六年级下册数学期末复习：立体几何教案

南京书立行教育 学习如逆水行舟，不进则退南京书立行教育数学课教案课 题几何考点及习题组 名 珠泉组教 师徐老师时 间2018.6.17 (第16周）班 级一对一年 级六年级课 型复习课教学目标掌握几何基本概念，以及平面图形的面积和周长，和立体图形的面积与体积的计算学情分析灵活应用已学知识解决不规则图形的面积教学过程一、立体图形的计算在小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下见下图解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来例1 下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。 分析与解答 求这个长方体的表面积，如果一面一面地去数，把结果累计相加可以得到答案，但方法太繁如果仔细观察，会发现这个立体的上下、左右、前后面的面积分别相等因此列式为：（987）248（平方厘米）答：它的表面积是48平方厘米例2 一个圆柱体底面周长和高相等如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米求这个圆柱体的表面积。 分析 一个圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形解题的关键在于求出底周长根据条件：高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，用上图表示，从图中不难看出阴影部分就是圆柱体表面积减少部分，值是12.56平方厘米，所以底面周长C12.5626.28（厘米）这个问题解决了，其它问题也就迎刃而解了。解：底面周长（也是圆柱体的高）：12.5626.28（厘米）侧面积：6.286.2839.4384（平方厘米）两个底面积（取3.14）：3.142=6.28（平方厘米）表面积：39.43846.2845.7184（平方厘米）答：这个圆柱体的表面积是45.7184平方厘米例3 一个正方体形状的木块，棱长为1米若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，如下图，共得到大大小小的长方体60块，这60块长方体的表面积的和是多少平方米？ 分析 如果将60个长方体逐个计算表面积是个很复杂的问题，更何况锯成的小木块长、宽、高都未知使得计算小长方体的表面积成为不可能的事如果换一个角度考虑问题：每锯一次就得到两个新的切面，这两个面的面积都等于原正方体一个面的面积，也就是，每锯一次表面积增加112平方米，这样只要计算一下锯的总次数就可使问题得到解决。解：原正方体表面积：1166（平方米），一共锯了多少次：（次数比分的段数少1）（31）（41）（51）9（次），表面积： 62924（平方米）答：60块长方体表面积的和是24平方米例4 一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图已知它的容积为26.4立方厘米当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米。问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？ 分析 由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的3倍（62） 解：=62.172（立方厘米）（取=3.14）62.172立方厘米62.172毫升0.升答：酒精的体积是62172立方厘米，合0升例5 一个稻谷囤，上面是圆锥体，下面是圆柱体（如下图）圆柱的底面周长是9.42米，高2米，圆锥的高是0.6米求这个粮囤的体积是多少立方米？ 分析 按一般的计算方法，先分别求出锥、柱的体积再把它们合并在一起求出总体积。但我们仔细想一想，如果把圆锥形的稻谷铺平，把它变成圆圆柱体，这时圆锥的高等于0.6=0.2（米），那么原来两个形体变成一个圆柱体，高是（20.2）米这样求出变化后直圆柱的体积就可以了。解：圆锥体化为圆柱体的高： 0.6=0.2（米）底面积：=7.065（平方米）体积：7.065（20.2）15.543（立方米）答：粮囤的体积是15.543立方米例6 皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为12厘米，水桶底面直径为 60厘米皮球有 的体积浸在水中（下图）问皮球掉进水中后，水桶的水面升高多少厘米？ 分析 皮球掉进水中后排挤出一部分水，使水面升高这部分水的体积的大小等于皮球浸在水中部分的体积，再用这个体积除以圆柱形水桶底面积，就得到水面升高的高度。解：球的体积：=（立方厘米）水桶的底面积：302900（平方厘米）水面升高的高度：（厘米）答：水面升高厘米。例7 下图所示为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，求剩下的体积是原正方体的百分之几？（保留一位小数） 分析 直圆锥底面直径是正方体的棱长，高与棱长相等剩下体积等于原正方体体积减去直圆锥体积解：正方体体积：216（立方厘米） 圆锥体积：56.52（立方厘米）剩下体积占正方体的百分之几（21656.52）2160.73873.8答：剩下体积占正方体体积的73.8。例8 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？ 分析 解题时，既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面，同时还要注意到零件的底面是圆环由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔内还要有一个小圆的底面需要涂油漆，这一点不能忽略。但是，我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，即原圆柱体的底面。解：涂漆面积： 3.1423.146103.1445 3.14（186020）3.1498307.72（平方厘米）答：涂油漆面积是30772平方厘米。二、家庭作业：1一根圆柱形钢材，沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体，如下图已知一个剖面的面积是960平方米，半圆柱的体积是3014.4立方厘米求原来钢材的体积和侧面积 2在一只底面直径是40厘米的圆柱形盛水缸里，有一个直径是10厘米的圆锥形铸件完全浸于水中取出铸件后，缸里的水下降0.5厘米，求铸件的高3在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）求挖洞后木块的表面积和体积 4如下图所示的一个零件，中间一段是高为10厘米，底面半径为2厘米圆柱体，上端是一个半球体，下端是一个圆锥，它的高是2厘米求这个零件的体积。 5塑料制的三棱柱形的筒里装着水（如下页图（1）是这个筒的展开图，图中数字单位为厘米）把这个筒的A面作为底面，放在水平桌面上，水面的高度是2厘米（如下页图（2）。问：若把B面作为底面，放在水平的桌面上，水面的高度是多少厘米？若把C面作为底面，放在水平桌面上，水面高度是多少厘米？ 6、大、中、小三个正方体形的水缸都盛有缸水，它们的内边长分别为4分米、3分米、2分米把两堆碎石分别沉浸在中、小水缸的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米如果将这两堆碎石都沉浸在大水缸中，大水缸中水面将升高多少厘米？7如下图是一个正方体，H、G、F分别为棱AB、AD、AE的中点现沿三角形GFH的面锯掉一个角，问锯掉这块的体积是整个立方体体积的几分之几？ 第六届：“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第12 题（略有改动） 1用棱长是1厘米的立方块拼成如图11-1所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【分析与解】显然，图11-1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等，都等于33=9个小正方形的面积，朝左的面和朝右的面的面积也相等，等于7个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的面积也相等，都等于7个小正方形的面积，因此，该图形的表面积等于(9+7+7)2=46个小正方形的面积，而每个小正方形面积为l平方厘米，所以该图形表面积是46平方厘米 2如图11-2，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几?【分析与解】 原来正方体的表面积为5 56=150 现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(32)2=12，12150=0.08=8即表面积减少了百分之八 3如图11-3，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?【分析与解】 我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积 现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1l=1(平方米)，所以表面积增加了921=18(平方米)原来正方体的表面积为61=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)4图11-4中是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具它的表面积是多少平方厘米?【分析与解】原正方体的表面积是446=96(平方厘米)每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形 从而，它的表面积是96+46=120平方厘米 5图11-5是一个边长为2厘米的正方体在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小间；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为厘米那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米? 【分析与解】 因为每挖一次，都在原来的基础上，少了1个面，多出了5个面，即增加了4个面 所以，最后得到的立体图形的表面积是：226+1l4+4+4=29.25(平方厘米)6有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4米如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米【分析与解】 放在中水池里的碎石的体积为330.06：0.54立方米； 放在小水池里的碎石的体积为220.04=0.16立方米； 则两堆碎石的体积和为0.54+0.16=0.7立方米，现在放到底面积为66=36平方米的大水池中，则使大水池的水面升高0.736=米=厘米=厘米 7如图11-6，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器这个容器的体积是多少立方厘米?【分析与解】 容器的底面积是(13-4)(9-4)=45(平方厘米)，高为2 厘米，所以容器得体积为：452=90(立方厘米) 8今有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体问剩下的体积是多少立方厘米?【分析与解】 本题首先要确定三次切下的正方体的棱长，因为21：15：12=7：5：4，为了叙述方便，我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体. 易知第一次切下的正方体的棱长应为4厘米，第二次切下的正方体棱长为3厘米时符合要求，第三次切下的正方体的棱长为2厘米时符合要求于是，在长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体中，第一、二、三次切下的正方体的棱长为12厘米、9厘米、6厘米 所以剩下的体积应为：211512-()=1107(立方厘米) 9如图11-7，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少?【分析与解】 圆锥的体积是，圆柱的体积是所以，圆锥体积与圆柱体积的比是. 10张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?【分析与解】底面周长是3，半径是，所以今年粮囤底面积是，高是2 同理，去年粮囤底面积是，高是1因此，今年粮囤容积是去年粮囤容积的4.5倍 11一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中求这时容器的水深是多少厘米?【分析与解】若铁圆柱体能完全浸入水中，则水深与容积底面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和，因而水深为：（厘米）；它比铁圆柱体的高度要小，那么铁圆柱体没有完全浸入水中此时容器与铁圆柱组成一个类似于下图的立体图形 底面积为，水的体积保持不变为 所以有水深为(厘米)，小于容器的高度20厘米，显然水没有溢出于是厘米即为所求的水深 12如图ll-8，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体问这个物体的表面积是多少平方米?(取314)【分析与解】 物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，即 即这个物体的表面积是32.97平方米 13某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图11-9所示在三个方向上加固所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米若每个尼龙条加固时接头处都重叠5厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米?【分析与解】 长方体中，高+宽=+(365-5)=180，高+长=(405-5)=200，长+宽=(485-5)=240，-得 长-宽=20，+得 长=130，则宽=110，代入得高=70，所以长方体得体积为：7011030=(立方厘米)=1.001(立方米)14有甲、乙、丙3种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的，乙的棱长是丙的棱长的如果用甲、乙、丙3种木块拼成一个体积尽可能小的大正体，每种至少用一块，那么最少需要这3种木块一共多少块?【分析与解】设甲的棱长为1，则乙的棱长为2，丙的棱长为3显然，大正方体棱长不可能是4，否则无法放下乙和丙各一个 于是，大正方体的棱长至少是5事实上，用甲、乙、丙三种木块可以拼成棱长为5的大正方体，其中丙种木块只能用1块；乙种木块至多用7块(使总的块数尽可能少)；甲种木块需用：555-1333-7222=42(块)因此，用甲、乙、丙三种木块拼成体积最小的大正方体，至少需要这三种木块一共1+7+42=50(块)15有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某划