概率论的基本概念

.第一章 概率论的基本概念【内容提要】一、随机事件及其运算关系1随机现象 在一定条件下，可能出现不同结果(不可预先确知的)的现象。2随机试验 在一定条件下，对随机现象进行观测或观察的过程。随机试验具有如下特点:.可以在相同条件下重复进行；.每次试验的结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；.进行试验前不能确定到底会出现哪个结果。3样本空间 对于随机试验，尽管在试验之前不能预知其结果，但其所有可能结果是已知的，我们将随机试验的所有可能结果组成的集合称为其样本空间，用表示，并称为样本点。4随机事件 设是随机试验的样本空间，而，且满足:.；.,有；.,有。则称是随机试验的事件域，而称为随机事件。注:设为随机事件，则.发生包含于中的任一样本点发生；.必然事件即样本空间，而不可能事件即空集。5随机事件的运算关系 设为随机事件，则事件的包含关系:；事件的相等关系:；事件的和运算:， ；事件的积运算:， ； 积事件还可将省略，直接表示为；事件的差运算:；事件的互斥关系:；事件的对立关系:，这时记。若，有，则称两两互斥，这时，它们的和事件可表为:。注:事件的运算关系具有如下性质:交换律: ；结合律: ；分配律: ；德摩根律: 。二、随机事件的频率与概率1随机事件的频率 设在相同条件下，进行了次试验，事件发生了次，则称为这 次试验中事件发生的频率。事件的频率具有如下性质:非负性: ，有；规范性: ；单调性: 若，则；可加性: 若两两互斥，则；稳定性: 当时，将稳定到某一确定的值，称这个数为事件在一次试验中发生的概率。事件的概率也具有类似的非负性、规范性、单调性及可加性。2概率的公理化定义 设是随机试验的样本空间，而随机试验的事件域，是定义于事件域上实值函数，且满足以下条件:非负性: ，有；规范性: ；可列可加性: 对任意可列无穷多个两两互斥的事件，有。 则称为事件的概率。事件的概率有如下性质:.不可能事件的概率为零，即；.有限可加性:若是两两互斥的事件，则；.单调性:若，则；.对立事件的概率:；.加法公式:对任意个事件，有:.三、概率的计算1古典概率 设随机试验的样本空间具有如下特点:是有限集合，即只包含(有限)个互异的样本点；试验中每个样本点发生的可能性都相同；则称其为古典概率模型，此时，如果事件包含的样本点数为，则事件的概率应为:。2几何概率 设随机试验的样本空间具有如下特点:是无限集合，但其测度(长度、面积、体积等)有限，即；任一事件发生的概率与其测度成正比；则称其为几何概率模型，事件的概率应为。3条件概率 设为两个事件，则规定在事件发生的条件下事件发生的概率为: 。条件概率也满足概率的性质:非负性: ，有；规范性: ；可列可加性: 若两两互斥，则。4概率论基本公式乘法公式:设为个事件，则。全概率公式与公式:设两两互斥，且，则 ，且。5事件的独立性:设为个事件，且其中任意个事件的积事件之概率都等于这个事件的概率之乘积，则称相互独立。【定理】设相互独立，则两两独立，且；相互独立，且；。【第一章作业】一、单项选择题1、在下列四个条件中，能使一定成立的是()A； B独立； C互斥； D。2、设随机事件互斥，且，则()A； B； C； D。3、设为随机事件，且，则必有()A； B； C； D。4、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒中投信的概率为()A； B； C； D。5、某人向一目标连续射击，直到命中目标为止，每次命中的概率为，则射击次数为的概率为()A； B； C； D。二、填空题1、将一枚均匀的硬币抛掷次，观察正、反面出现的情况，则此随机试验的样本空间为: ；2、设为随机事件，用的运算关系表示下列事件:中至少发生一个:；中至多发生一个:；发生而不发生:。3、设为随机事件，且，则的最大值为，最小值为；4、设为随机事件，且，则中至少发生一个的概率为；5、设为随机事件，且，则。三、计算题1、在件产品中有件次品、件正品，任取件产品，求恰好有件次品的概率及至少有件次品的概率。解:，。2、从双不同的鞋子中任取只，求所取的只鞋子中至少有只能配成一双的概率。解:。3、根据以往资料表明，某地区的三口之家中患某种传染病的情况有如下规律: ,求某三口之家中孩子及母亲得病而父亲未得病的概率。解:。4、某种商品的商标应为“”,其中两个字母脱落,有人捡起来后随意放回，求放回后仍为“”的概率。解:用表示脱落的字母为商标“”中第个字母(从左数起)，用表示将脱落的字母放回后仍为“”,则，故。5、在件产品中有件次品、件正品，从中不放回地任取件产品，求下列事件的概率:.两件都是正品:；.两件都是次品:；.一件是正品、另一件是次品:；.第二件是次品:。6、高射炮向敌机发射三枚炮弹，设每发炮弹击中敌机的概率为(每发击中与否相互独立)，而敌机中一弹时坠落的概率为，中两弹时坠落的概率为，中三弹时坠落的概率为。.求敌机被击落的概率；.若敌机被击落，求它只中一弹的概率。解:用表示敌机中弹，用表示敌机被击落,则，故，。7、已知男子中有是色盲患者，女子中有是色盲患者，现从男女人数相等的人群中随机地选一人，问此人是色盲患者的概率为多少?若已知此人是色盲患者，求此人是男性的概率。解:用表示所选人为男性，表示所选人为色盲患者，则，故，。8、甲、乙、丙三人独立地去破译密码，已知甲、乙、丙各自能译出密码的概率分别为，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率为多少?解:用分别表示甲、乙、丙三人能将此密码译出，则。9、三人同在一间办公室工作，房间内有一部电话，据统计知，来电是打给的概率分别为，他们三人常因公外出，三人外出的概率分别为，且三人的行动相互独立，求.无人接电话的概率