MonteCarlo(蒙特卡洛法)简介.ppt

蒙特卡罗模拟、蒙特卡罗方法或计算机随机模拟方法、随机抽样方法或统计检验方法的介绍和总结，属于计算数学的一个分支。这是一种基于“随机数”的计算方法。蒙特卡罗方法的基本思想很久以前就被发现和使用了。早在17世纪，人们就知道用事件的“频率”来确定事件的“概率”。在19世纪，人们用针测试来确定圆周率。形成，这种方法形成于美国在第一次世界大战中投入原子弹发展的“曼哈顿计划”。该项目的主持人之一，数学家冯诺伊曼，以世界著名的赌博城市摩纳哥的蒙特卡洛命名了这种方法，给它增添了一层神秘色彩。20世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量快速地模拟这样的实验成为可能。从本质上讲，蒙特卡罗方法，也称为统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导的非常重要的数值计算方法，是20世纪40年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明而提出的。指使用随机数(或更常见的伪随机数)来解决许多计算问题。与之相对应的是确定性算法。通过大量的仿真实验，完成了一些复杂的事情，最后得出了一些结论。基本思想和原则，基本思想：当要解决的问题是某个事件发生的概率或某个随机变量的期望值时，他们可以通过某种“测试”方法获得该事件发生的频率或该随机变量的平均值，并将其作为问题的解决方案。原理：掌握物体运动的几何量和几何特征，用数学方法模拟它，即进行数字模拟实验。它基于一个概率模型。根据该模型描述的过程，将仿真实验的结果作为问题的近似解。一步，蒙特卡罗问题的求解可以归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；从已知的概率分布实现采样；各种估计量的建立和概率过程的构造或描述，主要是为了正确地描述和模拟具有随机性质的问题的概率过程。对于某些本质上不是随机的问题，如定积分的计算，必须事先构造一个人为诱导的概率过程，它的一些参数正是所需问题的解。也就是说，不具有随机性质的问题应该转化为具有随机性质的问题。概率模型建立后，根据概率分布提取随机变量(或随机向量)，一般可由软件包直接调用或通过提取均匀分布的随机数构建。这样，它就成为实现蒙特卡罗模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。建立各种估计量，一般来说，在构造概率模型并从中取样之后，即在实现模拟实验之后，我们将确定一个随机变量作为所需问题的解，我们称之为无偏估计。各种估计量的建立相当于检查和记录模拟实验的结果，由此可以得到问题的解。例如，考虑一个平面上有一边长的正方形，里面有一个不规则形状的“图形”，如何找到这个“图形”的面积？蒙特卡罗方法就是这样一种“随机化”方法：如果n个点被“随机”抛入正方形并落在“图”内，“图”的面积大约是m/n。比喻，可以用民意测验来作一个不严格的比喻。民意测验专家不会咨询每一个登记的选民，而是对选民进行一个小样本调查，以确定可能的公众意见。基本想法是一样的。应用和科学计算中的问题比这复杂得多。然而，蒙特卡罗方法被广泛应用于许多应用领域，如计算物理、粒子输运计算、量子热力学计算、量子化学、分子动力学等。特别是在财务计算中，每种方法都有不可替代的优势。金融应用，金融衍生产品的定价(期权、期货、掉期等)。)和交易风险估计，问题的维度(即变量的数量)可能高达数百甚至数千。对于这样的问题，难度随着维度的增加而成倍增加，这就是所谓的“维度灾难”。传统的数值方法很难处理(即使使用最快的计算机)。MonteCarlo方法的优点是，MonteCarlo方法可以很好地用来处理维数灾难，因为这种方法的计算复杂度不再依赖于维数。那些以前无法计算的问题现在可以计算了。为了提高该方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技术。蒙特卡洛模拟适用于研究复杂系统。为了研究具有无数结构和状态的系统，我们可以利用蒙特卡罗模拟，通过统计的方法找到出现概率最高的结构和状态或相应的相关数据。蒙特卡罗方法处理的问题可分为两类确定性数学问题：多重积分、求逆矩阵、求解线性代数方程、求解积分方程、求解某些偏微分方程的边值问题、计算代数方程、计算微分算子的特征值和其他随机问题。蒙特卡罗方法在解决实际问题时有两个主要部分：1 .当用这种方法模拟过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。2.用统计方法估计模型的数值特征，从而得到实际问题的数值解。用MonteCarlo计算定积分，考虑假设随机变量有密度函数的积分，用MonteCarlo计算定积分-，用密度e -x提取随机数x _ 1，x _ n构造统计量，用MonteCarlo计算定积分-，也就是用MonteCarlo计算定积分-，例如=1.9取(1.9)=0.96176-模拟结果不好！如果你想达到0.001的精度，你需要计算4x530 2=1123600！蒙特卡罗用于计算定积分-例子表明分析和设计是重要的。重写积分，取两个随机数，用蒙特卡罗计算定积分，取八个随机数，大大提高了结果！随机数的生成，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。随机数的产生是一个抽样问题。随机数可以通过物理方法产生，但是它们很昂贵，不能重复，并且不方便使用。另一种方法是使用数学递推公式。这样产生的序列不同于真实的随机数序列，所以它被称为伪随机数或伪随机数序列。然而，各种统计测试表明，它与实随机数或随机数序列具有相似的性质，因此可以用作实随机数。对于随机数的获取，如果你对随机数有更高的要求，你需要编辑“随机数生成器”。最简单、最基本和最重要的概率分布是(0，1)上的均匀分布(或矩形分布)。例如，在Matlab中，命令“rand()”将生成一个均匀分布在(0，1)中的随机数。你可以根据需要给随机数一个“种子”,以获得不同的数字。Matlab的随机数函数，均匀分布r=uni rnd(N)，生成均匀分布的随机数R=uni rnd(N，N，m)之间的1和N，生成均匀分布的随机数矩阵连续均匀分布R=uni rnd(A，B)-生成均匀分布的随机数R=uni rnd(A，B，m，N)之间的(A，B)，B)均匀分布的随机数矩阵之间的，Matlab的随机数函数-正态分布的随机数R=范数rnd(，)R=范数rnd(，m n)特殊分布的随机数发生器r=随机(“名称”，a1，a2，a3，m，n)，例如，A=随机(“正常”，0，1，3，2) a=。 -0.43260.2877-1.6656-1.14650.12531.1909，精确度，由于MonteCarlo方法的随机性，精确度是基于大量重复模拟并最终去平均的。对于确定值的计算，应估计样本数量和准确度之间的关系。对于随机过程的模拟，有置信域的估计、方差缩减技术、双变量技术(适用于正态分布函数)和取一组随机数Z_i，模拟值C_i，i=1，2，n，估计值被平均c一段时间，然后取Z_i的对偶z _ I=-Z_i，估计值c 被再次生成，然后新的平均值c *=(c )/2被去除，然后varc *=1/2 varc 1/2 cov (c，c) 1/2 varc。这种技术使计算更加稳定。例如，下面的问题是中子穿过用于中子屏蔽的铅墙的示意图。引线壁的高度远远大于左右厚度。让中子从左端垂直进入铅壁，在铅壁中行进一个单位距离，然后与铅原子碰撞。碰撞后，任意改变方向，在与另一个铅原子碰撞前继续运行一个单位。这样，如果中子消耗了铅壁中的所有能量或从左端逃逸，它们将被视为被铅壁阻挡，如果中子通过铅壁从右端逃逸，它们将被视为中子逃逸。如果铅壁的厚度为5个单位，中子将在7个单位后耗尽能量，并计算中子逃逸的概率。x的问题并不复杂，但要找到一个解析表达式并不容易。然而，通过仿真可以获得满意的结果。这个问题并不复杂，但要找到一个分析表达式并不容易。然而，通过仿真可以获得满意的结果。一个例子，建模，下面我们给出一个这个问题的模拟程序。我们关心碰撞后有多少中子在X轴方向上移动，所以在正负方向上移动的结果是相同的，所以我们只考虑为正的情况。由于中子的方向是随机的，我们用一台计算机提取出均匀分布在0和之间的随机数来模拟1000000个中子在铅壁中的运动，看看有多少中子在与铅原子碰撞7次后超过了铅壁的右端。例如-，n=1000000m=0；t=1；for I=1: NX=1；fork=1:7ang=pi * randx=x cos(ang)；例如，如果x5enedm/n，当我们运行程序时，中子从铅壁逃逸的概率约为1.5%。有了这个数字，我们可以向安全部门报告。如果数字不能满足安全要求，我们将加厚铅墙。MonteCarlo模拟二叉树期权定价，二叉树定价模型是从构造的二叉树中随机选择一个路径样本，并从二叉树的末端计算衍生证券的价格，但采用MonteCarlo后，价格沿着二叉树计算回来。基本方法：在第一个节点(根节点)，随机生成一个介于0和1之间的随机数。如果该数字小于p，则选择当前的升序分支，否则选择降序分支。这将创建一个新节点，并继续上述过程，直到二叉树结束。一旦生成了路径，就可以计算衍生证券的最终值(在所有可能的最终值集中，它可以被视为随机样本)，从而完成第一次模拟。更多的样本路径获得更多的样本最终值。经过几次模拟，平均值被用来估计衍生证券的价格。蒙特卡洛模拟了连续过程的欧式期权定价。如果标的资产服从几何布朗运动，则欧式期权定价的预期公式在风险中性测度下。标的资产的过程是蒙特卡洛模拟连续过程的欧式期权定价因此期权到期日