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文档简介

哲学方法论系列文库 母函数(数论)母函数(数论) 哲学是人类文化结晶， 方法论在哲学中占有重要地位。 本文提供 “母函数(数论)” 的现代视点解读，以供大家了解。 母函数(数论)母函数(数论) 也叫发生函数或生成函数。 是数论、组合理论，插值与逼近论中的重要数学工 具，设关于函数g(t)在t=0的某邻域内收敛的幂级数 为，这就确定了数列an。 这时称g(t)为序列an的母函数。 对于函数列fn(Xn)，类似地，把在(x，t)空间的某 个域内关于x，t收敛的级数K 称为函数列fn(xn)的 母函数。 例如，二项式系数和勒让德多项式的母函数分别为 (1+t)n和。 若已知an或fn(x)的母函数，就可以给出an和 fn(x)的积分表示。 例如，对后一种情形，有，其中积分路径C是以原点为 中心，正方向的充分小的圆周，可以把母函数关于t解 析开拓到幂级数的收敛域以外。 由于许多重要的正交函数系的简单母函数是已知的， 因而借助于母函数，可以导出数列和函数列的许多重 要的解析性质。 所以，母函数的方法在数学，计算数学与工程力学中 被广泛地应用。 当参数不是整数n而是连续变量的情形，则可将母函数 作为拉普拉斯变换或富里埃变换的形式来定义。 最早将母函数方法应用到数论的广泛领域中去的是欧 拉，他首先巧妙而简捷地解决了线性丢番图方程的解 数问题。 例如，设n为一正整数，若线性丢番图方程 x+2y+5z+10u+20v+50w=n的非负整数解的个数为An， 根据幂级数的乘法可知，An的母函数就是： 并且乘积 级数中S
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