代数基本定理的几种证明

.2014-3050-021 注：教师姓名后留有一个空格，后面填写教师职称。下面加下划线。阅后删除此文本框。 本科毕业论文（设计）代数基本定理的几种证明学生姓名：黄容学号：1050501021系院：数学系专业：数学与应用数学指导教师：覃跃海 讲师 提交日期：2014年4月27日毕业论文基本要求1毕业论文的撰写应结合专业学习,选取具有创新价值和实践意义的论题.2论文篇幅一般为理科以3000至5000字为宜.3论文应观点明确,中心突出,论据充分,数据可靠,层次分明,逻辑清楚,文字流畅,结构严谨.4论文字体规范按广东第二师范学院本科生毕业论文管理办法（试行）和“论文样板”执行.5论文应书写工整,标点正确,用微机打印后,装订成册.本科毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计）,是本人在指导老师的指导下,独立进行研究工作所取得的成果,成果不存在知识产权争议,除文中已经注明引用的内容外,本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担.学生签名： 时间： 年 月 日关于论文（设计）使用授权的说明本人完全了解广东第二师范学院关于收集、保存、使用学位论文的规定,即：1.按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；2.学校有权保存学位论文的印刷本和电子版,并提供目录检索与阅览服务,在校园网上提供服务；3.学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；本人同意上述规定.学生签名： 时间： 年 月 .摘 要代数基本定理是代数学上一个重要的定理,甚至在整个数学上都起着基础作用.最早在1629年由荷兰数学家吉拉尔在他的论著代数新发现提出, 然而没有给出证明.1637年迪卡儿也都提出这个定理,但同样没有给出证明.一直到一百年多后, 于1746年达朗贝尔才给出第一个证明.到十八世纪后半叶,欧拉等人也给出一些证明,然而这些证明都不够严格,都先是假设了一些条件,然后才得出证明.直到1799年高斯才给出了第一个实质的证明.在二十世纪以前该定理对于代数学都是起着核心的作用，因为代数学所研究的对象都是建立在复数域上的, 因此也就之称为代数基本定理.然而直到现在该定理却还是没有纯代数证法,用纯代数证明该定理却是十分困难的,很多人相信根本不存在纯代数的证法.不过后来随着复变理论的发展,该定理已成为其他一些定理的推论了,用复函数理论可以很完美的证明了.现在据说也已经有了两百多种证法.虽然前人已做了很多研究,但从多方面知识总结这些证明还是很有意义的.本论文基于多项式、柯西积分定理、儒歇定理、刘维尔定理、最大模定理和最小模定理这几个方面介绍了代数基本定理的几种证法.关键词：代数基本定理；多项式；柯西积分定理；儒歇定理；刘维尔定理AbstractFundamental Theorem of Algebra is one of the important theorem of algebra, and even in the whole of mathematics plays a fundamental role. First in 1629 by the Dutch mathematician Girard in his treatise Algebra newly discovered put forward, but he did not give proof. In 1637, Descartes are also raised this theorem without proof. Been to more than a hundred years later, Jean le Rond dAlembert was given the first proof in 1746. Until 1799 Gauss was given the first real proof in the twentieth century before the theorem of algebra for all plays a central role, because the object being studied algebra are built on complex field, so its called the fundamental Theorem of Algebra. However, until now the theorem is no purely algebraic proofs, many people believe that it does not exist. With the development of complex variable theory, this theorem has become a corollary of some other theorem, and with a complex function theory can be proved perfectly. Now said to have already had more than two hundred kinds of proofs.Although the fundamental theorem of algebra predecessors have done a lot of research. Summarize these methods still makes sense. This paper based on polynomial, Cauchy integral theorem, Roches theorem, Lowville Theorem, the maximum modulus theorem and the minimum modulus theorem.Key Words：Fundamental Theorem of Algebra; Polynomial; Cauchy integral theorem; Roches theorem; Lowville Theorem目 录摘 要IAbstractII1. 引言- 1 -2.1. 利用多项式证明- 1 -2.1.1. 引理- 1 -2.1.2. 利用多项式证明代数基本定理- 2 -2.2. 利用柯西积分定理证明- 3 -2.2.1. 柯西积分定理- 3 -2.2.2. 利用柯西积分定理证明代数基本定理- 3 -2.3. 利用刘维尔定理证明- 5 -2.3.1. 刘维尔定理- 5 -2.3.2. 利用刘维尔定理证明代数基本定理- 5 -2.4. 利用儒歇定理证明- 6 -2.4.1. 儒歇定理- 6 -2.4.2. 利用儒歇定理证明代数基本定理- 6 -2.5. 利用最大模定理证明- 7 -2.5.1. 最大模定理- 7 -2.5.2. 利用最大模定理证明代数基本定理- 8 -2.6. 利用最小模定理证明- 8 -2.6.1. 最小模定理- 8 -2.6.2. 利用最小模定理证明代数基本定理- 8 -3. 总结- 9 -参考文献- 10 -致谢.-12 -.代数基本定理的几种证明1. 引言一元一次方程只有一个实数根,而在复数域内有两个根,那么一元N次方程在复数域上会不会有N个根？另外,在积分运算中部分分式法也有与这样的问题,所有实系数多项式是不是都可以分解成一次因式的乘积或者分解成实系数的一次因式和二次因式的乘积？上述这些问题关键在于证明代数基本定理.根据钟玉泉编写的复变函数论,代数基本定理的具体描述为：任何n次多项式方程在复数域中至少有一个根.根据该定理我们可以直接得到一个结果,在复数域内对于所有n次多项式方程有且只有n个根.可见证明代数基本定理意义十分重要.这个定理最早在1629年由荷兰数学家吉拉德在他的论著代数新发现中提出，但没有得到证明。后来笛卡儿，欧拉和麦克劳林也提到了这个定理，但没有证明。直到1746年，达朗贝尔第一个证明了这个定理，但还是有缺点。拉格朗日于1772年再一次证明了这个定理。但这些证明都不够严格，都是假定了一个先决条件是给定才证明的。人们通常认为这个定理最早是由高斯给出的，其基本思路如下：设为n次实系数多项式,记(x,y为实数),因为,即与,与分别表示坐标平面上两条曲线与,通过对曲线作定性研究,这两条曲线必然有一个交点,从而有,即,所以便是代数方程的一个根,得证.通常认为这是代数基本定理第一个严格的证明.不过就现代的标准来看其证明仍然是不够严格的.而现在,据说已有两百多种证法.接下来,我们讨论的是代数基本定理的证明.2. 代数基本定理的证明2.1. 利用多项式证明2.1.1. 引理在这里先介绍一条引理.设是实系数多项式,（且,C为复数域）,则的充要条件是：.引理显然成立,下面证明代数基本定理.2.1.2. 利用多项式证明代数基本定理设是实数域上的n次多项式,则f(x)在复数域上至少有一根 证明：如果x=0是f(x)的根,则定理得证如果x=0不是f(x)的根,则必有0, 因此只需要证明方程 (1)关于x有非零解。由引理可得,当x0时,方程（1）与 （2）等价.对方程（2）中分别另m=0,1,2, ,n-1,可得如下方程组： （3） 当x0时,方程组（3）和方程（1）同解,又方程组（3）可写成： （4）这是关于变量的齐次线性方程组,其系数行列式是（2n)*(2n)阶行列式.因为,故（4）有非零解,又1,0,0不是（4）的解,所以（4）有异于1,0,0的解,因此方程(1)有非零解.即f(x)在C上至少有一非零根.定理得证.2.2. 利用柯西积分定理证明2.2.1. 柯西积分定理设C是z平面上单连通区域D内的任意一条周线,函数f(z)在D内解析,则.这便是柯西积分定理.在附加假设“D内连续”的条件下黎曼得到了一个简单的证明：令 ,则,而在D内连续,导致ux,uy,vx,vy在D内连续,并适合C.-R.方程：ux=vy,uy=vx.由格林定理,故得.2.2.2. 利用柯西积分定理证明代数基本定理任何次数n=1的复系数多项式在复系数域中至少有一个根.证明：（反证法）设多项式若f(z)没有零点,则在整个复平面上解析.所以对任意充分大的R0,.由柯西积分定理得：,从而 （*）而其中为整个复平面上的解析函数.因此当时,.又,所以与（*）比较得：n=0,这与已知条件矛盾.定理得证.2.3. 利用刘维尔定理证明2.3.1. 刘维尔定理定义：在整个复平面上解析的函数称为整函数.如多项式,ez,cos z及sin z都是整函数.而刘伟尔定理便是：有界函数f(z)必为常数.这是一个非局部性命题,也是模有界定理,其逆也真,即：常数是有界整函数；此定理的逆否定理为：非常数的整函数必无界.证明：设是有界整函数,即,使得,在上解析所以.令,可见,从而在上恒等于常数.2.3.2. 利用刘维尔定理证明代数基本定理设,是z平面上一n次多项式,则在z平面上p(z)至少有一个零点.证明：反证法.假设p(z)在z平面上没有零点.而p(z)在z平面上是解析的,则在z平面上也必解析.下面证明在z平面上有界.由于存在足够大的正数R,使当|z|R时,|1.又因在闭圆|z|R上连续,故可设（正常数）,从而,在z平面上,也就是说,在z平面上解析并且有界.由刘伟尔定理可知必为常数,即p(z)一定是常数.这与假设矛盾了.因此定理得证.2.4. 利用儒歇定理证明2.4.1. 儒歇定理设C是一条周线,f(z)符合以下的条件：（1） f(z)在C的内部除可能有极点外是解析的；（2） f(z)在C上解析且不为0.则有其中N（f,c)表示f(z)在C内部零点与极点的个数.儒歇定理：设c是一条周线,函数f(z)及满足条件：（1） 他们在c的内部解析,且连续到c;（2） 在c上,则函数f(z)与在c的内部有同样多零点（n级算作n个）.即.2.4.2. 利用儒歇定理证明代数基本定理接下来利用儒歇定理证明代数基本定理,这个证明和其它证明方法比较,其中一个优点是不仅证明了多项式至少有一个零点并且指出零点的个数和多项式的次数相等（计算重数）.任一n次方程有且只有n个根.证明：令当z在充分大的圆周C：|z|=R上时,例如取,则有由儒歇定理可知,在圆|z|R内方程与方程有相同个数的根,而在|z|R内有一个n重根z=0.因此原n次方程在|z|R内有n个根.另外在圆周|z|=R上,或者在圆周的外部,任取一点z0,则,于是也就是说方程在圆周|z|=R上及其外部都没有根.因此n次方程有且只有n个根.2.5. 利用最大模定理证明2.5.1. 最大模定理复变函数论中,最大模定理是有关函数值的模的一个很有用的定理,若函数f是一个全纯函数则它的模在其定义域内部不可能取到局部最大值.可具体表示为：设f在复平面C上连通开区域D内解析,并且恒不为常数,则在区域D内|f|于任意点都取不到最大值.2.5.2. 利用最大模定理证明代数基本定理还是用反证法.假设在复平面C上没有零点,即,则在C平面上解析,显然当且充分大时,有因此,在上并且充分大时,有由最大模原理,有,并且我们可以得到：,我们知道,而这对于R取充分大显然不成立,所以假设不成立,也就是说一元次方程在内至少有一个根.定理得证.2.6. 利用最小模定理证明2.6.1. 最小模定理是区域D内不恒为常数的解析函数,若在D内有使得,则在D内的最小值不可能是.2.6.2. 利用最小模定理证明代数基本定理设,因为,取正数,则有 （1）另外其中取正数R,使得当时有：,且从而在|z|=R上有： （2）由在上连续且不为常数,因此由（1）（2）可得在D内部取得最小模,因此由最小模原理可知,在内至少存在一个零点.最大模原理和最小模原理对代数基本定理证明的证明方法都是很相似的,关键是要找到在区域内能达到最大值或最小