八上反比例函数的几种解题技巧

.反比例函数的几种类型解题技巧摘要：由反比例函数的图像和性质衍生出了好多数学问题，这对“数形结合”思想还有点欠缺的中学生来说无疑是一个难点。关键词：反比例函数、函数图象、函数性质一、给出自变量x的取值范围，让我们判断函数值y的范围；能把函数的图像正确的画出来，我们解决这种问题就相对比较直观，也比较简单，但是对于中学生来说好多学生不能对函数的图像有一个很好的掌握：1、反比例函数y= ( k0),当xa或xb（a、b是非零常数）时，求y的取值范围。这种问题只需要把这里的a或b代入函数的解析式中，得到y的值或，对应的y的取值范围就是y或y，由于反比例函数y= 当k0时，y随x的增大而减小。例如：函数y=,当x1时，y的取值范围就是y2；当x2时y的取值范围就是y1。2、反比例函数y= ( k0),当xa或xb（a、b是非零常数）时，求y的取值范围。我们同样把这里的a或b代入函数的解析式中，得到y的值或，对应的y的取值范围就是y或y，由于反比例函数y= 当k0时，y随x的减小而增大。例如：函数y=,当x1时，y的取值范围就是y2；当x2时y的取值范围就是y1。3、反比例函数y= （k0），当axb，a、b同号时，求y的取值范围。我们还是把这里的a、b代入函数的解析式中，得到y的值、，然后对、按小到大排序，排好序后他们之间用“y”连接即可。若，则y的取值范围就是y。例如：函数y=，当3x1时求y的取值范围，把3和2代入解析式得到的y的值为和2,则y的取值范围就是2y。4、反比例函数y= （k0），当axb，a*b0时，求y的取值范围。同样先是把这里的a、b代入函数的解析式中，得到y的值、，然后对这里的、进行大小比较，y的取值范围是“大于大的，小于小的”。若则y的取值范围就是y，y。例如：函数y=，当2x2时求y的取值范围，把2和2代入解析式得到的y的值为1和1,则y的取值范围就是y1，y1。二、已知反比例函数图像上的若干个点，知道横坐标的大小关系，让我们来判断纵坐标的大小关系；对于这种问题，如果能正确的画出反比例函数的图像，并会熟练的分析反比例函数的图像，那么这类问题也很容易解决，但面对一些实际情况，我们只能寻找一些学生更容易例接受的方式，下面我就对这些问题稍作分析：1、反比例函数y= ( k0)，点A1(X1,Y1),A2(X2,Y2)An(Xn,Yn)都在反比例函数的图像上，已知X1X2X3Xn（X1、X2、X3Xn同号），求Y1，Y2，Y3Yn的大小关系。这个问题我们直接利用反比例函数的性质（当k0时，y随着x的增大而减小），很容易得到Y1Y2Y3Yn。例如：已知函数y=，点A(1,Y1),B(,Y2),C(2, Y3)在函数的图像上，求Y1，Y2，Y3的大小关系。由于12，按照上面方法很容易得到Y2Y1Y3。2、反比例函数y= ( k0)，点A1(X1,Y1),A2(X2,Y2)An(Xn,Yn)都在反比例函数的图像上，已知X1X2X3Xn（X1、X2、X3Xn同号），求Y1，Y2，Y3Yn的大小关系。这个问题我们直接利用反比例函数的性质（当k0时，y随着x的增大而增大），很容易得到Y1Y2Y3Yn。例如：已知函数y=，点A(1,Y1),B(,Y2),C(2, Y3)在函数的图像上，求Y1，Y2，Y3的大小关系。由于12，按照上面方法很容易得到Y2Y1Y3。3、反比例函数y= ( k0)，点A1(X1,Y1),A2(X2,Y2)An(Xn,Yn)都在反比例函数的图像上，已知X1X2Xk0Xk+1Xn,求Y1，Y2，Y3Yn的大小关系。这个问题就不能像上面一样直接比较，A1、A2An这些点的横坐标中间被“0”隔开，做这类问题要分两块来进行解决。我们首先要分清楚每个点所在的函数图像在哪个象限，在每个象限内我们还是按照1和2的比较方式进行就可以了。反比例函数y= ，当k0时，它的图像在一、三象限，并且在函数图象的每一支上，y随着x的增大而减小。但不论怎样，第一象限内图像的每一个点对应的y值都比第三象限内图像的每一点对应的y值要大。因此我们恒有Ak+1An这些点所对应的y值要比A1Ak点对应的y值要大。Y1，Y2Yk的大小顺寻很容易判断是：Y1Y2Yk；Yk+1, Yk+2 Yn的大小顺序是：Yk+1 Yk+2 Yn。综上我们得到Y1，Y2，Y3Yn的大小关系是：Yk+1 Yk+2 YnY1Y2Yk；如果不考虑这么多，用一句简单化来概括的话就是：反比例函数y= ，k0时，图像上任意的点，横坐标为正的点对应的y值比横坐标为负的点对应的y值要大，若横坐标的符号相同时我们就按照反比例函数的性质进行比较即可。例如：已知函数y=，点A(1,Y1),B(,Y2),C(2, Y3)，D(2.5,Y4)在函数的图像上，求Y1，Y2，Y3，Y4的大小关系。解析：k=2是大于零的，A,B,C,D四点的横坐标有正有负，横坐标为正的点对应的y值比横坐标为负的点对应的y值要大，因此肯定有Y3，Y4要大于Y1，Y2，当k0时在反比例函数图像的每一支上，y随着x的增大而减小，因此有Y4 Y3, Y2Y1 ,进而Y1，Y2，Y3，Y4的大小关系是：Y2Y1Y4 Y3。4、反比例函数y= ( k0)，点A1(X1,Y1),A2(X2,Y2)An(Xn,Yn)都在反比例函数的图像上，已知X1X2Xk0Xk+1Xn,求Y1，Y2，Y3Yn的大小关系。同样A1、A2An这些点的横坐标中间被“0”隔开，首先还是要分清楚每个点所在的函数图像在哪个象限，在每个象限内我们还是按照1和2的比较方式进行就可以了。反比例函数y= ，当k0时，它的图像在二、四象限，并且在函数图象的每一支上，y随着x的增大而增大。但不论怎样，第二象限内图像的每一个点对应的y值都比第四象限内图像的每一点对应的y值要大。因此我们恒有A1Ak这些点所对应的y值要比Ak+1An点对应的y值要大。Y1，Y2Yk的大小顺寻很容易判断是：Y1Y2Yk；Yk+1, Yk+2 Yn的大小顺序是：Yk+1 Yk+2 Yn。综上我们得到Y1，Y2，Y3Yn的大小关系是：Yk+1 Yk+2 YnY1Y2Yk；如果不考虑这么多，用一句简单化来概括的话就是：反比例函数y= ，k0时，图像上任意的点，横坐标为负的点对应的y值比横坐标为正的点对应的y值要大，若横坐标的符号相同时我们就按照反比例函数的性质进行比较即可。例如：已知函数y=，点A(1,Y1),B(,Y2),C(2, Y3)，D(2.5,Y4)在函数的图像上，求Y1，Y2，Y3，Y4的大小关系。解析：k=2是小于零的，A,B,C,D四点的横坐标有正有负，横坐标为负的点对应的y值比横坐标为正的点对应的y值要大，因此肯定有Y1，Y2要大于Y3，Y4，当k0时在反比例函数图像的每一支上，y随着x的增大而增大，因此有Y1 Y2, Y3Y4 ,进而Y1，Y2，Y3，Y4的大小关系是：Y3Y4Y1 Y2。反比例函数中的面积问题 一、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|PN|=|y|x|=|xy| xy=k 故S=|k| 从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k| 对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为： 结论2：在直角三角形ABO中，面积S= 结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k| 结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k| 1已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k）例1如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则 分析：连结OB，E、F分别为AB、BC的中点 而 由四边形OEBF的面积为2得 解得 k=2评注：第小题中由图形所在象限可确定k0，应用结论可直接求k值。第小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含k的方程求k值。例2如图，矩形ABOD的顶点A是函数与函数在第二象限的交点，轴于B，轴于D，且矩形ABOD的面积为3（1）求两函数的解析式（2）求两函数的交点A、C的坐标（3）若点P是y轴上一动点，且，求点P的坐标解：（1）由图象知k0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是 （用含的代数式表示）分析：x,y为正整数，x=1,2,4,8,16即A、B、C、D、E五个点的坐标为(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)，因五个橄榄形关于y=x对称，故有S=13-26例7（2009年济宁市）如图，A和B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . 分析：因为圆心A中的非阴影部分与圆B中的阴影部分为对称图形，圆A中的阴影部分与圆B中的非阴影部分也关于原点对称，故两阴影部分面积的和等于圆的面积。设圆A的圆心A的坐标为(x,y)，由图可知，x=y A点在反比例函数图象上， 解得x=1从而所求面积为评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有对称特征，则应用对称关系可以简化解题过程。四、 讨论与面积有关的综合问题例9已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由分析：（