结构动力学习题答案

2.1 解： a2.1 解： a刚质产单设为刚质产单设为）度即是使点生位位移所需施加的力，k）度即是使点生位位移所需施加的力，k则当质产时则当质产时，：点生位移， 有：KK ，：点生位移， 有：KK1 1+K+K2 2刚刚；所以，等效度KK；所以，等效度KK1 1+K+K2 2 () ( ) 12s I p Wku ukku u Wmu u Wp tu =+ = = ii 虚虚由功原理得：由功原理得：() ( ) 12 kkumup t+= ii b） b） 1122 12 kkk = = + = 联联立解得： 立解得： 12 12 k k k kk = + 与与a）同理，得：a）同理，得：( ) 12 12 k k umup t kk += + ii i c） c） () 33 121 13 kk kkk = =+ + = 联联立解得：立解得： 312 123 ()k kk k kkk + = + 与与a）同理，得：a）同理，得：( ) 312 123 ()k kk umup t kkk + += + ii i 2.2 解：a2.2 解：a刚单载刚单载）先求框架度，用位荷法求）先求框架度，用位荷法求11 11 12 h 12 h 12 h 12 h 所以，所以， 3 11 11112 2 22236 cc h hhh EIEI = = （其中 EIb，故 1/ EIb0） （其中 EIb，故 1/ EIb0） 3 11 61 c EI k h = ( ) 3 6 c k I p EI Wku uu u h Wmu u Wp tu = = = ii 虚虚由功原理：由功原理：0 kIp WWW+= 得： 得： ( ) 3 6 c EI umup t h += ii b）b） 33 1 31 24168 4 1 19 31 4 cc EIE k hh + = + I 运动运动方程：方程：( ) 3 168 19 c EI umup t h += ii 2.3 解： 2.3 解： ( ) 22 2 224 () 339 111 339 149 2 4 33 4242 41152 22 s D I p Wkuuku u WCuuCu u l l r lluul l Wr ll Wp tu u ul ru u = = =+= = ii ii iiii 椭圆纸椭圆纸注意：平行于面放置 注意：平行于面放置 题须虑椭圆为时题须虑椭圆为时此不考板的重力做功。因列方程，u此不考板的重力做功。因列方程，u时静为时静为以平衡位置零点，重力一以平衡位置零点，重力一 弹参见教弹参见教直被簧力所抵消。 （材 P32直被簧力所抵消。 （材 P32响释响释重力影的解） 重力影的解） 虚虚由功原理：由功原理：0 sIDp WWWW+= 得： 得： 2 41149 991152 kuCul rup+= iii 义质义质广量广量 2 149 1152 Ml r= 义刚义刚广度 K: 4/9 K 广度 K: 4/9 K 义义广阻尼 C：1/9 C 广阻尼 C：1/9 C 义载义载广荷：P 广荷：P 2.4 解： 2.4 解： () 22 2 22 1 1122222221221121123 2122121111 2 1 cossinsin 2 s I p Wk qbq Wm L qqm q qqm qqm qqqm q q qq Wm gqqm gq qqm gLqq 1 = =+ = iiiiiiiii i 由由0 sIp WWW+= 得： 得： 22 212 111222121 2 2 222 21 11 02 0sinsin 32 cos00 m q q qqm Lm qm gq qm gLq q qm gqkbm km q 1 1 + += + ii ii ii i i 2.5 解： 2.5 解： () 12 2 12222 2 sin s D I p Wku u WCu u Wm u umuLuL m u um u um Lum Lum L Wm gL = = =+ =+ = i iiiiii iiiiiiiiii i 虚虚功原理：功原理：0 sIDp WWWW+= 得： 得： 122 2 222 000 sin0000 mmm LuCuku m Lm Lm gL + += iii iii i 2.6 解： 2.6 解： () 12 1212 12 2 12222 2 111 224 sin s D I p Wk u uk u u WC u uCuuC u uC u u Wm u umuLuL m u um u um Lum Lum L Wm gL =+ =+=+ =+ =+ = iii iiiiii iiiiiiiiii i i 虚虚功原理：功原理：0 sIDp WWWW+= 得： 得： 1221212 2 222 1 000 4 sin00 00 mmm LuukkuCC m Lm Lm gL + += iii iii i 3.1 解：由题可知：s TD 64. 0 2 =，即sTD28. 1= cmu1 . 3)0(=cm T u D 2 . 2) 2 (= 由 + += )sin )0()0( (cos)0()(tw w uwu twuetu D D n D twn ? 得： ) 2 (u )0( D T u = 2 . 2 1 . 3 = ( )0ue )0( 2 u D n T w = 2 1 e 所以：%9 .10109. 03429. 0 1 2 = srad T w w D D n /938. 4 109. 0128. 1 2 1 2 1 222 = = = mKNmNmwK n /5 .2194/105 .2194938. 41090 3232 = 阻尼系数： msKNmwC n /9 .96938. 41090%9 .1022 3 = 3.2 解：srad m k wn/2 10875 103500 3 3 = = 设( )twBtwAtu nn sincos+= 将及代入解得： ( )6 . 40 =u()6 . 42 . 1=u 6 . 4=A8 .11=B ( )tttu2sin8 .112cos6 . 4+= ()cmu4 .114 . 2= 振幅：cmBAu7 .12 22 0 =+= 3.3 解：总刚度mKNK/56 02. 0 1120 = (1) srad m k wn/36.22 112 56000 = (2) %5 .168 4 1 2 1 2 = + n j i n I u u I j (3) sradww nD /06.22165. 0136.221 22 = 3.4 解：以体系静平衡位置作为原点 km 1 则,共同作用的静平衡位置 1 m 2 m k gm ust 2 = 碰撞之前的速度 2 m 22 2vmgh= 碰撞之后：动量守恒 122 () (0)2mmumgh+= i 即 2 12 (0)2 m ug mm = + i h 动力方程：()()() 12 0 stst mmuuK uu += () 122 mmuKum g+= ii 解得： + =+= 21 2 sincos mm K w K gm twBtwAu nnn 将及(0)0u= 2 12 (0)2 m ug mm = + i h代入解得： 2 2 12 2 , () m ggh ABm kk m = = +m 于是： 22 2 1212 2 cossin () nnn m gm gghK uw tmw tw kk mmKm = += + m 3.5 解： ()2 2 2 0 21 1 n n st d ww w w u u R + = 当1= n ww时，发生共振有： 2 10 . 5 1 = st d u R (1) 当101= n ww时， ()()2 2 2 1 1 . 021 . 01 15 . 0 + = st d u R (2) 由式(1),(2)可以解得%95. 4= 3.6 解： () ()2 2 2 2 21 21 nn n wwww ww TR + + = 0= () 2 2 2521 1 n w TR = n ww?,解得：sradwn/36.47= mKNmwK n /6 .203636.47908 22 = 3.7 解：对于任意简支梁跨中F关系： EI Fl 48 3 = 3 1 48 l EI K= 所以体系的刚度：mKN l EI KK/1 .5951 4 . 2 1016. 41006. 29696 2 3 68 3 1 = = m K P ust 50 105 . 4 1 .5951 267. 0 = srad m k wn/5 .104 545 101 .5951 3 = = sradw/10 60 2300 = = 301. 0 5 .104 10 = n w w 01. 0= () ()() 10. 1 301. 001. 02301. 01 1 21 1 2 2 2 2 2 2 0 = + = + = n n st d ww w w u u R mRuu dst 55 0 100 . 51 . 1105 . 4 = 设 ()=wtuusin 0 则 ()= wtwuusin 2 0 所以： 加速度振幅 () 22 2 52 00 /109 . 410100 . 5smwua = 3.8 解：(1)从图中可以看出： cmu38. 0 0 =NKu1730 0 = mKNK/3 .455 1038. 0 1730 2 = = (2) () () msN Kuww E n D eq /2 .6347%0 . 7 1038. 0103 .45512 9 . 2 2 2 23 2 0 = = (3) %0 .14%0 . 722= 3.9解：当/0 t时 )sin 2 sin 2 ( 2 )cos()cos( 2 )(sinsin 1 )( 2222 0 0 0 0 0 wt ww w tw ww w mw p dtwwwt m p dtwp m tu n n n nn t nnnn n t n n = += 当/?t时 sin)sin( )( )sin 2 )sin( 2 ( 2 0)(sinsin 1 )( 22 0 2222 0 0 0 tw w w tw wwmw wp tw ww w w w tw ww w mw p ddtwp m tu n n n nn n n n n nn t w w n n + = + = += 3.10解：当 d Tt 0时 )cos1 ()(sin 1 )( 2 0 0 0 tw m p dtp m tu n n t n n = 当时 d Tt? cos)(cos0)(sin 1 )( 2 0 0 0 twTtw m p dtp m tu ndn n T n n d =+= 3.11解：当时，令 d Tt?= nd TT / （0 . 2 , 5 . 1 , 0 . 1,.5 . 0 , 1 . 0=） )2sin(sin 2 )2/1/(sin 2 sin 2 )( 2 00 = n n dnd dn n T t m p TtwT Tw m p tu 4.1 解： （1）列出动平衡方程为： =+ =+ 0 0)( 2 2 1 2 . 2 2 2 2 1 21 . 1 1 q k q k q m q k q kk q m 故为静力耦联 （2）列出动平衡方程为： =+ =+ 0 0) 2 2 . 2 2 . 1 2 1 1 . 2 2 . 1 2 1 ( q k q m q m q k q m q m m 故为动力力耦联 （3）列出动平衡方程为： =+ =+ 0 0) 2 2 . 2 2 . 1 2 1 1 . 2 2 . 1 2 1 ( q k q m q m q k q m q m m 故为动力力耦联 （4）列出动平衡方程为： =+ =+ + + 0) 2 () 0)() 2 2 2 11 1 . 2 2 2 2 1 . 1 2 1 2 1 1 1 . 2 21 . 1 2 1 () 42 ( 2 ( q kh h kq hk q hmhm q hmh m q hk q k q hmhm q m m 故为动力力耦联 4.2 解：利用虚功原理： ukuukuWs 2211 2+= + + + = ll m m uuuuluuuu WI 12 . 1 . 2 2 21 . 2 . 1 1222 由 Ws WI 0 可得： 0) 63 2() 63 ( 2 . 1 . 221 . 2 . 11 =+ uuuuuuuu mm K mm K；由、 u1 u2 为任意数方程成立，故： =+ =+ 0 63 2 0 63 . 1 . 22 . 2 . 11 uuu uuu mm K mm K 写成矩阵形式为： = + 0 0 20 0 36 63 2 1 . 2 . 1 u u u u K K mm mm 运动特征方程为： （K- 2M）=0；可得： 0M-K 2 = 即： 0 3 2 6 63 2 2 = m k m mm k 结构得自振频率为： . 1= 1.5925 m k ； . 2= 3.0764 m k 。 设：；其中 n1,2 1 )( 2 = n 代入特征方程可得： 7342. 2 )1 ( 1 = ； 7321. 0 )2( 1 = 故结构的一阶振型为： = 1 7342. 2 1 故结构的二阶振型为： = 1 7321. 0 2 4.4 解：可知刚度：k1k 2 h EI 3 24 列出动平衡方程为： ( ) ( ) =+ =+ t t p ukukum p ukukkum 2 2212 . 22 1 22121 . 11 )( 代入刚度得： ( ) ( ) =+ =+ t EIEI t EIEI p u h u h um p u h u h um 2 2313 . 22 1 2313 . 11 2424 2448 写成矩阵形式为： ( ) ( ) = + t t EIEI EIEI p p u u hh hh u u m m 2 1 2 1 33 33 . 2 . 1 2 1 2424 2448 0 0 4.5 解： （1）对应得齐次方程为： = + 0 0 2424 2448 0 0 2 1 33 33 . 2 . 1 u u hh hh u u m m EIEI EIEI 运动特征方程为： （K- 2M）=0；可得： 0M-K 2 = 即： 0 2424 2448 2 33 3 2 3 = m EIEI EI m EI hh hh 结构得自振频率为： . 1= 3.0277 h m EI 3 ； . 2= 7.9267 h m EI 3 。 设：；其中 n1,2 1 )( 2 = n 代入特征方程可得： 6180. 0 )1 ( 1 = ； 6180. 1 )2( 1 = 故结构的一阶振型为： = 1 6180. 0 1 故结构的二阶振型为： = 1 6180. 1 2 （2） 、 故振型满足正交性。 0 1 6180. 1 16180. 0 . 21 = = T （3） 、根据公式： n T n n M M= ； Mn n n n = 得： m m m M 3819. 1 1 6180. 0 0 0 16180. 0 . 1 = = m m m M 6179. 3 1 6180. 1 0 0 16180. 1 . 2 = = 故标准化的振型为： = 8507. 0 5257. 0 1 1 1 1 m M n ； = 5257. 0 8506. 0 1 2 2 2 m M n ； （4） 、根据公式： n T n n K K= ； M K n n n = 得： h K EI K T 3 11 1 6684.12= = ； h K EI K T 3 22 2 3244.227= = hh M K m EI m EI 3 . 3 1 1 1 0277. 3 3819. 1 6684.12 = ； hh M K m EI m EI 3 . 3 2 2 2 9267. 7 6179. 3 3244.227