初三复习专题课件--全等三角形

全等三角形,一:考纲要求与命题趋势,1. 理解并掌握五种识别三角形全等的方法，会灵活的正确选择适当的识别方法判断两个三角形是否全等。2. 正确运用全等三角形的性质计算三角形中未知的边或角，逐步培养逻辑推理能力和形象思维能力。3. 全等三角形的应用是学习几何证明题的基础，所以它自然是中考必考知识点，同学们务必学好它。,二:知识要点：1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。,2.全等三角形的识别方法.全等三角形的识别方法（一）：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简称为（边边边或SSS）.全等三角形的识别方法（二）：如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简称为（边角边或SAS ）,全等三角形的识别方法（三）：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简称为（角边角或ASA ）由ASA结合三角形内角和定理得全等三角形的识别方法（四）：如果两个三角形有两个角和其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简称为（角角边或AAS),两个直角三角形全等识别方法：如果两个直角三角形有一条斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等，简称为（斜边，直角边或HL ）,3.全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。,三:典型例题例1. 判断：都有两边长分别为3cm和5cm的两个等腰三角形全等。分析：以3cm为腰或以5cm为腰画两个等腰三角形。解：错，因为等腰三角形可能以3cm为腰，5cm为底，也可能以5cm为腰，3cm为底。说明：本例可使同学们逐步了解数学的分类思想，对待每一问题不能片面考虑，要完全、周密考虑。,例2：如图，已知线段AB、CD相交于点O，AD、CB的延长线交于点E，OAOC，EAEC，请说明 AC。,分析：欲证明A C，有三条思路，一是证明AOD与COB全等，而由已知条件不可直接得到，二是连结OE，说明AOE与COE全等，这条路显而易得， AC，三是证明 ABE与CDE全等，这也是不能直接证明到的，所以应采用第二条思路。,解：连结OE，在AOE和COE中，AOECOE（SSS）AC（全等三角形的对应角相等）,误点剖析若直接采纳分析中的第一条或第三条思路那就麻烦了，因此，同学们在分析解题时，要全面深刻的考虑，从而选择较妥当的方法，顺利得到问题的答案。说明：在解决几何问题的过程中，有时根据条件不能较顺利的得到结论，这时添加必要的辅助线是十分重要的捷径。,例3.P是线段AB上一点，APC与BPD都是等边三角形，请你判断：AD与BC相等吗？试说明理由。分析：观察图形发现它们所在的三角形全等，故考虑通过全等来说明。,解：由APC和BPD都是等边三角形可知APPC，BPDP，APCBPD60，所以APCCPDBPDCPD，即APDBPC，所以APDCPB。（SAS)，所以ADBC误点剖析实际上，PBC可看作是PDA绕着P点按顺时针方向旋转60得到，由对应点连线段相等，就有ADBC。,说明：此题图中APC和BPD不在同一直线上，结论仍然成立，这是一个基本图形，许多题目都是在它基础上派生出来的。,例4.如图，已知， 在ABC中，BE、CF分别是AC、AB边上的高，在BE上截取BMAC，在CF延长线上取CNAB，试问线段AM、AN有怎样特殊的关系？并说明理由。分析：直观地看数量上AMAN，位置上AMAN，无论说明线段相等还是垂直，往往都要通过全等解决。,解：由BE、CF是高可知AFCAEB90，在ABE和ACF中，BAC是公共角，根据三角形内角和等于180，可得12，再由BMAC，ABCN，又可得ABMNCA，所以AMAN，N3，而N490，所以3490，即NAM90，所以ANAM。,误点部析：本例同学们常会漏掉AMAN这样的关系，往往在遇到探索两线段之间的关系问题中，同学们总会误认为只可能存在一种关系，因为平时无论是计算题或是说明题大多数只有一个结论，由于定势思维的影响，同学们也就常出现漏掉一些解的情况，这就需要同学们加强对这类问题的探索、思考，逐步养成全面解剖问题的习惯。,说明：有公共角成对顶角的直角三角形隐含着说明三角形全等的角相等条件，比如：本题中设BE、CF相交于O，则BFO和CEO就隐含着12的结论，要善于识别，由于观察不够，所以这类全等是学习的难点。,例5. 如图，侦察员为了测量河宽，站在岸边某处，并使擦帽舌而过的视线恰好落在河对岸A处，然后保持身体姿势不变，转过身体，这时，擦舌帽而过的视线落在河对岸这边B处，只要量出他站立的地方到点B处的距离，就知道河的宽度了，试说明其中的道理。,分析：在测量过程中，侦察员的身体姿势不变，则有CD不变，DCADCB90，视角CDBCDA，则可运用（ASA）证明BCDACD，从而得到BCCA。,解：设侦察员站立处为点C，眼睛在点D处，由题意知，在ADC与BDC中，ADCBDC，又因为CDCD，ACDBCD90，由（ASA）全等识别法，可知ACDBCD，所以BCAC。即侦察员站立处到点B的距离就是河的宽度。,误点剖析：解本题必须从实际测量出发，不能全凭图示，而误认为这是平面图形，因而出现许多不理解的问题，比如：误认为河的宽度是否应该为AB或CDAD，误认为CD这条线段大河面上等。,说明：本题中的图示，应从立体角度来看，图中的CD表示侦察员，因而CDBC，因为人是垂直于地面站立的，河的宽度是C点与对岸A点之间的距离，本例可激发同学们运用数学解决实际问题的兴趣，从而逐步培养同学们的形象思维能力。,例6. 已知：如图，BD、CE分别是ABC中AC、AB边上的高，且BDCE，试说明：ABAC。分析：要说明ABAC，可说明AB、AC所在三角形全等。,解：因为BD、CE是高，所以ADBAEC90，又AA，BDCE，由（AAS）全等识别法，可知ABDACE，从而ABAC。误点剖析：直角三角形全等既可以用“HL”识别法，也可用一般三角形全等识别法，应根据题意选用恰当的识别方法，而不是只局限于“HL”。,说明：本例若用（HL）来说明，也很简单，由于BDCE，BCBC，所以RtBCERtCBD，所以EBCDCB，从而得到ABAC。,例7.如图所示，EF90，BC，AEAF，给出下列结论：12；BECF；ACNABM；CDDN，其中正确的结论是_（注：将你认为正确的结论都填上）。,分析由已知条件易得ABEACF，进而可得前3个结论。解：正确的结论是,误点剖析：由已知条件可得一次全等，又为二次全等提供条件，从而得出很多结论，不要有遗漏。,说明：本例从形式上看起来是一道很简单的选择题，但实质上是一条全等三角形的判别与性质的综合题，因此，同学们在做这类题时，千万要谨慎，不能受题目表面所蒙骗，要看清问题的实质。,例8.已知：如图 ，等腰直角三角形ABC中，ACB90，直线经过点C，AD，BE，垂足分别为D、E。（1）试说明ACDCBE；（2）如图直线经过ACB内部，结论 是否仍然成立？,分析（1）由ABC是等腰直角三角形可得ACBC，ACB90，结合AD，BE可得13，于是进一步可得ACDCBE，（2）图变而条件不变，观察ACD和CBE仍具备条件判断全等。,解：（ 1）因为ABC是等腰直角三角形，所以ACBC且ACB90，所以1290，由BE得2390，所以13，在ACD和BCE中，ADCBEC90，所以ACDCBE。（A.A.S.）,（2）由ACB是等腰直角三角形可知ACB90，即1290，ACBC，而由BE得2CBE90，所以1CBE，于是ACDCBE（AAS）,误点剖析：图看上去较复杂，但只要针对问题的要求，把观察点置于ACD和CBE中，然后研究它们的边与角之间的关系，就不致于混乱而感到复杂。说明：有些题目条件不变，只是图形运动变化，结论往往仍然成立，解决大同小异，要善于抓住规律。,例9.如图，等边ABC的边长为a，在BC的延长线上取点D，使CDb，在BA的延长线上取点E，使AEa+b，证明ECED。,B,A,C,D,E,分析：欲证明ECED，在原图中只有说明到ECDEDC才可得ECED，而利用原图这是不可能得到的，因此需适当作辅助线构造全等三角形，延长BD到F，使DFBCa，连结EF，则有BFBE2ab，而B60，可得EBF是等边三角形，再由EBCEFD得到ECED。,解：延长BD到F，使DFBCa，连结EF，AEab，CDb，又ABC是等边三角形，ABBCa， B60BEBF2ab BEF是等边三角形F60，EFBE2ab,在EBC和EFD中， EBCEFD（SAS）ECED,误点剖析：本题若不添加辅助线就无法说明ECED，因为图中既无相似三角形，也无全等三角形且不可能有ECDEDC，而同学们从前章遇到的辅助线只是连结某条线段或作垂线等较简单的辅助线，因此，有些同学用常规方法作EGCD于G，设法说明ECGEDG，这也不可能得到。,说明：本例难点在辅助线添加这一步，在形内添加还达不到目的，需在形外添加，结合已知条件构造全等三角形，请同学们要理解本题添加辅助线的目的。,例10.如图，已知：在ABC中，AD平分BAC，ABBDAC，求BC的值。分析：由图形猜想到BC21，设法利用条件“ABBDAC”来解决，故可采取截长法或补短法。,B,D,C,A,1,2,解法一：在AC上截取AEAB，连结DE，因为AD平分BAC，所以12，在ABD和AED中，所以ABDAED（SAS），由于全等三角形对应边相等、对应角相等，所以B3且BDDE，又根据ABBDAC和图示AECEAC得DECE，所以4C，所以32C，即B2C。,解法二：如图，延长AB到E，使BEBD，连结DE，由ABBDAC得ABBEAC即AEAC，由AD平分BAC知12，在AED和ACD中，,所以AEDACD（SAS）根据全等三角形对应边相等、对应角相等得EC，又因为3 2E，所以32C即B2C,说明：有角平分线的条件，以角平分线为轴，采取截长法或补短法构造全等三角形实现边、角的转移是常用方法。,例11.已知如图，在ABC中，ABAC，延长AB至D，使BDAB，E为AB的中点，试说明CD2CE。分析：延长CE到F，使EFCE，连结AF，再证明ACFBDC，便可得CDCF2CE。,A,B,C,D,E,F,解：延长CE到F，使EFCE，连结AF，E为AB中点，AEEB，在AEF和BEC中，AEFBEC（SAS）AFBC，FABABC，AFBC，,FACACB180ABCDBC180，ACAB，ACBABCFACDBC，ABBD，ABACACBD，在CAF和DBC中，,CAFDBC（SAS）CFCDCF2CECD2CE误点剖析：若辅助线改为延长CE到F，使EFCE，连结BF，然后证明CEBCDB，从而CDCF2CE，这样的辅助线显然也可得到结论成立。,这是因为四边形CAFB是平行四边形，有ACFBFC的缘故，但若取DC中点G，连结BG（如图），说明CBG CBE也可以得到结论成立，但必须用到九年级下册的知识中位线性质，因此，利用眼前的知识同学们还是不用取CD中点的方法来说明较妥，否则，需先证明BDGADC，得到才可运用全等知识进行证明。,G,说明：一般情况下，若遇中线条件，又需添加辅助线可证明的问题，常运用延长中线加倍的方法进行研究、分析。,A,B,C,D,E,F,例12.已知ABC（如图），BC30，请设计三种不同的分法，将ABC分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形，请画出分割的线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数或记号），并在各种分法的空格线上填空。,（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法。,分析（1）作ADBC于D，作AEAC交BC于E，作EFAB于F，则AEFBEF，RtAEDRtCAD。分法一：分割后所得的四个三角形中，_ _ ,Rt _ Rt _.解：方法一如图（1）图（1）中，AEFBEF，RtADERtCDA。,（1）,分析（2）作ABC的平分线交AC于D，在BC上截取BEBA，连结DE，作DFBC于F，则ABDEBD，RtDEFRtCDF.分法二：分割后所得的四个三角形中，_ _ ,Rt _ Rt _.解：分法二如图（2）中ABDEBD，RtEDFRtDCF.,分析(3)作ADAC于A交BC于D，过D点作EDBC于D交AB于E，作EFAD于F，则A