小升初数学衔接班第7讲——重新认识图形

小升初数学衔接班第7讲重新认识图形一、学习目标：通过学习三角形的边角关系及中线、高线、角平分线等内容，体会初中几何与小学的不同，掌握基本的推理、论证的方法，以便更快适应中学的学习。二、学习重点：学会基本的推理、论证的方法。三、课程精讲：1、知识回顾在小学，我们学习过一些几何图形，比如三角形：（1）三角形内角和（量一量、拼一拼，找出规律）（2）三角形三边的关系（摆一摆，找出规律）提问：在测量三角形的内角和时，你真能测量得绝对精确、没有一点误差吗？在把三角形的内角拼接为一个平角时，你真的认为能拼成一个平角吗？会不会只是很接近平角呢？在用小棍摆三角形时，你发现了两边之和必须要大于第三边。这个结论对所有长度的小棍都成立吗？你没有摆的其他长度也是这样吗？2、新知探秘知识点一 为何要推理？例1、图（1）中，线段AB、CD哪一条长？图（2）中，线段AB、AC哪一条长？图（3）中，两个带阴影的椭圆哪一个大？图（4）中，两条直线之间一样宽吗？知识点二 推理的依据推理时要做到言必有据，那什么是推理的依据呢？这就是学过的定义、公理和定理。（1）定义：对于一个名词或术语的意义的说明就叫做定义。比如，射线的定义为“直线上一点和它一旁的部分叫做射线”、角的定义为“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”等。（2）公理：被人类长久以来的实践所证实，作为推理依据的事实叫做公理。比如，“经过两点有且只有一条直线”、“在所有连接两点的线中，线段最短”等。（3）定理：用逻辑推理的方法判断为正确的命题叫做定理。以后，我们将会学习到许多定理。例2、已知，如图，D是AB中点，E是AC中点，且ABAC。求证：ADAE。思路导航：有同学认为这显然成立，却不能说出推理的依据，这是不可取的。解答：D是AB中点（已知）（线段中点定义）E是AC中点（已知）（线段中点定义）又ABAC（已知）（等式的性质）即ADAE（等量代换）点津：要养成“讲道理”的习惯，初学时应在每一步之后注明推理的依据。在小学阶段，“三角形内角和为180”的证明，需要用到平行线的相关性质；而证明“三角形两边之和大于第三边”要用到公理“在所有连接两点的线中，线段最短”。例3、如图，已知ABC中，ABAC4，P是BC上任意一点，PDAB于D，PEAC于E，若ABC的面积为6，求PDPE的值。思路导航：仔细体会题目意思，“P是BC上任意一点”，明确是要求出P在BC上的任何位置时，PD PE的值。再进一步分析，若PD PE的值不变的话，只要假设P在某个特殊的位置，就能比较方便地求出PDPE的值了。但这并不是推理证明。解答：连接APPDAB（已知）（三角形面积公式）PEAC（已知）（三角形面积公式）（等式的性质）即（等式的性质）点津：这里的线段AP是我们为了解题方便而作出来的，这叫做辅助线。通常辅助线用虚线表示。添加辅助线来解题，是我们以后解几何题时常用的办法。在中学，对于解答题，并不是只要求出得数即可，而应重视解答过程中的论证及其依据。知识点三 三角形的外角三角形一条边的延长线与其相邻的一条边组成的角，叫做三角形的外角。关于三角形的外角有如下定理：定理1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。定理2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。定理3：三角形的外角和为（每个顶点处的外角只取其中一个）。在中学学习中，同学们一定不能只注重结论，还必须弄清楚其来源和推理过程。例4、已知：如图，在中，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点。求的度数。思路导航：无论解答题还是证明题，其解答或证明过程都是将已知条件和结论联系起来。因此，我们的任务就是将“”与“”联系起来，过程中可能会用到条件“BE是AC边上的高，CF是AB边上的高”。解答：BE是AC边上的高CF是AB边上的高（已知），（高线定义）在中，（三角形内角和定理）（已知）（已证）（等式的性质）即在中，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）（已证）（已证）点津：有的同学认为只有证明题才需要推理依据，计算题与证明题不同，只要算出得数即可。这个观念是极其错误的，计算题在计算过程中也存在着推理论证，也要求言之有据！知识点四 三角形的角平分线在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做这个三角形的角平分线。例5、已知：如图，中，AD是角平分线，。求的度数。思路导航：由于已知，所以，为求的度数，只需再知道的度数就可以了。为求，只需再知道的度数就可以了。为求，只需知道和的度数就可以了。而和的度数已知，所以，问题得解。解答：在中，（三角形内角和定理）（等量减等量，差相等。可简称为等式的性质）又，（已知）（等量代换）又AD平分（已知）（角平分线定义）（等量代换）在中，（三角形内角和定理）（等式的性质）（等量代换）点津：我们在分析题目的过程中，经常使用“要求什么，只要求什么”的思维方法，这种思维方法即为分析法，是一种很常用的方法，在分析解题思路时很有用。我们在分析、听讲、阅读几何问题时，一定要结合几何图形来进行。四、知识提炼导图：五、目标期望：通过本讲的学习，希望同学们了解初中研究几何的方法与小学不同，主动、自觉地培养自己理性思维的习惯，即演算、论证过程要言之有据。希望同学们在后续的学习过程中，形成这样的观点：学习几何的过程中最重要的不是许许多多的结论，而是如何得出这些结论的过程！本讲选用三角形为例来说明以上观点，希望同学们能用新的观点重新研究小学的一些结论（比如三角形的内角和、三边的大小关系等），多思考为什么能得出这些结论。六、下讲预告：著名数学教育家波利亚如是说：“要想成为一个好的数学家，你必须首先是一个好的猜想家，数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明，但这个证明是由合情推理、由猜想来发现的。”国家义务教育课程标准中明确指出“培养学生创新意识”、“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”下一讲，我们将学习如何观察、实验、猜测，它们是创造的基石。【同步练习】（答题时间：45分钟）1、火眼金睛：（1）下列说法中正确说法的个数是（ ）钝角三角形有两条高在三角形内部；三角形三条高至多有两条不在三角形内部；三角形三条高的交点不是在三角形内部，就是在三角形外部；钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部。A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个（2）如果三角形三边长分别为、，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. （3）一个等腰三角形的周长是11，其中一边长是3，则其他两边长是（ ）A. 3和5B. 4和4C. 3和5或4和4D. 不能确定（4）五条线段的长分别为1，2，3，4，5，以其中三条线段为边长可以构成的三角形的个数为（ ）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个（5）如图，满足下列（ ）关系式A. B. C. D. 2、对号入座：（1）已知：如图，中，OA、OB分别平分、，若，则 ；（2）已知：如图，AD、AE分别是的高和角平分线，若，则 ， ， ；（3）已知中，垂足为D、E，AD6，BC10，BE8。则AC的长为_；（4）已知中，AD平分，AE是BC边上的高，则_；（5）已知：如图，BE、CE是、的平分线，BF、CF是、的平分线，则 ， 。3、牛刀小试：（1）已知：如图，中，AE平分。求证：。（2）已知：中，D为AB边上一点，且ADAC，求证：。【试题答案】1、火眼金睛：（1）A 解析：钝角三角形只有一条高在三角形内部，错；三角形三条高不能都不在内部，对；三角形三条高的交点可以在定点处，错；钝角三角形三个内角的平分线的交点一定在三角形内部，错。（2）C 解析：因为，边最长，所以只要满足即可，解得。（3）C 解析：若3为腰长，则底边为；若3为底边长，则腰长为；均能构成三角形。（4）A 解析：较短边为1和2时，均不能构成三角形；较短边为1和3时，均不能构成三角形；较短边为1和4时，均不能构成三角形；较短边为2和3时，能构成三角形的只有2、3、4；较短边为2和4时，能构成三角形的只有2、4、5；较短边为3和4时，能构成三角形的只有3、4、5。（5）A 解析：。2、对号入座：（1）（2