复变函数与积分变换----第八章----复旦大学出版社

拉普拉斯变换,第八章,8.1拉普拉斯变换定义,定义8.1设函数f(t)当时有定义，而且积分在复数s的某一个区域内收敛，则由此积分所确定的函数记为F(s)=Lf(s)=.称为函数的f(t)的拉普拉斯变换式，F(s)称为f(t)的拉普拉斯变换(或称为象函数).,若F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，则称f(t)为F(s)的拉普拉斯逆变换(或称为原象函数)，记作f(t)=L-1F(t).,例8.1求阶跃函数u(t)=的拉普拉斯变换.,解：,Lu(s)=,例8.2求函数f(t)=eat的拉普拉斯变换，其中a是复常数.,解：当Re(s)Re(a)时，,Lf(s)=,即是Leatu(t)(s)=,Re(s)Re(a),例8.3求函数tn的拉普拉斯变换，其中n是正整数.,解：Ltn(s)=,用分部积分法，得,所以有Ltn=n/s(Ltn-1).,当n=1时Lt(s)=,当n=2时，有Lt2(s)=,Ltn(s)=,定理8.1若函数f(t)满足下列条件：1)在t0的任意有限区间上分段连续；2)存在常数M0与00，使得即是当t时，函数f(t)的增长速度不超过某一个指数函数，0称为函数f(t)的增长指数.则函数f(t)的拉普拉斯变换在半平面Re(s)0上存在，右端的积分在闭区域Re(s)0上绝对收敛且一致收敛，并且在半平面Re(s)0内，F(s)为解析函数.,证明：设=Re(s),，则由条件2)有,所以,在Re(s)上存在.,右端积分在Re(s)上也是绝对且一致收敛.,积分与微分的次序可以交换，于是有,由拉普拉斯变换的定义，得,所以，在上可导.,由的任意性，知在上存在，且为解析函数.定理得证.,例8.4求正弦函数sinkt的拉普拉斯变换，其中k为实数.,解：当时，有,余弦函数coskt的拉普拉斯变换,例8.5求函数的拉普拉斯变换，其中为实数.,解：当时，f(t)不满足定理8.1的条件，因为当时t0，但函数f(t)的拉普拉斯变换在是存在且解析的.,当时，有,在上，函数存在.,同理，由故存在，即是在内，函数F(s)解析.,当时，函数满足定理8.1的条件，因此F(t)的拉普拉斯变换在是存在且解析.,当s为实数，且s0时，有,由于F(s)和在半平面上均为解析函数，而且在正实轴上相等，因此，由解析函数的唯一性定理知道，在区域上处处相等，即是,例8.6求周期为2a的函数的拉普拉斯变换.,解：由拉普拉斯变换的定义，有,令，则有,根据函数的定义，有,所以，,记.当时，有,因此有,故有,单位脉冲函数(t)的拉普拉斯变换,例8.7求单位脉冲函数(t)的拉普拉斯变换.,解：,8.2拉普拉斯变换的性质,定理8.2对函数的拉普拉斯变换有下列性质成立.1.（线性性质）设，为常数，记，则有或有2.（延迟性质）若，则对，有或有3.（位移性质）记.对常数s0，若，则有,证明：性质1说明函数的线性组合的拉普拉斯变换等于各函数的拉普拉斯变换的线性组合.,证明性质2,当t0时，上式左端第二个积分的极限为零，即,故有,例8.19求函数的拉普拉斯逆变换.,解：函数F(s)有两个单极点和,所以，当t0时，有,例8.21求函数的拉普拉斯逆变换.,解：由拉普拉斯逆变换公式，有,由拉普拉斯变换的位移性质，有,所以,因此,8.4拉普拉斯变换的应用,例8.23求初值问题在区间上的解.,解：记.在第一式两边取拉普拉斯变换，得,解代数方程，有,其中,求拉普拉斯逆变换，得,应用拉普拉斯变换求常系数线性微分方程问题的主要步骤有：1.对方程两边取拉普拉斯变换，利用初值条件得到关于像函数F(s)的代数方程；2.求解关于F(s)的代数方程，得到F(s)的表达式；3.对F(s)的表达式取拉普拉斯逆变换，求出f(t)，得微分方程的解.,例8.24求方程组满足初始条件的