyfy= 改取 y 为自变量, 令),(yzyz= 则. d d d d d d d d y z z x y y z x z y= 于是原方程化为).,( d d zyf y z z= 这是关于 z(y)的一阶微分方程, 若解之得: ),( 1 Cyz= 即),( d d 1 Cy x y = = 则. ),( d 2 1 +=C Cy y x 5. 设 a1(x), a2(x) f (x) CI, 则xI 及任给的初始条件 y(x0) = y0, y (x0) = y1, 初值问题 = =+ ,)(,)( ),()()( 1000 21 yxyyxy xfyxayxay 存在定义于区间 I 上的唯一解 y = y(x). 6. 设 y1(x), y2(x)是线性齐次方程 y + a1(x)y + a2(x) y = 0 的两个解, 12 12 ( )( ) ( ) ( )( ) y xyx W x y xyx = , 则 (1) y1(x), y2(x)在区间 I 上线性相关 x0I 使它们的 Wronski 行列式 W(x0) = 0. (2) y1(x), y2(x)在区间 I 上线性无关xI, 它们的 Wronski 行列式 W(x) 0. 7. 线性齐次方程 y + a1(x)y + a2(x) y = 0 必存在两个线性无关的解. 8. 设 y1(x), y2(x)是线性齐次方程 y + a1(x)y + a2(x) y = 0 的两个线性无关的解, 则该线性齐次方程的解集 S 是 y1(x), y2(x)生成的一个二维线性空间 112212 |,.yc yc yc c=+为任意常数 9. 设 y*(x)是二阶线性非齐次方程 y + a1(x)y + a2(x) y = f(x) 【张小向高数宝典】 【上篇：公式大全】 【中篇：典型题赏析】 【下篇：高数秘籍】 双面打印/复印，节约纸张 版本号: .2011.6 272365083 12 的一个特解, y1(x), y2(x)是对应的齐次方程 y + a1(x)y + a2(x) y = 0 的两个线性无关的解, 则 y = c1y1(x) + c2y2(x) + y*(x)为非齐次方程的通解. 10. 设)( * xyi是方程 y + a1(x)y + a2(x) y = fi(x) (i = 1, 2, , n)的特解, 则)()( * 1 xyxy n +?是方程 y + a1(x)y + a2(x) y = f1(x) + + fn(x)的特解. 11. 二阶线性常系数齐次方程的解法 (1) 特征方程 ar2+br+c = 0 有两个相异实根 r1, r2, 则通解. 21 21 xrxr ececy+= (2) 特征方程有两个相等实根 r1 = r2 = r, 则通解.)( 21 rx exccy+= (3) 特征方程有一对共轭复根 r = i, 则通解).sincos( 21 xcxcey x += 12. 二阶线性常系数非齐次方程的解法 (1) 待定系数法求 ay+by+cy = f(x) (a0, b, c 为常数)的特解. f(x) = Pn(x)e x. 若不是 ar2+br+c = 0 的根, 则令 y* = (b0 xn +b1xn-1 + bn-1x + bn)e x. 若是 ar2+br+c =0 的单根, 则令 y* = x(b0 xn +b1xn-1 + bn-1x + bn)e x. 若是 ar2+br+c =0 的重根, 则令 y* = x2(b0 xn +b1xn-1 + bn-1x + bn)e x. 再代入原方程, 通过比较系数确定 b0, b1, , bn. f(x) = Pn(x)e xcosx 或 f(x) = Pn(x)e xsinx. 先求 ay+by+cy = Pn(x)e xcosx + isinx = Pn(x)e(+i)x的特解 Y*. 则原方程的特解互取为 = = = xexPxfY xexPxfY y x n x n sin)()( *,Im cos)()( *,Re * (2) 常数变易法 13. n 阶 Euler 方程: a0 xny(n) + a1x n-1y(n-1) + an-1xy + any = f(x) (其中 a0, a1, , an为常数). 14. 二阶 Euler 方程的解法. 令 x = et, 则 ax2y + bxy + cy = f(x)化为).( d d )( d d 2 2 t efcy t y ab t y a=+ 这是一个线性常系数微分方程, 求出其通解后将 t 换为 lnx 即得原方程的解. 六. 多元函数微分学 六. 多元函数微分学 1. 偏导数定义 00 (,)xy z x = zx(x0, y0) = fx(x0, y0) = x yxfyxxf x + ),(),( lim 0000 0 . 00 (,)xy z y = zy(x0, y0) = fy(x0, y0) = y yxfyyxf y + ),(),( lim 0000 0 . ),()( 2 2 2 2 yxf x f x z x z x xx = = = ),()( 22 yxf yx f yx z x z y xy = = = ),()( 22 yxf xy f xy z y z x yx = = = ),()( 2 2 2 2 yxf y f y z y z y yy = = = 2. 可微的必要条件: 若函数 f(x, y)在点 M0(x0, y0)处可微, 则 f(x, y)在点 M0(x0, y0)处连续; f(x, y)在点 M0(x0, y0)处存在偏导数, 且.d),(d),(d 0000 ),( 00 yyxfxyxfz yx yx += 【张小向高数宝典】 【上篇：公式大全】 【中篇：典型题赏析】 【下篇：高数秘籍】 双面打印/复印，节约纸张 版本号: .2011.6 272365083 13 3. 全微分的运算法则 df(x, y) g(x, y) = df(x, y) dg(x, y); df(x, y)g(x, y) = g(x, y)df(x, y) + f(x, y)dg(x, y); ),( ),(d),(),(d),( ),( ),( d 2 yxg yxgyxfyxfyxg yxg yxf = (g(x, y) 0). 4. 方向导数 (1) z = f(x, y)在点 M0(x0, y0)处沿着向量 l 的方向导数 00 (,)xy z lt yxftytxf t ),()cos,cos( lim 0000 0 + , 其中向量 l 的方向余弦为 cos, cos. (2) 若函数 f(x, y)在点 M0(x0, y0)处可微, 则 f(x, y)在点 M0(x0, y0)处沿任一方向 l 的方向导数都存在, 且有 .cos),(cos),( 0000 ),( 00 yxfyxf z yx yx += l 5. 梯度 grad f(x0, y0)j.),(i ),( 0000 yxfyxf yx += 6. 复合函数微分法 (1) 设函数 u = (x), v = (x)在点 x 处可导, 而 z = f(u, v)在对应的点(u, v)处可微, 则复合函数 z = f(x), (x)在点处可导, 且 x v v z x u u z x z d d d d d d + = dd grad,. dd uv z xx = (2) 设函数 u = (x, y), v = (x, y)在点(x, y)处可偏导, 而 z = f(u, v)在对应的点(u, v)处可微, 则复合函数 z = f(x, y), (x, y)在点(x, y)处存在偏导数, 且 x v v z x u u z x z + = ,grad x v x u z = y v v z y u u z y z + = ,grad y v y u z = 7. 隐函数微分法 (1) 设二元函数 F(x, y)满足下列条件: Fx(x, y), Fy(x, y)在点(x0, y0)的某邻域内连续. F(x0, y0) = 0, Fy(x0, y0) 0. 则存在点 x0的一个邻域 N(x0, )以及在 N(x0, )内定义的唯一的函数 y = y(x)满足: (i) y0 = y(x0), F(x, y(x) 0, xN(x0, ). (ii) 在 N(x0, )中, 函数 y = y(x)有连续的导数, 且. y x F F y= (2) 设 n +1 元函数 F(x1, x2, , xn, y)满足下列条件: ),( 21 yxxxF nxi ?(i = 1, 2, , n), Fy(x1, x2, , xn, y)在点 M0的某邻域内连续. F(M0, y0) = 0, Fy(M0, y0) 0. 则存在点 M0的一个邻域 N(M0, )以及在 N(M0, )内定义的唯一的一个 n 元函数 y = y(x1, x2, , xn)满足: (i) y0 = y(M0), 且 F(x1, x2, , xn, y(x1, x2, , xn) 0, ( x1, x2, , xn)N(M0, ). (ii) y = y(x1, x2, , xn)在 N(M0, )中有一阶连续偏导数, 且 y x i F F x y i = (i = 1, 2, , n). (3) 设三元函数 F(x, y, z), G(x, y, z)满足下列条件: Fx, Fy, Fz, Gx, Gy, Gz在点 M0(x0, y0, z0)的某邻域内连续. 【张小向高数宝典】 【上篇：公式大全】 【中篇：典型题赏析】 【下篇：高数秘籍】 双面打印/复印，节约纸张 版本号: .2011.6 272365083 14 F(x0, y0, z0) = 0, G(x0, y0, z0) = 0, . 0 0 M zy zy GG FF 则存在点 x0的一个邻域 N(x0, )以及在 N(x0, )内定义的唯一的一组函数 = = )( )( xzz xyy 满足: (i) y0 = y(x0), z0 = z(x0), 且 0)(),(,( 0)(),(,( xzxyxF xzxyxF xN(x0, ). (ii) y = y(x), z = z(x)在 N(x0, )中均有连续的导数, 且, ),( ),( ),( ),( d d zy GF xz GF x y = , ),( ),( ),( ),( d d zy GF yx GF x z = 其中, ),( ),( xz xz GG FF xz GF = , ),( ),( zy zy GG FF zy GF = . ),( ),( yx yx GG FF yx GF = 8. 切线方程与法平面方程 (1) 设曲线的参数方程为 ( ), ( ), ( ), xx t yy t zz t = = = M0, M 的坐标分别为(x(t0), y(t0), z(t0), 则切线方程为 )()()( 0 0 0 0 0 0 tz zz ty yy tx xx = = 故切向量为 a = x(t0), y(t0), z(t0), 法平面的方程为 x(t0)(x-x0) + y(t0) (y-y0) + z(t0)(z-z0) = 0. (2) 设曲线的方程为 = = ),( ),( xzz xyy 则点)(),(,( 0000 xzxyxM处的切线方程为 )( )( )( )( 1 0 0 0 00 xz xzz xy xyyxx = = 法平面方程为: (x-x0) + y(x0) (y-y(x0) + z(t0)(z-z(x0) = 0. (3) 设曲线的方程为 = = , 0),( , 0),( zyxG zyxF 它确定 = = ),( ),( xzz xyy 则点 M0处的切线方程为: 000 ),( ),( ),( ),( ),( ),( 000 MMM yx GF zz xz GF yy zy GF xx = = 法平面方程为: . 0)( ),( ),( )( ),( ),( )( ),( ),( 000 000 = + + zz yx GF yy xz GF xx zy GF MMM 9. 切平面方程与法线方程 (1) : F(x, y, z) = 0 在点 M0(x0, y0, z0)处的切平面方程为 , 0)()()( 000000 =+zzMFyyMFxxMF zyx 法线方程为 . )()()( 0 0 0 0 0 0 MF zz MF yy MF xx zyx = = (2) : z = f(x, y)在点 M0(x0, y0, z0)处的切平面方程为 , 0)()(,()(,( 0000000 =+zzyyyxfxxyxf yx 【张小向高数宝典】 【上篇：公式大全】 【中篇：典型题赏析】 【下篇：高数秘籍】 双面打印/复印，节约纸张 版本号: .2011.6 272365083 15 法线方程为 . 1),(),( 0 00 0 00 0 = = zz yxf yy yxf xx yx 10. 多元函数的 Taylor 公式 设二元函数 f(x, y)在点 M0(x0, y0)的某邻域 N(M0)内有 n+1 阶连续偏导数. 则 M(x0+x, y0+y)N(M0), 有 ),( 00 yyxxf+),()(),( 0000 yxf y y x xyxf + +=?+ + +),()( ! 2 1 00 2 yxf y y x x ),()( ! 1 00 yxf y y x x n n + + ),()( )!1( 1 00 1 yyxxf y y x x n n + + + + + 其中 0 1. 上式称为二元函数 f(x, y)在点 M0处带有 Lagrange 型余项的 n 阶 Taylor 公式. 特殊情形 (1) 中值公式 ),( 00 yyxxf+yyyxxfxyyxxfyxf yx +=),(),(),( 000000 其中 0 1. (2) 一阶 Taylor 公式 ),( 00 yyxxf+),()(),( 0000 yxf y y x xyxf + += ),()( 2 1 00 2 yyxxf y y x x+ + + 0 ,),( 00 M y x f f yxyxf += + y x MHyx f )(, 2 1 * 其中 M*(x0+x, y0+y), 0 1, Hf (M)为 f 在点 M(x, y)处的 Hessian 矩阵. yyxy xyxx ff ff (3) Maclaurin 公式 f(x, y) = f(0, 0) = + + n k k f y y x x k 1 )0, 0()( ! 1 ),()( )!1( 1 1 yxf y y x x n n + + + + , 其中 0 1)时, i2ln n m kz n m ez + =取 k = 0, 1, 2, ., n1 时的 n 个值. 特别地当 n 1 =时, z即为 z 的 n 次方根. 对应于 Lnz 的各个单值分支, z的各个分支在除原点及负实轴外的其他点处解析, 且其导数为z1. (4) 三角函数: ),( i 2 1 sin iizz eez =)( 2