冈萨雷斯数字图像处理第3版第4章习题

4.16连续二维傅立叶变换和离散二维傅立叶变换均证明平移和旋转是不变的。首先列出平移和旋转属性(4.6-3 )(4.6-4 )旋转属性：(4.6-5 )证明：由式(4.5-15 )得出由式(4.5-16 )得到：依次类推证明其他项目。4.17练习题4.3中可以得出和。 利用前面的性质和表4.3的平移性质，连续函数的傅里叶变换证明：4.18离散函数的DFT证明：离散傅里叶变换如果不是这样的话考虑到实部，变成-1，1 的值，可以想象虚部是相同的4.19离散函数的DFT证明：4.20以下问题与表4.1的性质有关。(a )证明性质1的正确性；(b )证明性质3的正确性。(c )证明性质6的正确性。(d )证明性质7的正确性。(e )证明性质9的正确性。(f )证明性质10的正确性。(g )证明性质11的正确性。(h )证明性质12的正确性。(I )证明性质13的正确性；(a )如属实函数(b )如属实函数，则为和。 然后，我们可以：的双曲馀弦值奇函数。(c )复函数，由下式得出所以我得到证据(d )复函数，由下式得出所以我得到证据(e )如果是实数函数，则实数部分为0，即虚数部分为奇数。由式可知，是虚数。(f )虚函数，偶函数，由下式得出：F(u，v )是虚数。(g )虚函数，奇函数，由下式得出：结果表明是实数。(h )复函数，对偶函数，由下式得出：由式可知，前项为实数，下一项为纯虚偶数。(I )复函数，奇函数，由下式得出：由式可知，前项是偶数实函数，后项是纯虚奇数。在4.21 4.6.6节中，在研究频域滤波时需要填充图像。 本节所述的填充图像的方法是在图像行和列的末尾填充0值(请参见上图左侧)。 如果不改变要使用的0值的总数，并且围绕图像填充0值(请参见上图右侧)，会有什么不同？ 试着说明原因。a :如下图所示从上图来看，左图是正确的结果，右图是“缠绕错误”引起的卷积错误。 发生这种缠绕错误的原因是由于图像未被填充，如果在填充之后不能获得适当的间隔，则不能获得正确的卷积结果。重要的是得到“适当的间隔”，左右2种填充可以得到相同的结果。4.22相同图像的两个傅立叶频谱如右图所示。 左边的光谱对应原图像，右边的光谱图像用0的值填充。 将解释信号强度沿着垂直轴和水平轴显着增加的原因，如右图所示的光谱。答：除非原始图像的所有边界都是黑色的，否则将图像的边界填充为值0必然会导致灰度值变化的不连续性，即，水平“边界”和垂直“边界”被添加，并且“边界”指的是高频分量4.23从表4.2可以看出，DFT的直流项与对应的空间图像的平均值成比例。 图像尺寸是多少？ 当用0填充图像时，图像的尺寸p和q分别由以下方程(4.6-31 )和(4.6-32 )给出： 表示嵌入函数的DFT直流项。(a )原图像的平均值与填充后图像的平均值之比是多少？是(b )吗？ 假设用数学来回答。解： (a )图像灰度平均值的计算：所以呢原图像平均值与填充后的图像的平均值之比(b )是的，等于。 说明：我们知道结合(a )的结论可以证明。4.24表4.2中的周期性质(性质8 )证明：离散傅里叶变换其他证明类似。4.25以下问题与表4.3的性质有关。(a )证明一维情况下离散卷积定理的正确性；(b )在二维情况下，重复(a )(c )证明性质9的正确性。(d )证明性质13的正确性。(注意：练习题4.18，练习题4.19，练习题4.31也与表4.3有关)证明： (a )一维情况下离散卷积定理的证明由(4.4-10 )及一维离散傅立叶变换定义可知(4.4-10 )一维傅里叶变换：(4.4-6 )(4.4-7 )然后呢所以呢(b )由(a )可知(c )矩形波recta，b傅立叶变换；性质9(d )证明性质13的正确性。性质134.26 (a )证明连续变量t和z的连续函数的拉普拉斯变换满足下一个傅立叶变换对拉普拉斯变换的表达式(3.6.3) :(提示：研究表4.3的性质12，见练习题4.25(d ) )(b )上一封闭显示的公式仅适用于连续变量。 但是，由于使用滤波器也许是在离散频域实现拉普拉斯的基础。 说明如何实现这个滤波器。(c )如在例4.20中看到的，频域的加结果类似于使用中心系数为-8的空间模板的结果。 为什么频域的拉普拉斯结果与中心系数为-4的空间样板的结果不同？(a )证明：从第3章可以看出，两个连续变量的拉普拉斯函数根据表4.3的性质12，拉普拉斯函数的傅立叶变换取得证据。(b)a :从前面的导出可以看出拉普拉斯滤波器适用于连续变量。 在离散傅立叶变换中，可以通过对拉普拉斯函数进行采样来构建适当的滤波器其中，如果傅立叶变换为圆形，则频域中的拉普拉斯滤波器也就是说，使用以下加傅立叶变换对来进行空间域和频域之间的变换中心思想是通过对离散的拉普拉斯傅立叶变换或连续的拉普拉斯傅立叶变换进行采样来获得的。(c )由于拉普拉斯变换是各向同性的，因此，如果空间区域的模板包含对角成分，则拉普拉斯变换的对称性的近似度进一步变大。 因而，与中心系数为-4的空间模板相比，中心系数为-8的空间模板更类似于频域加结果。给定为4.27大小的空间模板，将最接近点(x，y )的12个相邻点平均，但是将该点本身从平均值中排除。(a )在频域中找到与其等效的滤波器；(b )证明结果为低通滤波器。答：为了节省时间，以下不用，根据英语版练习题的解答来回答空域的平均值(中心点除外)由表4.3的性质3得出其中(b )为了说明这是低通滤波器，以中心形式表示该滤波器为了简化说明，让我们先考虑一下变量。 当u从0增加到M-1时，的值从-1增加到1，并且从1减少到-1，此时达到最大值1。 因此，越远离中心点，滤波器的值越小，成为低通滤波器。根据4.28式(3.6.4)，近似二维离散微分的一种方法是计算形之和之差。(a )在频域中找到与其等效的滤波器；(b )证明你的结果是高通滤波器。(a )解：从离散傅立叶变换DFT的定义和表4.3的性质3中得到所以呢其中(b )为了说明这是高通滤波器，以中心形式表示该滤波器u从0增加到M-1时的值，最初为-1，时为1，时为-1，值从-4变为0，然后从0变为-4。 这是一个高通滤镜，因为越靠近中心点，宽度越小。4.29发现等效滤波器，该滤波器在频域中实现使用图3.37(a )的加工模板的空间操作。解：筛选函数如下：如4.28其中将频率偏移到中心点当时。 离中心点越远，宽度越大。 最重要的地方是高通滤波器，因为除去了直流成分，残留有高频成分。想想如何使用4.30傅立叶变换计算(或分部计算)计算图像差分梯度宽度参见公式(3.6-11)。如果您的回答是可行的，请告诉我如何实现这一点。 如果你不能回答，请说明理由。a:(3.6-11 )傅立叶变换是线性过程，涉及平方和平方根等非线性计算，因此不能通过傅立叶变换进行上式的计算。 利用傅立叶变换可计算差分，但不能处理平方、平方根、绝对值等运算，只能在空间域处理。在4.31连续频域中，一个连续的高斯低通滤波器具有以下传递函数相应的空间域滤波器证明：如4.32公式(4.9-1)所述，可以从低通滤波器的传递函数获得高通滤波器的传递函数使用练习题4.31中给出的信息，空间域高斯高通滤波器以什么形式回答？解：进行傅里叶逆变换4.33考虑右侧所示的图像。 右侧的图像是通过(a )将左侧的图像相乘而获得的图像，以及(b )计算通过乘以DFT而获得的图像，并且(c )计算通过乘以该变换的复共轭而获得的图像，并且(d )乘以逆DFT的结果而获得的实体部分。 说明右边的图像为什么会发生这种现象。证明：采取共轭傅里叶逆变换：变换后的图像和原图像关于原点对称。4.34图4.41(b )的水平轴上几乎周期性亮点的来源是什么答：这些高光源自左图左下角的等距垂直线。4.35图4.53的各个滤波器在其中心有强刺，说明这些刺的由来。a :这是因为高通滤波器的频域式中的1，逆变换是空间和冲击响应，因此在空间中心出现了尖刺。4.36考虑以下所示的图像。 右侧图像是通过高斯低通滤波器对左侧图像进行低通滤波，然后通过高斯高通滤波器对结果进行高通滤波。 图像大小使用两种滤镜。(a )说明右侧图像中的环的中心部分明亮且实心的原因，滤波后的图像的支配特性认为是物体(手指、腕骨等)的外缘上的边缘和这些边缘间的暗区域。 也就是说，高通滤波器不想将环内侧的一定区域渲染为暗色，是因为高通滤波器删除了直流项吗？(b )倒置滤波处理顺序，你认为结果有差异吗？a:(a )只进行高通滤波，环的中心是黑色的。 然而，通过进行低通滤波，使黑色中心区域平均化。 环之所以最终如此明亮是因为环的边缘的灰度的不连续性比图像的其他部分大，会对显示结果产生最大影响。(b )傅立叶变换为线性，因此前后顺序不影响结果。给予大小为4.37的图像，要求实验，并且使用在实验中使用的截止频率高斯低通滤波器对该图像重复进行低通滤波。 此外，忽略计算舍入误差。 指令是实验中所用机器可表示的最小正数。(a )设使用该过滤器的次数为k。 在进行实验之前，可以预测k达到足够大的值时的结果(图像)是什么？ 可能的话，结果是什么？(b )导出保证预测结果的最小k值的公式。(a )高斯低通滤波器：k次过滤的结果如下：假设k很大，通过的就是(b )为了保证得到上述结果，要求k足够大，因为计算机的最小正数为，所以某个数不足一半时，该整数设定为0。 因此，k应该满足条件与原点无关，u和v是离散数据4.38考虑下面所示的图像序列。 最左侧的图像是商用印刷电路板的x射线图像的一部分。 右边图像的这些图像是分别使用一个高斯高通滤波器执行一次、十次和100次滤波的结果。 图像的大小为像素，每个像素以8位灰度表示。 为了方便显示，图像已缩放，但不会影响此问题。(a )从这几张图像可以看出，在进行了有限次数的滤波后，图像不变化。 请说明一下实际情况是否如此。 舍入误差的计算可以忽略。 完成这个实验的机器指令可以表示的最小的正数。(b )用(a )决定有限次的反复后，变化停止，求最小的反复次数。解： (a )是的，经过有限次滤波后，图像不变。 理解的关键在于将k次高通滤波函数与4.37不同，此处的滤镜是“凹槽”滤镜，经过滤波后，将生成图像中所有像素的平均灰度值为0 (某些像素的灰度值为负值)的图像。 从而，在滤波的次数大于k的情况下，图像具有不变化的k值。(b )在k次滤波之后，图像不变化，满足下式解开的k的值与4.37相同如4.39图4.59所述，高频增强与直方图平衡相结合是实现边缘锐化和对比度增强的有效方法。(a )说明该结合方法是否与先前使用的有关。(b )如果与适用顺序有关，请首先说明采用某种方法的理由。a )频域滤波在空间域中表示为卷积过滤后，进行直方图均衡这里， t 表示直方图均衡变换如果顺序相反，则结果如下因为“t”是一个非线性过程因此，该组合方法与处理的优先级有关。(b )从图4.59可知，高频增强使图像的对比度降低，因此首先进行高频增强，平衡直方图。使用4.40 boost高通滤波器来构建形状与图4.61的滤波器相同的同型滤波器。解：同型滤波器如下所示高斯高通滤波器构建的同态滤波器另外，图示的滤波器倾向于减弱低频(照射)的贡献，增强高频(反射)的贡献。 最终，同时压缩动态范围和提高对比度。用bootworst高通滤波器构建的同型滤波器4.41验证公式(4.11-16 )和公式(4.11-17 )的正确性。 (提示：用归纳法证明)。证明：因为公式(4.11-16 )和公式(4.11-17 )可以分别写成(1)n=1时所以方程式成立(2)通过假定n时成立，可以导出n 1的情况。首先从(4.11-14 )中得到所以呢(4.11-17 )时所以呢取得证据4.42假设有一组由分析恒星事件的实验生成的图像。 每幅图像包含一组明亮、松散