物理第十三章振动

第13章振动 机械振动机械振动: 物体围绕一固定位置往复运动物体围绕一固定位置往复运动. 其运动形式有直线、其运动形式有直线、 平面和空间振动平面和空间振动. 广义振动广义振动:任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化. 任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化. 振动分类振动分类: 振动振动 受迫振动 自由振动 受迫振动 自由振动 阻尼自由振动 无阻尼自由振动 阻尼自由振动 无阻尼自由振动 无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由谐振动无阻尼自由谐振动 (简谐振动简谐振动) 任一物理量在某一定值附近往复变化均称为任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动振动. . 振动是一种普遍的运动形式振动是一种普遍的运动形式. 简谐运动简谐运动最简单、最基本的振动.最简单、最基本的振动. 简谐运动简谐运动最简单、最基本的振动.最简单、最基本的振动. 简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动 合成合成 分解分解 本章主要讨论简谐振动和振动的合成。本章主要讨论简谐振动和振动的合成。 内容：内容：1.简谐振动动力学1.简谐振动动力学 2.简谐振动运动学2.简谐振动运动学 3.简谐振动的能量3.简谐振动的能量 4.简谐振动的合成4.简谐振动的合成 *5.阻尼振动 受迫振动 共振*5.阻尼振动 受迫振动 共振 重点：重点：简谐振动的证明、特征量、运动方程、合成简谐振动的证明、特征量、运动方程、合成 13.1 简谐振动动力学13.1 简谐振动动力学 弹簧振子弹簧振子 ma= 0 d d 2 2 2 =+x t x m k = 2 令令 xa 2 = x x F ? m o 1. 动力学方程动力学方程 受力受力 (简谐振动的判据简谐振动的判据) m k = 固有圆频率固有圆频率 其决定于振子的劲其决定于振子的劲 度系数度系数(k)与质量与质量(m) Fkx= 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程 1.结构特征1.结构特征 3.动力学方程3.动力学方程 动力学方程动力学方程 固有圆频率固有圆频率其决定于单摆其决定于单摆 的固有性质的固有性质 作小幅振动时为简谐作小幅振动时为简谐 振动振动(摆角为振动量摆角为振动量) l m G=mg T 0 sinG 不变形轻绳(质量不计)，球可视为质点不变形轻绳(质量不计)，球可视为质点 阻力不计阻力不计(自由振动自由振动) 0 5sin 2.受力特点2.受力特点 准线性恢复力准线性恢复力 = -mg 0 l g dt d 2 2 =+ l g 切向受力切向受力 小角度单摆：小角度单摆： sinmg= 规定逆时针为正方向规定逆时针为正方向 mg t ma= dt dv m= 2 2 0 d mlmg dt += 0 2 2 2 =+ dt d 令令 2 2 d ml dt = 例例131 一立方体木块浮于静水中，质量为一立方体木块浮于静水中，质量为m。若把 木块完全压入水中，然后放手任其运动，在不计水对 木块的粘滞阻力时，求证木块的运动是简谐振动。 。若把 木块完全压入水中，然后放手任其运动，在不计水对 木块的粘滞阻力时，求证木块的运动是简谐振动。 a b x 0 xb x 0 x mg 浮力 F mamgFF= 浮力合力 mamggxbS= 水 )( mggSb= 水 平衡位置， 2 2 dt xd mgxS= 水 0 2 2 2 =+x dt xd )( 2 m gS 水 = 木块的运动是简谐振动木块的运动是简谐振动. cos()xAt=+ 2. 运动学方程运动学方程 0 d d 2 2 2 =+x t x 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程 其通解为：其通解为： 简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程 A、 由初始条件所决定由初始条件所决定 cos()sin() 2 tt +=+=+ 2 = + 令令 sin()xAt = =+ + d sin() d x At t = +v 2 2 2 d cos() d x aAt t = + cos()xAt=+ 简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程 谐振的速度与加速度谐振的速度与加速度 (1).速度速度 (2).加速度加速度 cos()xAt=+ sin()At= +v 2 cos()aAt= + o t T xa 2T v 43T 4T 0 1 = = cos()xAt=+ 2 =T周期周期 cos ()AtT=+ cos2 At 3. 描述简谐振动特征的物理量描述简谐振动特征的物理量 =+ 角频率角频率 描述谐振运动的快慢。仅 与振动系统 描述谐振运动的快慢。仅 与振动系统本身本身的物理性质有关。的物理性质有关。 2T= 频率频率 ：单位时间内振动的次数。：单位时间内振动的次数。 1）周期）周期、频率、圆频率频率、圆频率 周期周期T ：物体完成一次全振动所需时间。：物体完成一次全振动所需时间。 1 2T = 周期周期、频率、圆频率频率、圆频率 对弹簧振子对弹簧振子 1 2T = 2 2 T = k m T 2= = m k 2 1 = = m k = = 固有周期、固有频率、固有角频率固有周期、固有频率、固有角频率 2 T = 单摆单摆 g l T 2= = l g 2 1 = = l g = = max xA = 解得解得 2 2 02 0 v xA+=+= cos() sin() xAt dx vAt dt =+ =+ 0 0 cos sin xA vA = = 2）振幅2）振幅 A简谐振动物体离开平衡位置的最大位移 （或角位移）的绝对值。 简谐振动物体离开平衡位置的最大位移 （或角位移）的绝对值。 00 0,txx vv=若已知初始条件若已知初始条件 由初始条件和系统本身情况决定由初始条件和系统本身情况决定 3）相位和初相）相位和初相 相位相位，描述振动状态的物理量描述振动状态的物理量 t + + cos()xAt = =+ + sin() dx vAt dt = = += + 2 22 2 cos() d x aAtx dt = += = += 方向运动向处以速率质点在方向运动向处以速率质点在xvAx = =2 , 2 A x = = Av 2 3 = =例：例： 当当 3 t += 时：时： 当当 5 3 t+= 时：时： , 2 A x = = Av 2 3 = = 方向运动向处以速率质点在方向运动向处以速率质点在xvAx+ += =2 3）相位和初相）相位和初相 相位相位，描述振动状态的物理量描述振动状态的物理量 t + + cos()xAt = =+ + sin() dx vAt dt = = += + 2 22 2 cos() d x aAtx dt = += = += 是是 t =0 时刻的相位时刻的相位 初相初相 0 cosxA = = 0 sinvA = = 0 0 tan v x = = 由初始条件和系统本身情况决定由初始条件和系统本身情况决定 相位相位(1)(1) t + + 是是t t时刻的相位时刻的相位 (2)(2) 是是t t =0 时刻的相位=0 时刻的相位初相初相 (3)相位的意义:(3)相位的意义: ( )cos()=+x tA t cos()=+ 2 a At sin()= +vAt ?相位相位 t + 已知则振动状态确定已知则振动状态确定 ?相位改变2振动重复一次相位改变2振动重复一次 ?相位2范围内变化,状态不重复相位2范围内变化,状态不重复 t x O A -A = 2 )cos()(+=tAtxcos 0 Ax = )sin( +=tAvsin 0 A=v 2 2 0 2 0 v xA+=+= ) x v (tg 0 01 = 振幅与初相振幅与初相 决定于初态决定于初态 cossin由大小和的符号决定 0 0 cos sin x A v A = = t=0 t=0 0cosxA= 2 = 0 sin0A= =取取 0, 0, 0 0 v ? cos()xAt = =+ + sin() dx vAt dt = = += + 例例133 一弹簧振子竖直悬挂时，弹簧伸长一弹簧振子竖直悬挂时，弹簧伸长9.8cm。 现在使它在光滑水平面上做简谐振动。设当物体位 于 。 现在使它在光滑水平面上做简谐振动。设当物体位 于x轴正方向离开平衡位置轴正方向离开平衡位置4.0cm处时受到冲击力，使 物体以指向平衡位置的 处时受到冲击力，使 物体以指向平衡位置的30cm/s的速度开始做简谐振动。 试写出运动方程式。 的速度开始做简谐振动。 试写出运动方程式。 cos()xAt=+ klmg 竖直悬挂：竖直悬挂： =srad l g m k /10= scmvcmxt/30,0 . 40 00 = 时， m v xA05. 0 2 2 0 2 0 =+= 2056. 0)(arctg 0 0 0 = x v 解题思路解题思路: 已知：已知： k. m. h. 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 求：求： T, A, 0 m h m k 解：振动系统为（解：振动系统为（2m, k) , 2m k = = k m T 2 2 = = 以物块和平板开始共同运动时刻为以物块和平板开始共同运动时刻为t=0 以平衡位置为坐标原点以平衡位置为坐标原点，向下为正。，向下为正。 0 22mvghm= 0 2 0 = gh v m h m k 0= =t 0 v ? 0 x x o 完全非弹性碰撞：完全非弹性碰撞： +=+= mg kh x v arctg)(arctg 0 0 0 mg kh k mgv xA+=+=1 2 2 0 2 0 0 为三象限角为三象限角 0sin 0cos 00 00 = 0 =? m ? m ? x 0 x0 答：答： 3 = = 4. 旋转矢量法旋转矢量法 cos() sin() xAt vAt =+ =+ cos()xAt=+ 旋转 矢量的 端点在 轴上的投 影点的运 动为简谐 运动. 旋转 矢量的 端点在 轴上的投 影点的运 动为简谐 运动. x A ? 旋转矢量简谐振动 模振幅A 角速度角频率 旋转周期振动周期 t=0时， 与x轴的夹角初相 t时刻， 与x轴的夹角相位 在x轴上的投影位移 A ? A ? A ? t+ cos()xAt=+ 旋转矢量与简谐振动的对应关系：旋转矢量与简谐振动的对应关系：A ? （旋转矢量旋转一周所需的时间）（旋转矢量旋转一周所需的时间）2=T 用旋转矢量图画简谐运动的图用旋转矢量图画简谐运动的图tx 旋转矢量与旋转矢量与振动曲线振动曲线 t xx 旋转矢量法优点：旋转矢量法优点： 直观地表达谐振动的各特征量 便于解题,特别是确定初相 便于振动合成 直观地表达谐振动的各特征量 便于解题,特别是确定初相 便于振动合成 由由x.v 的符号确定所在的象限的符号确定所在的象限A ? 2 3 = = 0= = = = 2 = = 0 0 v x 0 0 v x 0 0 v x 0 0 + 21 AAA= 2）2）相位差相位差 1）1）相位差相位差 21 AAA+= 2 12 k=)10(? ， = =k 相互加强相互加强 相互削弱相互削弱 ) 12( 12 +=k)10(? ， = =k 1 1 A ? x o 2 A 二多个同方向同频率简谐运动的合成二多个同方向同频率简谐运动的合成 ? 2 3 A ? 3 cos()xAt=+ n xxxx+=? 21 ? )cos( 111 +=tAx )cos( 222 +=tAx )cos( nnn tAx+= A ? 多多个个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成仍为仍为简谐简谐运动运动 1 A ? 2 A ? 3 A ? 4 A ? xo 5 A ? 0 NAAA i i = A ? ? tAxcos 01 = )cos( 02 +=tAx ) 1(cos 0 +=NtAxN )2cos( 03 +=tAx 1 A ? 2 A ? 3 A ? 4 A ? x O 5 A ? 6 A ? 0=A ),2 , 1 ,(?=kkNk 2）2） 2kN= 1）1）2 k= ),2, 1,0(?=k 个矢量依次相接构 成一个 个矢量依次相接构 成一个闭合闭合的多边形 .的多边形 . N 讨 论 讨 论 三两个同方向不同频率简谐运动的合成三两个同方向不同频率简谐运动的合成 由于两振动频率不同由于两振动频率不同,则它们的相位差不恒定则它们的相位差不恒定.合 振动一般不是简谐运动 合 振动一般不是简谐运动. 11 cos()xAt=+ 22 cos()xAt=+ 分振动分振动 21 xxx合振动合振动+= 合振动频率合振动频率 振幅部分振幅部分 2121 (2cos)cos( 22 tt)xA + =+ 合振动频率合振动频率 振幅部分振幅部分 2121 (2cos)cos( 22 tt)xA + =+ 合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动 式中式中 21 ( )2cos() 2 A tAt = = 随随t 缓变缓变 21 cos()cos() 2 tt + +=+ + +=+ 随随t 快变快变 合振动可看作振幅缓变的准简谐振动合振动可看作振幅缓变的准简谐振动 当当 2 1时,时, ( )cos()xA tt = =+则：+则： 1212 + + =T 阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的振幅按指数衰减 阻尼振动的准周期阻尼振动的准周期 2.过阻尼振动过阻尼振动 2 0 2 tt eCeCx )( 2 )( 1 2 0 22 0 2 + += 3.临界阻尼临界阻尼 2 0 2 = t etCCx +=)( 21 过阻尼过阻尼 t ( )x t 系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置. t ( )x t 临界阻尼临界阻尼 t x(t) 系统不作往复运动，而是较快地 回到平衡位置并停下来 系统不作往复运动，而是较快地 回到平衡位置并停下来 t x(t) o t x三种阻尼的比较三种阻尼的比较 22 0 a）弱阻尼a）弱阻尼 22 0 =c）临界阻尼c）临界阻尼a b c 二受迫振动二受迫振动 m k = 0 m=2 mFh = thx t x t x cos d d 2 d d 2 0 2 2 =+ 驱动力驱动力 2 2 cos dt xd mtF dt dx kx=+ )cos()cos( 0 += tAteAx t 22 0 =其中， 受迫振动受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动振动系统在周期性外力作用下的振动 弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程 0 cos周期性外力周期性外力策动力策动力FFpt= =设设 该方程的解为该方程的解为 阻尼振动阻尼振动简谐振动简谐振动 为过阻尼系统不再作周期运动而缓慢回 到平衡位置 为过阻尼系统不再作周期运动而缓慢回 到平衡位置. 2 0 2 若阻尼很大若阻尼很大 2 0 2 = = 为临界阻尼系统不能往复运动为临界阻尼系统不能往复运动,物体 更快回到平衡位置 物体 更快回到平衡位置.是一种