第九讲刚体动力学

1 一、力矩的功一、力矩的功 如图，刚体受力如图，刚体受力F，(F在垂直于转轴的平面内在垂直于转轴的平面内). 设 . 设dt内刚体角位移内刚体角位移d ， M F ? O r ? + d ds 4-4 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 The Theorem of Kinetic Energy of a Rigid Body Rotating about a Fixed Axis sindAF dsFrd = Md= 当当 由由 1 2，力矩的功，力矩的功 = 2 1 MddAA 功功 2 二、刚体的转动动能二、刚体的转动动能 222 11 22 kiiii i Emvmr= 222 11 22 kkii i EEm rJ= 三、刚体定轴转动的动能定理三、刚体定轴转动的动能定理 当当 由由 1 2， 由由 1 2，合外力矩所做 总功为 ，合外力矩所做 总功为 总转动动能总转动动能 对转动质元对转动质元mi： d dAMdJ dJdJ d dt = 3 22 11 AdAMdJd = 22 2121 11 22 kk JJEE= 2 1 22 21 11 22 MdJJ = 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 合外力矩的功等于刚体转动动能的增量合外力矩的功等于刚体转动动能的增量. 4 mi m C v ? C 对任一质元对任一质元mi，其势能，其势能 EPi=migyi， 五、刚体的重力势能五、刚体的重力势能 pii Pi EEm gy= ii m y mg m = c mgy= O X Y Z C y i y 四、刚体的平动动能四、刚体的平动动能 22 1 11 22 n kii i Emvmv = = 平平 对整个刚体对整个刚体 c 22 11 22 CC EmghmvJ=+ 机械机械 5 0 0 cossin 22 AMd mglmgl d = = 例：例：细杆质量为细杆质量为m，长为，长为l，绕过一端的轴自 由旋转，设杆自水平静止释放。 ，绕过一端的轴自 由旋转，设杆自水平静止释放。 求：求：杆位于任意角杆位于任意角 时的时的 、 。 ? Z mg N Y X O r ? 解法解法1：用转动定理求，在上一讲例题中。用转动定理求，在上一讲例题中。 解法2：解法2：用刚体定轴转动的动能定理求。 重力矩的功 用刚体定轴转动的动能定理求。 重力矩的功 2 1 0 2 K EJ= 刚体动能增量刚体动能增量 6 2 1 sin 22 mgl J= sin 3 l g = 22 1 1 () 2 3 ml= )( = dt d 3 cos 2 dg dtl = 求全微分:求全微分: 2 3 sin g l =对对 3 2cos dgd dtldt = 7 解法3：解法3：用机械能守恒求解。 研究对象：棒与地组成的系统。在转动过 程中，只有保守内力（重力）做功。 用机械能守恒求解。 研究对象：棒与地组成的系统。在转动过 程中，只有保守内力（重力）做功。 2 1 sin 22 l EJmg= sin 3 l g = 水平状态时的机械能：水平状态时的机械能： E=0 角时的机械能： 由机械能守恒可求得 再求导即可得 角时的机械能： 由机械能守恒可求得 再求导即可得 . ? Z mg N Y X O r ? 8 两边积分得 设 两边积分得 设t1t2内，角速度由内，角速度由12， 一、刚体定轴转动的角动量定理一、刚体定轴转动的角动量定理 MdtdL= Fdt冲量冲量 Mdt冲量矩冲量矩类比类比 4-5 定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 The Theorem of Angular Momentum and the Law of Conservation of Angular Momentum of a Rigid Body Rotating about a Fixed Axis ddL MJJ dtdt = MdtdL= 22 11 2121 tL tL MdtdLLLJJ= 9 2 1 21 t t M dtJJ= 刚体所的受冲量矩等于刚体角动量的增量.刚体所的受冲量矩等于刚体角动量的增量. 冲量矩是引起刚体角动量改变的原因。冲量矩是引起刚体角动量改变的原因。 对一个系统：对一个系统： 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 ii MMLL 外外 dt Ld M i i = 外 则则 ii M dtdL= 外外 10 二、刚体的角动量守恒定律二、刚体的角动量守恒定律 iiii M dtdLdJ= 外外 0, i M= 外外 当当 iii LLJ= 则恒量则恒量 角动量守恒定律角动量守恒定律 讨论讨论 0MJC=1. .对单个刚体：对单个刚体： 0 ii MLC= 外外 2. .对刚体系统：对刚体系统： 1102201122 JJJJ+=+例如：例如： 3. .角动量守恒定律对非刚体也成立。角动量守恒定律对非刚体也成立。 11 守恒定律对非刚体的一般情况：守恒定律对非刚体的一般情况： A. J 不变，不变， 也不变，保持匀速转动。也不变，保持匀速转动。 B. J 变化，但变化，但 J 不变，则不变，则 要发生改变。要发生改变。 F ? ? F C. 开始整体不动，当其一部分旋转时，必引 起另一部分朝反方向旋转。 开始整体不动，当其一部分旋转时，必引 起另一部分朝反方向旋转。 ? ? 12 实际中的 一些现象 实际中的 一些现象 13 应用程序 又如，茹可夫又如，茹可夫 斯基凳、陀螺斯基凳、陀螺 仪等。仪等。 14 1 2 l Lmv= 2 LJ= 例：例：杆质量杆质量M，长，长l，绕中点转动，开始时竖直 静止。子弹 ，绕中点转动，开始时竖直 静止。子弹m以水平初速以水平初速v射入下端，问射入下端，问 = ？ 解：解：碰撞前角动量碰撞前角动量 碰撞后角动量碰撞后角动量 22 1 ( ) 212 mM l JJJmMl=+=+ mv M O 合外力矩为零，由角动量守恒得合外力矩为零，由角动量守恒得 lMm mv )3( 6 + = 15 问题：问题：1.碰撞过程中，水平动量是否守恒？ 为什么？ 碰撞过程中，水平动量是否守恒？ 为什么？ 0 11 = Mm PmvP碰撞前水平动量 碰撞后水平动量 碰撞前水平动量 碰撞后水平动量 mv Mm m Mm vml mP m 3/3 3 ) 2 ( 2 2 + = + = 0 2 = M P 21 mm PP（杆的质心无运动）（杆的质心无运动） 碰撞后系统水平动量减少。因为轴对杆有 一作用力（冲力）。 碰撞后系统水平动量减少。因为轴对杆有 一作用力（冲力）。 2.碰撞过程中，机械能是否守恒？碰撞过程中，机械能是否守恒？ 答：答：不守恒！因为是完全非弹性碰撞。不守恒！因为是完全非弹性碰撞。 mv M O 16 10 mv lJ= 棒棒 2 2 1 3 Jm L= 棒棒 1 m 2 m L l 例：例：已知匀质杆已知匀质杆m2，L；轻绳长；轻绳长l，连接小球，连接小球 m1，初始时杆静止，将球拉开一定角度，使 球与杆作完全弹性碰撞。 ，初始时杆静止，将球拉开一定角度，使 球与杆作完全弹性碰撞。 试设计试设计 l 长度，使碰后球刚好停住。长度，使碰后球刚好停住。 解：解：设碰撞前球速为设碰撞前球速为v0，碰后杆角速度为，碰后杆角速度为 ， 过程角动量守恒过程角动量守恒 22 10 11 22 mvJ= 棒棒 机械能守恒机械能守恒 17 22 12 1 3 mlJm L= 棒棒 22 22 2 10 22 1 0 Jm v l mvJ = 棒 棒 棒 棒 L m m l 1 2 3 = 1 m v 2 m 静止静止 对比对比 1 m 2 m L l 静止静止 121 mmm=当，停当，停 12 1mm JJm=当，停当，停 刚体弹性碰撞刚体弹性碰撞质点弹性碰撞质点弹性碰撞 碰撞后交换动量碰撞后交换动量碰撞后交换角动量碰撞后交换角动量 18 例：例：质量质量M、半径、半径R的转台，可绕通过中心的 竖直轴转动。质量为 的转台，可绕通过中心的 竖直轴转动。质量为m的人站在边沿上，人和 转台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周， 求对地而言，人和转台各转动了多少角度？ 的人站在边沿上，人和 转台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周， 求对地而言，人和转台各转动了多少角度？ 解：解：以以M、m为系统为系统 0M= 外外 故角动量守恒。故角动量守恒。 以地面为参照，建立轴的 正方向如图。 以地面为参照，建立轴的 正方向如图。 + M X m 因人和台原来都静止， 所以 因人和台原来都静止， 所以 19 0JJ+= 人台人台 0 2 1 22 =+ 台人台人 MRmR 2 M m = 人台人台 = tt dt m M dt 00 2 台人台人 + M 台台 ? X 人人 ? m 2 M m = 人台人台 2+= 人台人台 mM m + = 4 台台 mM M + = 2 人人 20 2 1 1 3 Jml= 例：例：细棒细棒m1、l，静止放在摩擦系数为，静止放在摩擦系数为 的水 平桌面上，可绕 的水 平桌面上，可绕O点旋转，小球以水平速率点旋转，小球以水平速率v1 直击另一端，并以直击另一端，并以v2反向弹回，反向弹回，求： 1. 求： 1.碰后棒的角速度；碰后棒的角速度； 2.2.棒从开始转动到停止所需时间。棒从开始转动到停止所需时间。 1 m 2 m l O 1 v ? 2 v ? 解：1.解：1.碰撞过程中角动量守恒 （向外为转轴正向） 碰撞过程中角动量守恒 （向外为转轴正向） 2 122 m vlm v lJ= + lm vvm 1 212 )(3+ = 21 1 2 r l Mm g= 2 1 0 1 0 3 t r M dtJm l= gm vv mt 1 21 2 2 + = 解得解得 1 m 2 m l O 1 v ? 2 v ? 2.2.设摩擦力矩为设摩擦力矩为Mr，对棒用角动量定理，对棒用角动量定理 而摩擦力矩而摩擦力矩 （相当于（相当于m1集中于集中于 l/2 处）处） 22 1 m dmdx l = 1 0 l rr m MdMgxdx l = 1 m l O dm x xdfdM r = dmgdf= 摩擦力矩的证明摩擦力矩的证明 在在 x 处取处取dm： 元摩擦力元摩擦力 元摩擦力矩元摩擦力矩 总摩擦力矩总摩擦力矩 2 1 1 22 m g ll m g l = = 23 J转动惯量转动惯量 比记忆一维运动与刚体转动类 比记忆一维运动与刚体转动类 m质量质量 r ? 位置矢量位置矢量 v ? 速度速度 a ? 加速度加速度 角位置角位置 ? 角速度角速度 ? 角加速度角加速度 F ? 质点受力质点受力 FrM ? ? ? =受力矩受力矩 AF ds= ? ? 力做功 力做功 2 1 AMd = 力矩做功力矩做功 2 1 2 mv平动动能平动动能 2 1 2 J转动动能转动动能 24 比记忆一维运动与刚体转动类比记忆一维运动与刚体转动类 vmP ? ? =动量动量LJ= ? ? 角动量角动量 = 2 1 t t dtFI ? 冲量冲量 2 1 t t dtM ? 冲量矩冲量矩 amF ? ? =牛顿定律牛顿定律MI= ? ? 转动定律转动定律 动能定理转动动能定理动能定理转动动能定理 22 21 11 22 AMdJJ= 动量定理动量定理 12 2 1 vmvmdtF t t ? ? = 角动量定理角动量定理 2 1 21 t t MdtJJ= 22 21 11 22 AF dsmvmv = 25 进动（旋进）进动（旋进）Precession 一、什么叫进动一、什么叫进动 陀螺的运动陀螺的运动 进动演示仪的运动进动演示仪的运动 O Z G B C CO Z F V 应用程序 26 O Z mg X Y Z O dtMLd ? = LdL ? + r ? d 受重力的力矩受重力的力矩 gmrM ? ? = 以陀螺为例，陀螺绕其对称轴旋转时的角动量以陀螺为例，陀螺绕其对称轴旋转时的角动量 LJ= ? ? ? M ? Ld ? 二、进动的解释二、进动的解释 L ? 27 由图： 考虑方向： 由图： 考虑方向： dtMLd ? = MJ= ? ? sinMJ= dLMdt= ( sin )dLLd= dtL=sin sinJdt= mg X X Y Y Z Z OO LdL ? + d M ? Ld ? r ? ? LdL LdLL+= ? 但但 dt 后后 L 方向改变方向改变 所以所以 L 端点作圆周运动。端点作圆周运动。 28 1）旋进角速度的大小1）旋进角速度的大小 2）旋进的角速度的方向满足2）旋进的角速度的方向满足 LdL ? + L ? d M ? ? Ld ? MJ= ? ? /MJ= ,反比于反比于正比于正比于M 结论：结论： MJ= ? ? 29 三、旋进的应用举例三、旋进的应用举例 为了保证子弹、炮弹不至如此，常在炮筒内 加来复线，以使其旋转，由于进动作用，即 可使其沿质心前进的方向运动而保证弹头朝 前。 为了保证子弹、炮弹不至如此，常在炮筒内 加来复线，以使其旋转，由于进动作用，即 可使其沿质心前进的方向运动而保证弹头朝 前。 1-15甩手榴弹B.exe 子弹、炮弹等在飞行时受阻 力矩作用易在空中翻转。 子弹、炮弹等在飞行时受阻 力矩作用易在空中翻转。 f ? ? C v ? ? C f M ? L ? 30 还可用电子在磁场中的进动解释物质的磁