板壳力学ch5-大挠度理论.ppt

68-1,平板理论,第五章薄板的大挠度理论,平板理论,大挠度(也称为几何非线性?)问题的理论描述；经典求解方法。仍为小应变问题(Largedeformation,deflection,displacement),Mar.2012,板壳结构,68-2,5.1基本假定,平板理论,1)板单元的荷载与内力,Mar.2012,板壳结构,68-3,2)基本假定(1)板的挠度w与板厚t为同一数量级，但与板的平面尺寸相比较，仍为小量；(2)与挠度w相比较，中面位移u、v是很小的量；(3)变形前垂直于中面的直线，变形后仍为直线，且垂直于变形后的中面，并保持原长；保持原长：意味着z=0，板厚度不变；变形后仍为直线：意味着yz=zx=0，直法线假定；由于u、v引起的面内伸缩一致。(4)正应力z与x、y、xy相比，属于小量。,平板理论,Mar.2012,板壳结构,68-4,平板理论,与小挠度理论的不同点：中面内各点,由于挠度w将产生面内(纵向)位移u、v;由于中面位移u、v,将产生中面应变和应力；板内各层由于u、v产生伸缩变形一致。,小挠度理论,大挠度理论,Mar.2012,板壳结构,68-5,5.2薄板大挠度弯曲的基本方程,5.2.1中面应变分量与应变协调方程设坐标系oxy与板中面重合，z轴向下为正。当平板弯曲时，中面上点P(x,y,z)的位移为u、v、w，在x,y方向的正应变为x、y,剪应变为xy,中面的曲率及扭率为Kx、Ky。,平板理论,Mar.2012,板壳结构,68-6,平板理论,1)中面的曲率及扭率,根据直法线假定;且薄板各层由于u、v产生的伸缩变形是均匀的;u、v对挠曲变形w没有影响。因而，大变形条件下，挠曲变形模式与小挠度理论中相同，故此，两种理论下，中面曲率和扭率表达式相同。即,Mar.2012,板壳结构,68-7,平板理论,2)中面应变中面应变x、y、xy，仅由u、v、w产生。,Mar.2012,板壳结构,68-8,平板理论,(1)由u、v产生的应变微元的AB线变形变形前长度为dx，变形后长度为ds1,由此长度变化产生的应变为,Mar.2012,板壳结构,68-9,平板理论,微元的AC线变形变形前长度为dy，变形后长度为ds2。,由此，同理可得dy长度变化产生的应变,Mar.2012,板壳结构,68-10,平板理论,微元的AB、AC线角变形,AB线角变形,BC线角变形,则，剪应变为,Mar.2012,板壳结构,68-11,平板理论,(2)由w产生的应变微元的AB线因w产生的长度变化，变形后长度为ds3；AC线因w产生的长度变化，变形后长度为ds4。,Mar.2012,板壳结构,68-12,平板理论,微元AB线因w产生的长度变化，变形后长度为ds3,由此长度变化产生的应变为,Mar.2012,板壳结构,68-13,平板理论,微元AC线因w产生的长度变化，变形后长度为ds4,由此长度变化产生的应变为,Mar.2012,板壳结构,68-14,平板理论,微元AB、AC线因w产生的角变形xy由上节几何关系可求得,则,(A),Mar.2012,板壳结构,68-15,平板理论,BAC变形前为直角(/2),变形后为/2-xy,则由余弦定理可求得,(C),因为xy为小变形，即有,则式(B)简化为,(B),Mar.2012,板壳结构,68-16,平板理论,由式(A)=式(C)可得到,经过简化可得因w产生的剪应变,Mar.2012,板壳结构,68-17,平板理论,(3)总应变大变形条件下，薄板中面上的应变,几何非线性项,Mar.2012,板壳结构,68-18,平板理论,大变形条件下，薄板上距中面为z的点的变形,Mar.2012,板壳结构,68-19,平板理论,由直法线假定,得到大变形条件下,薄板上距中面为z的点的应变,Mar.2012,板壳结构,68-20,平板理论,大变形条件下，薄板的应变模式,Mar.2012,板壳结构,68-21,平板理论,大变形条件下，薄板上距中面为z的点的应变,m=membrane薄膜(合力作用在面内)；b=bending弯曲(合力作用在面外)。,Mar.2012,板壳结构,68-22,平板理论,3)应变协调方程相容方程(中面连续条件),x、y、xy是u、v、w的函数,u、v、w是坐标x、y的函数，则x、y、xy相互关联。对x关于y求导两次，对y关于x求导两次，对xy关于x、y各求导一次，得到,上式为薄板大挠度弯曲中面应变协调方程，或称为中面连续条件。满足连续条件，中面不发生撕裂，也不发生皱褶。,Mar.2012,板壳结构,68-23,平板理论,5.2.2应力分量、内力、内力矩,1)应力分量由虎克定律及小挠度理论的前两个假定可得,距中面为z的点的应力为,Mar.2012,板壳结构,68-24,平板理论,其中，x、y、xy为中面应力，称为薄膜应力。,Mar.2012,板壳结构,68-25,平板理论,大变形条件下，薄板的应力模式,Mar.2012,板壳结构,68-26,平板理论,大变形条件下，薄板上距中面为z的点的应力,Mar.2012,板壳结构,68-27,平板理论,2)内力与内力矩(1)内力矩、横向力与薄膜力无关,因而,与小挠度理论表达式相同,内力矩为(面内应力沿板厚积分)：,Mar.2012,板壳结构,68-28,平板理论,横向剪力(通过与弯矩的关系式得到)为：,Mar.2012,板壳结构,68-29,平板理论,根据直法线假定,薄膜应力x、y、xy沿板厚均匀分布,则中面力薄膜力可表示为(沿板厚积分)：,(2)中面内力薄膜力,单位宽度的中面力?,Mar.2012,板壳结构,68-30,平板理论,中面应变与内力的关系,Mar.2012,板壳结构,68-31,平板理论,将内力代入应力表达式，得到用内力表示的应力,上式中，第一项为薄膜应力，第二项为弯曲应力。在小挠度理论中，薄膜应力为0。,Mar.2012,板壳结构,68-32,平板理论,5.2.3基本微分方程,与小挠度理论不同:板单元的内力增加了薄膜内力;建立平衡方程的条件：板的状态?,Mar.2012,板壳结构,68-33,平板理论,1)基本方程根据板微元的平衡方程，确定力与变形间的关系。,(1)由Fx=0,(2)由Fy=0,(1),(2),Mar.2012,板壳结构,68-34,平板理论,(3)由Fz=0横向内力及荷载产生的分量,薄膜力产生的分量,Nx因板挠曲变形在z向产生的分量为,Mar.2012,板壳结构,68-35,平板理论,略去高阶项，变为,Mar.2012,板壳结构,68-36,平板理论,同理，Ny因板挠曲变形在z向产生的分量为,Nxy、Nyx因板挠曲变形在z向产生的分量,Mar.2012,板壳结构,68-37,平板理论,Nxy、Nyx因板挠曲变形在z向产生的分量为,Mar.2012,板壳结构,68-38,平板理论,z向内力平衡方程,将Fx=0、Fy=0的平衡条件代入Fz=0，简化可得,(3),Mar.2012,板壳结构,68-39,平板理论,(4)由力矩平衡M=0条件Mz=0得到,(剪力互等),Mx=0得到,My=0得到,Mar.2012,板壳结构,68-40,平板理论,将Qx、Qy代入式(3)得到挠曲方程或控制微分方程,说明：上式中的中面内力Nx、Ny、Nxy是由横向剪力q引起的，而不是由面内纵向荷载引起，所以，Nx、Ny、Nxy是未知的。因而，方程式(4)有4个未知量w和Nx、Ny、Nxy，也即方程组(1)、(2)、(4)有4个未知数，不能求得唯一解，需要考虑变形协调关系。,(4),Mar.2012,板壳结构,68-41,平板理论,将应变x、y、xy与中面内力Nx、Ny、Nxy的关系代入应变协调方程，可得到,(5),为了简化方程，引入应力函数F(x,y)，且令,Mar.2012,板壳结构,68-42,平板理论,(6b),应力函数F(x,y)与中面内力的关系显然满足式(1)、(2)；将应力函数F(x,y)与中面内力的关系引入式(4)、(5)，可得,式(6)为平板大挠度弯曲平衡方程,由VonKarman1910年导出。根据边界条件求解上式，可得到挠度w、应力函数F，进而求得板的内力。,(6a),Mar.2012,板壳结构,68-43,平板理论,上式为平板小挠度弯曲平衡方程,即中面不发生面内变形时，大挠度弯曲问题退化为小挠度弯曲问题。高层建筑结构设计中的刚性楼板问题，如何解释：面内为刚性；面外为弹性。板的实际变形(与厚度之比)?工程上的精度要求?,2)特殊情形(1)刚性板板中面为中性面，即中面薄膜力为0，式(6)中可取F(x,y)=0，基本平衡方程变为,Mar.2012,板壳结构,68-44,平板理论,上式为膜的平衡方程,横向荷载由中面内力平衡。,(2)柔性板薄板弯曲刚度很小,与中面薄膜力相比,弯曲应力可以忽略，令D=0，薄板弯曲刚度为0，称为绝对柔性板。基本平衡方程变为,Mar.2012,板壳结构,68-45,平板理论,大挠度弯曲方程求解w、F，需给出相应的边界条件。关于w的边界条件与小挠度理论相同；关于F的边界条件需要增加。,5.2.4边界条件,1)边界上有已知力Nx、Ny、Nxy边界条件为,x=a,y=b,Mar.2012,板壳结构,68-46,平板理论,上列边界条件不能直接应用,需进行变换，将位移与应力函数联系起来。,2)边界上有已知位移u、v边界条件为,y=b,中面正应变x,(a),Mar.2012,板壳结构,68-47,平板理论,上式中的未知，不能直接采用，需要进一步转换。,上式对y积分得到,中面剪应变xy,Mar.2012,板壳结构,68-48,平板理论,令上式=(a)式,简化后得到,在关于x求导得到,上式关于y求导，得到,(b),式(a)、(b)为所得到的y=b的边界条件。,Mar.2012,板壳结构,68-49,平板理论,特殊情形：当y=b处，u=v=0，则边界条件变为,(a),(b),Mar.2012,板壳结构,68-50,平板理论,相应的边界条件为,3)边界纵向(面内)无约束，即x=0时，x、y方向中面力为0,y=0,Mar.2012,板壳结构,68-51,5.3无限长薄板的大挠度弯曲,平板理论,1)几何形式与荷载荷载为：q=q(x)道路?因板为无限长，如图所示,丄y的轴均为对称轴,则内力与变形的特征为,Mar.2012,板壳结构,68-52,平板理论,2)平衡方程,由Fx=0得,或,由Fz=0得,令,方程变为,(a),Mar.2012,板壳结构,68-53,平板理论,由几何方程可得,3)求解因x轴为对称轴，w=w(x)，则v=0，y=0,由物理方程可得,(b),由(a)、(b)组成的方程组，利用u的边界条件，可求得Nx、w的表达式。,Mar.2012,板壳结构,68-54,5.4变分法求解技术,平板理论,1)变形能表达式薄板的变形能包括：弯曲变形能Ub和薄膜应变能Um。弯曲变形能Ub：,Mar.2012,板壳结构,68-55,平板理论,将关系式,薄膜应变能Um：,代入上式得到,Mar.2012,板壳结构,68-56,平板理论,用应力表示,用应变表示,用应力函数表示,Mar.2012,板壳结构,68-57,平板理论,用位移表示,Mar.2012,板壳结构,68-58,平板理论,2)外力功,3)总势能,Mar.2012,板壳结构,68-59,2)李兹(Ritz)法设位移函数u、v、w分别为：,平板理论,其中，函数um、vm、wm(m=1,2,)均满足边界条件，Am、Bm、Cm为互不相关的独立待定参数,试函数,Mar.2012,板壳结构,68-60,平板理论,将函数u、v、w代入总势能方程,可得到关于Am、Bm、Cm的代数方程,根据最小势能原理,对分别关于Am、Bm、Cm求导,且令相应的导数等于0，则得到关于Am、Bm、Cm的方程组,由以上方程可求得Am、Bm、Cm，进而即可得到位移函数u、v、w。,Mar.2012,板壳结构,68-61,5.5圆形薄板大挠度弯曲的基本方程,平板理论,1)平衡方程利用直角坐标系与柱面坐标系间的变换关系，有,若取r轴与x轴重合，又有,Mar.2012,板壳结构,68-62,平板理论,极坐标系下的平衡方程,其中,Mar.2012,板壳结构,68-63,平板理论,2)内力表达式中面内力：,Mar.2012,板壳结构,68-64,平板理论,弯矩：,