均值不等式求最值的十种方法

用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式当且仅当a = b时，“=”号成立；当且仅当a = b时，“=”号成立；当且仅当a = b = c时,“=”号成立； ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.注： 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； 熟悉一个重要的不等式链：。一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。例 (1) 当时，求的最大值。 (2)已知，求函数的最大值。解： 。当且仅当，即时，上式取“=”。故。评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。例2 求函数的最大值。解：。因，当且仅当，即时，上式取“=”。故。评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。例3 已知，求函数的最大值。解：。当且仅当，即时，上式取“=”。故，又。二、 拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件。例4 (1)已知，求函数的最大值(2)设，求函数的最小值。解：。当且仅当时，上式取“=”。故。评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定积”，往往是十分方便的。例5 已知，求函数的最大值。解：，。当且仅当时，上式取“=”。故。评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“拼凑定积”。例6 已知，求函数的最小值。解：因为，所以，令，则。所以。当且仅当，即时，上式取“=”。故。评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的环境。三、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例5、已知正数满足，试求、的范围四、拼凑常数降幂例7 若，求证：。分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁，能为解题提供信息，开辟捷径。本题已知与要求证的条件是，为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。证明：。当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证。评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。例8 若，求的最大值。解：。当且仅当时，上述各式取“=”，故的最大值为7。例9 已知，求证：。证明：，又，。当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证。五、拼凑常数升幂例10 若，且，求证。分析：已知与要求证的不等式都是关于的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是，故应拼凑，巧妙升次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。证明：，当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证。例11 若，求证：。证明：。又。当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证。六、约分配凑通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。例12 已知，求的最小值。 解：。当且仅当时，即，上式取“=”，故。例13 已知，求函数的最小值。解：因为，所以。所以。当且仅当时，即，上式取“=”，故。例14 若，求证。分析：注意结构特征：要求证的不等式是关于的轮换对称式，当时，等式成立。此时，设，解得，所以应拼凑辅助式为拼凑的需要而添，解题可见眉目。证明：。当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证。七、引入参数拼凑 某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，解地待定系数，可开辟解题捷径。例15 已知，且，求的最小值。解：设，故有。当且仅当同时成立时上述不等式取“=”，即，代入，解得，此时，故的最小值为36。八、 引入对偶式拼凑 根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。例16 设为互不相等的正整数，求证。证明：记，构造对偶式，则，当且仅当时，等号成立。又因为为互不相等的正整数，所以，因此。评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。九、确立主元拼凑 在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式。例17 在中，证明。分析：为轮换对称式，即的地位相同，因此可选一个变元为主元，将其它变元看作常量（固定），减少变元个数，化陌生为熟悉。证明：当时，原不等式显然成立。 当时，。当且仅当，即为正三