裂项相消与放缩法解数列专题

数列特辑3一、裂项加法裂项法的本质是分解数列各项(通项)，重新组合，使若干项可以删除，最终达到合计的目的通项分解(裂项)，通项为分数结构，分母为二项乘法，模型为：或等差数列。一般裂缝的形式如下：灬灬特别是：二、用收缩法证明数列中的不等式通过适当地扩大或缩小不等式一方来完成证词主题的方法叫做放缩法。1 .常见的数列不等式多与求数列的总和乘积有关，其基本结构形式有以下4种(常数)； ； (常数)缩放目标模型和(乘积)等差模型、等比模型、裂项抵消模型2 .几种常见的收缩方法(一)增加或截断若干项目；(二)放大(或缩小)分子或分母；人(程度大)(程度小)、或者平方型：立方结构：指数型：、利用基本不等式，如下所示(1)通过缩小目标模型，可以求出等比数列或等差数列例如，(1)寻求证据：(二)寻求证据：(三)寻求证据：总结：压缩法证明了与数列总和有关的不等式，如果可以直接总和的话，首先总和后压缩不能直接总和的话，一般必须在缩小通项后进行总和问题是，将通项缩小为合计可能“不大”的必须是什么样的呢？ 实际上，可合计的常见数列模型不多，主要有等差模型、等比模型、偏差减法模型、裂项抵消模型等。 在实际问题中，等比模型和裂项抵消模型很多(1)先加总再缩小例1 .各项目均为正数数列an的最初的n项和Sn时，满足4Sn=an 12-4n-1，nN*，且a2、a5、a14构成等比数列.(一)证明：(2)求数列an的通项式(3)证明：对于所有正整数n都有(2)先缩小再加/寻求证据。例如函数，求证：例2 .如果将数列an的前n项之和设为Sn，则a1、a 2、a3为等差数列(1)求a 1的值(2)求数列an的通项式(3)证明：对于所有正整数n都有总结：一般证明，形状和形状的数列利用指数函数的单调性缩小为等比模型。练习：1 .如果数列满足，(1)求数列的通项式(二)寻求证据：当时，试研：当时有吗？ 说明理由(3)形象例如，假设。 寻求证据根据已证实不等式的结构特征，选择所需不等式、不等式关系注：请注意掌握收缩的“度”。 上述不等式的右边使用平均不等式，收缩的话就会错过“度”。总结：形式上的数列不等式证明：将和作为数列和的前项和，如果利用不等式的同向加法性这一基本性质，则为了证明不等式，如果视为数列的前项和，则证明满足该通项即可(2)缩小目标模型可求积压缩法证明了求数列乘积的关系不等式，方法与上述总和类似，但压缩的是可求乘积的模型，可求乘积的常见数列模型是(分数型)，求乘积几乎简单姊妹不等式：和记忆口诀：“小者小，大者大”，(说明：小者不等号小，相反)。/寻求证据。/寻求证据。总结：形式的数列不等式证明：将和作为数列和的前项积，如果利用不等式的“正的同向性”这一基本性质，为了证明不等式，如果视为数列的前项积，则只要满足其通项即可例3 .已知的数列不满足(1)求证：等差数列，是求得的通项(2)证明：是(2)增加或截断若干正项(或负项)多项式加上正值的话，多项式的值会变大，多项式加上负值的话，多项式的值会变小。 由于需要证明不等式，有时需要截断、添加一些项目，扩大、缩小不等式，利用不等式的传递性来达到证明的目的。例如，已知，寻求证据：例4 .已知数列的各项为正数，其前n项和(I )求间关系式，求得的通项式；(II )寻求证据例5 .已知数列：满足：记(I )求证：数列为等比数列；(II )如果任意的常数成立，则求出t的可取得的范围(III )证明：(三)固定一些项目，缩小其他项目例6 .将数列an的最初的n项和设为Sn，设为已知的a1=1，nN*。(1)求a 2的值(2)求数列an的通项式(3)证明：对于所有正整数n都有练习：如果设置为2，则的整数部分为()A.17 B.18 C.19 D.203 .众所周知，各项是正数的数列，与其前n项和(I )求数列通项；(II )寻求证据：数列特辑3一、裂项加法裂项法的本质是分解数列各项(通项)，重新组合，使若干项可以删除，最终达到合计的目的通项分解(裂项)，通项为分数结构，分母为二项乘法，模型为：或等差数列。一般裂缝的形式如下：灬灬特别是：二、用收缩法证明数列中的不等式通过适当地扩大或缩小不等式一方来完成证词主题的方法叫做放缩法。1 .常见的数列不等式多与求数列的总和乘积有关，其基本结构形式有以下4种(常数)； ； (常数)缩放目标模型和(乘积)等差模型、等比模型、裂项抵消模型2 .几种常见的收缩方法(一)增加或截断若干项目；(二)放大(或缩小)分子或分母；人(程度大)(程度小)、或者平方型：立方结构：指数型：、利用基本不等式，如下所示(1)通过缩小目标模型，可以求出等比数列或等差数列例如，(1)寻求证据：分析：不等式的左边可以用等比数列的前项和式求和。分析：左=表面是证明数列的不等式，实质上是数列的总和。(二)寻求证据：分析：左边不能直接合计。 首先要压缩通项再加总，把通项压缩成等比数列。分析： 222222222222卡卡卡卡卡653(三)寻求证据：分析：请注意将通项限定为偏移的减法模型。分析： 222222222222卡卡卡卡卡653总结：压缩法证明了与数列总和有关的不等式，如果可以直接总和的话，首先总和后压缩不能直接总和的话，一般必须在缩小通项后进行总和问题是，将通项缩小为合计可能“不大”的必须是什么样的呢？ 实际上，可合计的常见数列模型不多，主要有等差模型、等比模型、偏差减法模型、裂项抵消模型等。 在实际问题中，等比模型和裂项抵消模型很多(1)先加总再缩小例1 .各项目均为正数数列an的最初的n项和Sn时，满足4Sn=an 12-4n-1，nN*，且a2、a5、a14构成等比数列.(一)证明：(2)求数列an的通项式(3)证明：对于所有正整数n都有分析： (1)n=1时，4a1=a22-5， a2=a4a1 5.2铮铮铮铮653(2)n2时，4Sn-1=an2-4(n-1)-1、 4Sn=an 12-4n-1、从-开始，4an=4Sn-4Sn-1=an 12-an2-4、an 12=an2 4an 4=(an 2)2.铮铮铮铮铮铮当n2时，an是公差d=2等差数列求解a52=a2a14、(a2 6)2=a2(a2 24 )、a2=3.由(1)可知，4a1=a22-5=4、8756； a1=1.卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡653数列an的通项式为an=2n-1(3)=.总结： (3)左边用裂项相消法合计，先合计后收缩，表面为证明数列不等式，实质上为数列的合计。(2)先缩小再加/寻求证据。分析：左边不能合计。 先把通项作为裂项抵消模型，然后加总，留下第一项，从第二项开始收缩。分析：22221左当时，不等式也明显成立了例如函数，求证：分析：这个问题的不等式左边难以相加。 此时，根据不等式右边的特征，首先把分子变成常数，然后缩进分母就可以合计左边。 当变量同时存在分子或分母时，它们之一可以改变为常数，使得分子缩进为具有正值的分子或分母，并且如果需要放大分子或缩小分母，则可以缩小分子或扩大分母。例2 .如果将数列an的前n项之和设为Sn，则a1、a 2、a3为等差数列(1)求a 1的值(2)求数列an的通项式(3)证明：对于所有正整数n都有解： (1)在1)2sn=an1-2n1中，设为n=1:2S1=a2.22 1，设为n=2:2S2=a3.23 1解： a2=2a1 3，a3=6a1 13，另外2(a2 5)=a1 a3，解a1=1(2)2sn=an1-2n1、an 2=3an 1 2n 1、另外a1=1、a2=5也满足a2=3a1 21an 1=3an 2n对nN*成立，8756； an1n2n1=3(an2n )，另外a1=1，a1 21=3， an2n=3n， an=3n-2n；(3)分析： (3)左边不能直接合计，考虑缩小通项合计。 利用指数函数的单调性简并为等比模型。(法律2 ) an=3n-2 n=(3-2) (3n-1 n-223 n-3222 n-1 )3 n-1，222222222222222206532222222222222卡卡卡卡卡卡卡(法律3)1122222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡耶6n2时，累积增益：、22222222200000000总结：一般证明，形状和形状的数列利用指数函数的单调性缩小为等比模型。练习：1 .如果数列满足，(1)求数列的通项式(二)寻求证据：当时，试研：当时有吗？ 说明理由(3)形象例如，假设。 寻求证据根据已证实不等式的结构特征，选择所需不等式、不等式关系注：请注意掌握收缩的“度”。 上述不等式的右边使用平均不等式，收缩的话就会错过“度”。总结：形式上的数列不等式证明：将和作为数列和的前项和，如果利用不等式的同向加法性这一基本性质，则为了证明不等式，如果视为数列的前项和，则证明满足该通项即可(2)缩小目标模型可求积压缩法证明了求数列乘积的关系不等式，方法与上述总和类似，但压缩的是可求乘积的模型，可求乘积的常见数列模型是(分数型)，求乘积几乎简单姊妹不等式：和记忆口诀：“小者小，大者大”，(说明：小者不等号小，相反)。/寻求证据。/寻求证据。总结：形式的数列不等式证明：将和作为数列和的前项积，如果利用不等式的“正的同向性”这一基本性质，为了证明不等式，如果视为数列的前项积，则只要满足其通项即可例3 .已知的数列不满足(1)求证：等差数列，是求得的通项(2)证明：是(2)增加或截断若干正项(或负项)多项式加上正值的话，多项式的值会变大，多项式加上负值的话，多项式的值会变小。 由于需要证明不等式，有时需要截断、添加一些项目，扩大、缩小不等式，利用不等式的传递性来达到证明的目的。例如，已知，寻求证据：本问题在收缩时被截断，和式简化了。例4 .已知数列的各项为正数，其前n项和(I )求间关系式，求得的通项式；(II )寻求证据例5 .已知数列：满足：记(I )求证：数列为等比数列；(II )如果任意的常数成立，则求出t的可取得的范围(III )证明：解： (I )证明：由来二也就是说，然后数列是第一项，是公比的等比数列(ii )由(I )可知。所得到的容易得到的是相关的减法函数87岁()2220=获得证据(三)固定一些项目，缩小其他项目例6 .将数列an的最初的n项和设为Sn，设为已知的a1=1，nN*。(1)求a 2的值(2)求数列an的通项式(3)证明：对于所有正整数n都有解： (1)依据题意，2S1=a2-1-，另外S1=a1=1，因此，a2=4(2)在n2情况下，2Sn=nan 1-n3-n2-n，2 sn-1=(n-1 ) an-(n-1 )3- (n-1 )2- (n-1 )从2式中减去2 an=nan1- (n-1 ) an-(3n2-3n1)-(2n-1 )-(n1) an=nan1- n (n1)即，此外，故数列公差为1的等差数列为最初所以=1 (n-1)1=n .所以an=n2 .(