第三章-泛函分析优化模型

2013年4月,运筹与优化模型第三章泛函分析优化模型,第三章泛函分析优化模型,第1节泛函的极值问题（变分法）第2节最优价格模型第3节生产计划模型第4节设备检查模型,第1节：泛函的极值问题（变分法）,1、泛函的基本概念2、变分的基本概念3、欧拉方程,泛函的极值问题（变分法）,变分问题：求泛函极值的问题变分法：求泛函极值的方法变分法研究的对象：泛函泛函：函数概念的推广,一、泛函与变分,1、什么是泛函？,（1）、若x(t)=t,则,泛函与变分,（2）、若，则,（3）、若，则,泛函与变分,很显然，J的取值依赖于所指定的函数。与函数不同的是，自变量不再是一个数，而是一个函数。因而，这样的函数关系称为泛函。定义：如果对于某一类函数集合x(t)中的每一个函数x(t)，均有一个确定的数J与之对应，则称J为依赖于函数x(t)的的泛函，记作J=Jx(t),泛函与变分,函数是变量与变量之间的关系，泛函是变量与函数之间的关系，因此，泛函可以理解为“函数的函数”。自变量x(t)在定义区间连续可微，或者是连续分段可微函数。容许函数类。在经典控制中往往要求自变量是连续可微的。,例1最速降线问题,如图，一初始速度为零的质点，仅受到重力的作用，沿光滑固定的曲线由定点A滑行到定点B(B低于A，但不在同一铅直线上)为使滑行的时间最短，问该曲线应为什么形状？,通常人们会认为最速降线应该是连接A和B的直线段牛顿曾经作过这个实验：在铅直平面内，取同样的两球，其中一个沿着圆弧从A滑到B，另一个沿直线从A滑到B，结果发现沿圆弧的球先到达B点,2020/6/1,宁德师范高等专科学校,11,伯努利家族,贝努利（JacobBernoulli1654-1705），著名数学家。他自学了牛顿和莱布尼茨的微积分，并从1687年开始到他去世为止任瑞士巴塞尔大学数学教授。他发表了无穷级数的论文、研究过许多种特殊曲线、发明了极坐标、引入了在tan(x)函数的幂级数展开式中伯努利数。雅可布在学艺上发表了一系列重要的论文，微分方程中的“伯努利方程”就是雅可布提出的。1694年他首先给出直角坐标和极坐标的曲率半径公式。这也是系统地使用极坐标的开始。1690年他提出悬链线问题，后来雅可布又改变了问题的条件，解决复杂的悬链问题，1694年的论文讨论了双纽线的性质。“伯努利双纽线”由此得名。雅可布对于对数螺线有很深入的研究，他发现经过各种变换之后，结果还是对数螺线。,约翰.伯努利（JohannBernoulli1667-1748），雅可布的弟弟，原来也错选了职业，他起先学医，并在1694年获得巴塞尔大学博士学位，论文是关于肌肉收缩问题的。但他也爱上了微积分，很快就掌握了它，并用它来解决几何学、微分方程和力学上的许多问题。1695年他任荷兰戈罗宁根大学数学物理教授，而在他的哥哥雅可布死后继任巴塞尔大学教授。1696年约翰向全欧洲数学家挑战，提出一个很艰难的问题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、莱布尼茨和牛顿都得到了解答。,丹尼尔.伯努利（DanielBernoulli1700-1782），起初也像他父亲弟约翰.伯努利一样学医，写了一篇关于肺的作用的论文获得医学学位，并且也像他父亲一样马上放弃了医学而改攻他天生的专长。他在概率论、偏微分方程、物理和流体动力学上都有贡献。而最重要的功绩是在流体动力学上，其中的“伯努利定理”就是他的贡献。他曾经荣获法国科学院奖金次之多，其中就包括那项惹他父亲恼怒的奖。岁的丹尼尔在彼得堡解决了黎卡提方程的解。并发表了一系列的科学论著。年回到巴塞尔，先后担任巴塞尔大学的植物学、解剖学与物理学教授。以岁高龄离开人世，许多人认为他是第一位真正的数学物理学家。,返回,最速降线问题,据能量守恒原理，一质点在一高度处的速度(初始速度为零)，完全由其到达该高度处所损失的势能确定，而与所经过的路线无关设质点质量为m，重力加速度为g，质点从下滑到点时的速度为v，则,由弧微分可得,以s表示曲线从点A算起到p(x,y)的弧长，有,即,从而整个下降时间t就是的积分，即确定函数y(x)使,由变分法理论知(3-1-1)式满足下面的方程：,取极小值这是泛函中的极值问题令,(3-1-1),显然(3-1-2)式还要满足初始条件,将上式化简得,即,(3-1-2),只要解出(3-1-2)式，并代入初始条件就知道了最速降线究竟是什么样的曲线.,无法直接用DSolve解出，用换元法令，再由可解出(另一个解舍去，为什么？)，所以，然后积分得到，即得到一个参数解.,2泛函的核,泛函通常以积分形式出现，比如上面描述的最速降线落径问题的表达式更为一般而又典型的泛函定义为,其中,称为泛函的核,称为泛函的核,称为泛函的核,3求泛函极值方法变分法,对于不同的自变量函数,，与此相应的泛函,也有不同的数值找出一个确定的自变量函数,，使泛函,具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大值统称为泛函的极值,引入泛函的概念后，对于上述的最速降线落径问题变,为泛函,的极小值问题物理学中常见的有光学,中的费马(Fermat)原理，分析力学中的哈密顿(Hamiton)原理等，都是泛函的极值问题,定义3变分法所谓的变分法就是求泛函极值的方法,研究泛函极值问题的方法可以归为两类：一类叫直接法，,即直接分析所提出的问题；另一类叫间接法，即把问题转化为求解微分方程为讨论间接方法，先介绍变分和泛函的变分,变分,定义4：变分,如果我们将泛函取极值时的函数（或函数曲线）定义为,并定义与函数曲线,邻近的曲线（或略为变形的,曲线）作为比较曲线，记为,其中,是一个小参数；,是一个具有二阶导数的任意,选定函数，规定,它在一个小范围内变化，这限制主要保证泛,函在极值处连续在研究泛函极值时，通常将,固定，,而令,变化，这样规定的好处在于：建立了由参数,到泛函,值之间的对应关系，因此泛函,就成为了参数,的普通函数原来泛函的极值问题就成为,普通函数对,的求极值的问题同时，函数曲线,的变分定义为,(3.1.3),因此可得,(3.1.4),这里,代表对,求一阶导数,所以,(3.1.5),即变分和微分可以交换次序,泛函的变分,定义4泛函的变分泛函的增量变分问题,泛函的变分定义为,(3.1.6),在极值曲线,附近，泛函,的增量，定义为,(3.1.7),依照上述约定，当,时，泛函增量,的线性,主要部分定义为泛函的变分，记为,(3.1.8),在求一元或多元函数的极值时，微分起了很大的作用；同样在研究泛函极值问题时，变分起着类似微分的作用因此，通常称泛函极值问题为变分问题；称求泛函极值的方法为变分法,例3计算泛函的变分,【解】,注意：最后一步利用了一般在边界上函数变分为零的事实，即,二、泛函的极值,泛函的极值问题，一般来说是比较复杂的因为它与泛函包含的自变量个数，未知函数的个数以及函数导数的阶数等相关另外，在求泛函极值时，有的还要加约束条件，且约束条件的类型也有不同，等等下面我们首先讨论泛函的极值的必要条件,泛函的极值的必要条件欧拉拉格朗日方程,设,的极值问题有解,（3.1.9）,现在推导这个解所满足的常微分方程，这是用间接法研究泛函极值问题的重要一环设想这个解有变分,则,可视为参数,的函数,而当,时，,对应于式(17.2.1),即为,取极值于是原来的泛函极值,问题，就化为一个求普通函数,的极值问题由函数,取极值的必要条件，有,即有,（3.1.10）,1.泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式,泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式，,即（1）,若考虑两端固定边界的泛函问题：积分是在区域内通过两点,的任意曲线进行的，其中,泛函中,为,由于两端固定，所以要求,，即,由(17.1.8)，有,（3.1.11）,式(3.1.11)的积分号下既有,，又有,，对第二项,应用分部积分法可使积分号下出现,(3.1.12),根据（3.1.10）,所以,再根据,（3.1.12）故有,（3.1.13）,因为,并且,是任意的，所以,(3.1.14),上式(3.1.14)称为欧拉（Euler）拉格朗日（Lagrange）方程，简称为E-L方程,此即泛函取极值的必要条件即泛函,的极值函数,必须是满足泛函的变分,的函数类,因此，,把泛函的极值问题称为变分问题,注明：E-L方程是泛函取极值的必要条件，而不是充分条件如果讨论充分条件，则要计算二阶变分，并考虑其正、负值,但对于实际问题中，当泛函具有明确的物理涵义，极值的存在性往往间接地在问题的提法中就可以肯定，所以极值的存在性是不成问题的，只要解出E-L方程，就可以得到泛函的极值,E-L方程除了上面给出的形式(3.1.14)之外，另外还有四种特殊情况：,(1),不显含,且,因为,若,E-L方程等价于,（3.1.15）,(2),不依赖于,且,则E-L方程化为,（3.1.16）,(3),不依赖于,且,则E-L方程化为,（3.1.17）,由此可见,仅为,的函数,(4),关于,是线性的：,则E-L方程化为,（3.1.18）,对于含有一个自变量，多个变量函数，以及有较高阶变量函数导数的泛函，类似上面的推导可得如下结论：,2.泛函表示为多个函数的积分形式,则与此泛函极值问题相应的E-L方程为,（3.1.19）,3.泛函的积分形式中含有高阶导数,与此泛函极值问题相应的E-L方程为,（3.1.20）,4.泛函的积分形式中含有多元函数,设,为,的二元函数，则,与此泛函极值问题相应的E-L方程为,（3.1.21）,例17.2.1试求解最速降线落径问题，即变分问题,【解】目前，我们只能用间接方法来求解，由于,不显含,，故其E-L方程为（3.1.15）,令,，故有,令,，分离变量得到,再令,，代入上式得到,即得到,此即为摆线的参数方程，积分常数可由初始位置,（图17.1的A,B两点）决定,4泛函的条件极值问题,在许多泛函的极值问题中，变量函数还受到一些附加条件的限制，其中最常见和重要的一种是以积分形式表示的限制条件,（3.1.22）,即所谓的等周问题：,(3.1.23),（注：这种问题之所以称为等周问题，是因为在历史上起源于求一条通过两点，长度固定为l的曲线,使面积,取极大值）,其中,为常数此类问题可以仿照普通函数的,条件极值问题的拉格朗日乘子法即将附加条件(4.1.22)乘以,参数，求其变分后，加到泛函取极值的必要条件中得到,于是问题转化为不带条件的由上式所表示的变分问题,其对应的E-L方程为,这是通过,和,两点的,之下使泛函取极值的必要条件它实际上是一个关于,在附加条件（3.1.22）,的二阶常微分方程其通解中含有三个参数，即,和两个积分,常数它们可由条件,（3.1.22）来确定.,和附加条件,例5求,的极值，其中,是归一化的，即,，且已知,【解】本题是求泛函的条件极值问题，可化为变分问题,对应的E-L方程为,其通解为,代入附加条件,得到,代入归一化条件得到,于是得到,，故原极值问题的解为,而题中要求的泛函,的极值为,当,时，极值函数,使得泛函数取得最小值,例6求泛函,在条件,下的极值曲线.,【解】此时,则偏导数,.对应的Euler方程为,其通解为,代入边界条件可得,所以极值曲线为,三、泛函极值问题的典型应用,泛函极值问题的求解,通常有两种结果：,（i）解析解,由变分法得到的E-L方程求解，一般来说，是很困难的但在分析力学中往往还是采用这一办法来求解因为历史悠久，它自有一套办法,（ii）近似解,所谓近似解即由泛函本身出发，而不需求解E-L方程，直接求得所需要的解极值曲线,因此，常常称它为研究泛函极值问题的直接法,下面我们以一个典型的实例来描述泛函的极值问题在数学物理问题中的应用.,例7假设大气的光折射率,只依赖于高度,（1）利用费马（Fermat）原理导出在大气中光线轨迹的微分方程；,（2）设有一与水平成角度,的方向上抛出的球，如果,，其中,被抛出多远？,为常数，试求此球,【解】（1）根据费马原理：光线的实际路径上，光程的变分为零,（3.1.23）,其中,为介质中的光折射率，,元上述问题也可表示为如下泛函极值问题：,为沿光线进行方向的路程,（3.1.24）,由于,不显含,，根据公式(4.1.15)，可得首,次积分,（3.1.25）,其中,为常数，若,为路径的切线和铅垂线所构成,的角度，即,（3.1.26）,若如果折射率,是位置的连续函数，这意味着,沿着路径是一常数若应用到分界面上，,就得到光学中的折射定律（Snellslaw）,（3.1.27）,在大气中光线轨迹的微分方程，由公式(4.1.25)得到,（3.1.28）,(2)由题中条件和图3.1.2，定义球的轨迹的最高高度为,，即,图3.1.,设球抛出的距离为,，由公式（17.3.6）得到,（3.1.30）,故利用公式（17.3.5），有,解得,（3.1.29）,第2节最优价格模型,如果一个公司经理有权制定他工厂的产品在市场上的销售价格，那么他最关心的一件事情就是怎样制定使公司利润最大的所谓最优价格。应该看到，并不是把销售价格定得越高公司的获利越大，根据实际情况，有一个最优价格问题。这一节中，我们将讨论供销平衡情况下的最优价格。所谓供销平衡是指工厂产品的产量等于市场上商品的销售量。,利润=销售收入与生产成本之差设每件商品的售价为p成本为q销售量（也是产量）为Q销售收入和生产成本分别为R=pQ,C=qQ在市场竟争的情况下，销售量Q自然取决于价格p,记为Q=f(p)f称为需求函数，它当然是p的降函数。这样，当q是常数时，收入R和成本C都是p的函数，利润U可以表示为U()=R()C()=()f(p),显然，使利润U()达到最大值的最优价格*可由(3.2.1)得到，即有(3.2.2)在数量经济学中，dR/dp称为边际收入，它是价格变动一个单位时，收入的改变量；dC/dp称为边际成本，它是价格变动一个单位时成本的改变量。结论：最优经济效益在边际收入等于边际成本时达到-经济学中一条著名定律。,下面分三种情况，对最优价格做进一步的分析。1.假设在整个供销过程中，q不变，需求函数为f(p)=abp（a,b0）(3.2.3)试制定一个不变的最优价格。将（2.1.3）代入（2.1.1）式，得U(p)=(pq)(abp)(3.2.4)容易得到最优价格为p*=(3.2.5),为了分析（3.2.5）中p*的内在含义，需要了解a,b的含义。由(3.2.3)式，a可以解释为“绝对”需求量,即这种产品免费供应时社会的需求量。并且b=|dQ/dp|表示价格上涨一个单位时，销售量的下降，它反映市场需求对价格的敏感程度。在实际工作中，a,b可由统计数据用最小二乘法拟合得到。(3.2.5)式表明，最优价格由两部分组成，一是成本q的一半，另一部分与“绝对”需求量成正比，与市场对价格的敏感系数成反比。,2.在时间为T的销售过程中，q不变，单位时间的需求函数仍用(3.2.3)式表示，要求总销售量为Q。试制订最优价格函数p(t)。这种情况下的利润为(3.2.6)并且要满足(3.2.7)问题归结为在(4.2.7)式约束下求泛函U(pt)的极值。,利用lagrange乘子法化为无条件极值问题，做泛函J(p(t)=(3.2.8)注意到积分中不出现p(t),其Euler方程为(3.2.9)解得(3.2.10)(3.2.10)式表明，最优价格仍为常数。为了确定参数，代入(3.2.7)式：解出后，代入(3.2.10)式可得(0tT)(3.2.11),将(3.2.11)与(3.2.5)式相比较可知，最优价格与a,b的关系是类似的，但是在有销售时间T和总售量Q的限制时，最优价格与成本q无关,它应随着T的增加而提高，随着Q的增加而降低。还应该指出，为使(3.2.11)中的p0，必须aTQ，这是显然成立的，因为aT是时间T内的“绝对”销售量。,3.假设需求函数与总销售量仍用(3.2.3)和(3.2.7)式表示。同时由于销售过程中存储费、变质损失费等因素的影响，成本q不再是常数，它的相对增长率是(0),即设(3.2.12)如果则可以解出(3.2.13),为了求解这种情况下的最优价格函数p(t)，只须将(4.2.13)式中的q(t)代替(3.2.9)式中的q，得(3.2.14)将(3.2.14)式代入(3.2.7)式确定后，可得(3.2.15)为了更清楚地看出(3.2.15)式表示的关系，当1时利用近似式，(3.2.15)式可表示为(3.2.16),结果表明，由于成本q(t)随时间不断变化，最优价格p(t)也应不断上涨。在实际工作中，可用阶梯函数近似代替(3.2.16)式中的线性函数。,第3节生产计划模型,考虑这样一种实际问题，工厂与客户签订了一项在时间T内提交Q件产品的合同，由于产品含易腐物质，存储量和存储费必须考虑。试制订生产计划（产量与时间的函数），使总费用（生产费用和存储费用）最小。要解决这个问题，必须知道生产费存储费与产量的关系，为此必须提出合理的假使，这里，我们不妨先考虑一个具有普遍意义的模型，然后再看看需要做哪些假设。,记开始生产的时刻是t=0,到时刻t为止的产量是x(t),于是时刻t的生产率（单位时间的产量）是x(t),通常的情况是，（单位时间的）生产费取决于生产率，记作f(x(t),而（单位时间的）存储费取决于产量，记作g(x(t)。所以时间T内的总费用应由生产计划x(t)决定，记作c(x(t)=(331)其中，x(t)应满足x(0)=0,x(T)=Q(332)问题归结为在固定端点条件(332)下，求(331)式定义的泛函c(x(t)的极值问题，可以用变分法求解。,为了得到函数f和g的具体形式，做如下假设：1)单位时间内每增产一件产品所需的成本与这时的生产率成正比，这适合于生产已经饱和、生产率很高的情况。2)存储费与存储量（即到t为止的产量）成正比。由假设1),若记生产率为r=,则r,于是f(r)r2,记作f(t)=k1(333)由假设2),又有g(x(t)=k2x(t)(3.3.4)这里，k1、k2均为比例系数。将(333)和(334)代入(331)式可得,会议主题名称,c(x(t)=(335)(335)和(332)两式确定的泛函极值问题的解可以由Euler方程(336)给出。以F=k1+k2x(t)代入(156)式可得(337)二阶常系数微分方程(337)的通解是（338)其中，c1、c2由端点条件(3.3.2)确定：c2=0（339）,所以泛函极值问题的解为(3310)x(t)是使总费用最小的生产计划。x(t)的图形是抛物线，因为由(337)式可知,所以随着参数k1、k2、Q、T的不同，(3310)的函数x(t)可能有图3.3.1所示的两种曲线形式。但是对于x(t)有明显的附加条件：x(t)0(3311)只有第一种形式的曲线才符合(3311)的要求。,图3.3.1,不难看出，条件(3311)等价于,由(339)式有(3312)则仅当(3312）式成立时，(3310)式确定的x(t)才是满足(3311)式的最优解。为了对最优解做出解释，考察与(3310)式等价的(337)式。(337)式可以写成(3313)其中，是单位时间增产一件产品的生产费，k2是每件产品单位时间的存储费，在经济理论中，前者称为边际生产费（边际成本），后者称为边际存储费。(3313)式表明，使边际成本的改变率等于边际存储费的生产计划是最优的。,第4节设备检查模型,在工厂的车间里应及时检查各种设备的完好情况。检查的周期太长，故障不能及时发现，给生产带来损失；但检查周期太短，又会增加检查费用。设备出现故障的概率是随机的，其规律可由统计数据或理论分析得到。问题是如何安排设备检查方案，使到发现故障为止时的总费用（损失费与检查费）的期望值最小。一般来讲，检查周期s不一定是常数，而应该根据故障出现时刻的概率分布，在故障容易出现的时候多检查几次，所以我们可设检查周期是时间t的函数s(t)，或者，单位时间的检查次数n(t)=1/s(t)。为了把检查费和损失费表示成n(t)的函数，做以下的假设：,1)每次检查费为c0。因