高等数学下92偏导数

例7 讨论函数例7 讨论函数 0, 0 0, ),( 22 22 22 yx yx yx xy yxf 在在(0,0)的连续性的连续性 解解取取kxy 22 0 0 lim yx xy y x 222 2 0 lim xkx kx kxy x 2 1k k 其值随其值随k k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在 故函数在(0,0)处不连续故函数在(0,0)处不连续 有定义有定义有极限有极限极限等于该点的函数值极限等于该点的函数值 一、偏导数的定义及其计算一、偏导数的定义及其计算 0 lim x 存在，存在， ),(yxfz 如果如果 2. 偏 导 数偏 导 数 ),(yxfz ),( 00 yx 00 (,)f xx y 定义定义 在点在点的某一邻域内的某一邻域内 0 y 固定在固定在x而而 0 x在在处处x 时，时， y 当当 则称此极限为函数则称此极限为函数 有增量有增量 相应地函数相应地函数 ),( 00 yx 在点在点处处 的偏导数的偏导数，记为记为 设函数设函数 x 对对 0 0 yy xx x z ， 0 0 yy xx x f 0 0 yy xx x z ， ),( 00 yxf x 或或 有定义，有定义， x xfxxf x y xf xx )()( limlim)( 00 00 0 导数定义导数定义 00 (,)f xy x 0000 (,)(,)f xx yf xy 有增量有增量 00 (,)f xyy 记为：记为： , 0 0 yy xxy z , 0 0 yy xxy f 0 0 yy xx y z ),( 00 yxf y 或或 一、偏导数的定义及其计算一、偏导数的定义及其计算 0000 0 (,)(,) lim x f xx yf xy x ),(yxfz ),( 00 yx 在点在点处处 的偏导数的偏导数，x对对 0 0 yy xx x z ， ),(yxfz 同理可定义函数同理可定义函数 ),( 00 yx 在点在点处 处对 对 y 的偏导数的偏导数： 00 (,)f xy y 0 lim y 偏导函数偏导函数: 一、偏导数的定义及其计算一、偏导数的定义及其计算 x f x z 记作记作 x z ， ( , ), x fx y或或 0000 0 (,)(,) lim x f xx yf xy x ),(yxfz ),( 00 yx 在点在点处处 的偏导数的偏导数，x对对 0 0 yy xx x z ， ),(yxfz ),(yx x ),(yxfz x 如果函数如果函数在区域在区域D 内任一点内任一点 的偏导数都存在，的偏导数都存在， 的函数，的函数，对对 的的偏导函数偏导函数， 对对 那么这个偏导数就是那么这个偏导数就是 xy、 它就称为函数它就称为函数 偏导函数简称为偏导数.偏导函数简称为偏导数. 偏导函数偏导函数: 一、偏导数的定义及其计算一、偏导数的定义及其计算 y f 同理可以定义函数同理可以定义函数 y ),(yxfz 对自变量对自变量 的的偏导函数偏导函数， y z ， y z ， ),(yxf y或或 记作：记作： x f x z 记作记作 x z ，),(yxf x， 或或 x),(yxfz 对自变量对自变量的的偏导函数偏导函数， y yxfyyxf y ),(),( lim 0000 0 0 0 xx yy z y ),(yxfz ),( 00 yx 在点在点处处 的偏导数的偏导数，y对对 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如如 ),(zyxfu ),(zyx ),(zyxf x ),(zyxf y ),(zyxf z , ),(),( lim 0 x zyxfzyxxf x , ),(),( lim 0 y zyxfzyyxf y . ),(),( lim 0 z zyxfzzyxf z 一、偏导数的定义及其计算一、偏导数的定义及其计算 0000 00 0 (,)(,) (,)lim x x f xx yf xy fxy x 在在处处 例 1例 1 求求 22 3yxyxz 在点在点)2 , 1(处的偏导数处的偏导数 解解 x z ;32yx y z .23yx 2 1 y x x z ,82312 2 1 y x y z .72213 一、偏导数的定义及其计算一、偏导数的定义及其计算 例 2例 2 设设 y xz )1, 0( xx， 求证求证 z y z xx z y x 2 ln 1 . 证证 x z , 1 y yx y z ,ln xx y y z xx z y x ln 1 xx x yx y x yy ln ln 1 1 yy xx .2z 原结论成立原结论成立 一、偏导数的定义及其计算一、偏导数的定义及其计算 偏导数偏导数 x u 是一个整体记号，不能拆分;是一个整体记号，不能拆分; ,( ,),(0, 0),(0, 0). xy zf x yxyff例如求例如求 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明： 、 、求分段点、不连续点处的偏导数要用定义求；求分段点、不连续点处的偏导数要用定义求； 解解 (0,0) x f 0 ).0 , 0( y f 一、偏导数的定义及其计算一、偏导数的定义及其计算 0000 00 0 (,)(,) (,)lim x x f xx yf xy fxy x 0 |(0) 0|0 lim x x x dy dx 可拆可拆 22 ( , )(0,0) ( , ) 0( , )(0,0) xy x y xyf x y x y 例 3例 3 解解 一、偏导数的定义及其计算一、偏导数的定义及其计算 )0 , 0( x f 0 0 lim x x )0 , 0( y f 0 0 lim y y 0 (0,0)(0,0) lim x fxf x 0 (0,0)(0,0) lim y fyf y 0, 0000 00 0 (,)(,) (,)lim x x f xx yf xy fxy x 0000 00 0 (,)(,) (,)lim y y f xyyf xy fxy y ,)0 , 0(),(时当时当 yx 0, 求求( , )f x y 的偏导数的偏导数 ( , ) x fx y 22 ( , )(0,0) ( , ) 0( , )(0,0) xy x y xyf x y x y ( , )(0,0) , ( , )(0,0) x y x y 22 222 () () y yx xy 0 解解 ),(yxf x , )( )( 222 22 yx xyy ),(yxf y , )( )( 222 22 yx yxx 222 ()xy 222 22 )( 2)( yx xyyyxx 22 ()xy xy y2x 例3例3 )0 , 0( x f )0 , 0( y f 0 0 ( , )(0,0)x y 时时 求求( , )f x y的偏导数的偏导数 ( , ) y fx y .),( )0 , 0(),(0 )0 , 0(),( ),( 22 的偏导数求 设 的偏导数求 设 yxf yx yx yx xy yxf 解解 ),(yxf x 22 222 () , () y yx xy ),(yxf y 22 222 () , () x xy xy 例 3例 3 )0 , 0( x f )0 , 0( y f 0 0 22 222 () ( , )(0,0) .() ( , )(0,0) x xy x y xy x y 0 ( , )(0,0)x y 时时 偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系 例如例如,函数函数 0, 0 0, ),( 22 22 22 yx yx yx xy yxf, 但函数在该点处连续但函数在该点处连续. 偏导数存在连续偏导数存在连续 一元函数中在某点一元函数中在某点可导连续可导连续， 多元函数中在某点多元函数中在某点偏导数存在连续偏导数存在连续， 一、偏导数的定义及其计算一、偏导数的定义及其计算 0 0 lim( )() PP f Pf P (0,0)(0,0) xy ff )0 , 0(依定义知在依定义知在处，处，0 并不并不 偏导数几何意义偏导数几何意义 x y 0 y = f (x) M )( 0 xf x y x 0 lim )()( 00 xfxxfy MN K x y )( 0 x f = tan 处切线的斜率 )表示曲线在点 处切线的斜率 )表示曲线在点 0 (xxf . x0 . )( x f 考虑 考虑 导数的几何意义导数的几何意义 . x z y 0 ),( yxfz M x z x yxfyxxf x ),(),( lim 0000 0 M x z 由一元函数导数几何意义由一元函数导数几何意义： z= f (x,y) 0 ),( yy yxfz L： L 得曲线得曲线 = tan 偏导数的几何意义偏导数的几何意义 . y =y0 )( y,x . M Tx 固定固定y y=y=y0 0 x z y 0 ),( yxfz M x z x yxfyxxf x ),(),( lim 0000 0 z= f (x,y) L 偏导数的几何意义偏导数的几何意义 . y =y0 )( y,x . M Tx ),( 00 yxf x 0 yy x 偏导数偏导数就是曲面就是曲面 所截得的曲线所截得的曲线 轴轴 在点在点M处的切线处的切线MTx对对 被平面被平面 ? M y z 同理，同理， 轴的斜率轴的斜率. M ),( yxfz M y z y y,xfyy,xf y )()( lim z= f (x,y) L )( y,x x =x0 固定固定 x =x0 Tx 偏导数的几何意义偏导数的几何意义 . x z y 0 M ),( yxfz M y z y y,xfyy,xf y )()( lim M y z 由一元函数导数的几何意义由一元函数导数的几何意义： z= f (x,y) xx y,xfz)( L 得曲线得曲线 = tan . )( y,x x =x0 固定固定 x =x0 Tx Ty 偏导数的几何意义偏导数的几何意义 . x z y 0 M ),( yxfz M y z y y,xfyy,xf y )()( lim z= f (x,y) L . )( y,x x =x0 Tx Ty 偏导数的几何意义偏导数的几何意义 x z y 0 00 (,) y fxy 0 xx y 偏导数偏导数就是曲面就是曲面 所截得的曲线所截得的曲线 轴的斜率轴的斜率. 在点在点M处的切线处的切线MTy对对 被平面被平面 ),( yxfz 几何意义:几何意义: 一、偏导数的定义及其计算一、偏导数的定义及其计算 0000 00 0 (,)(,) (,)lim x x f xx yf xy fxy x 0000 00 0 (,)(,) (,)lim y y f xyyf xy fxy y ),( 00 yxf x0 yy x 偏导数偏导数就是曲面被平面就是曲面被平面 所截得的曲线所截得的曲线 轴的斜率轴的斜率. 在点在点M处的切线处的切线MTx对对 00 (,) y fxy 0 xx y 偏导数偏导数 就是曲面被平面就是曲面被平面 所截得的曲线所截得的曲线 轴的斜率轴的斜率. 在点在点M处的切线处的切线MTy对对 z x z yy 函数函数),(yxfz 的的二阶偏导数二阶偏导数为为 二、高阶偏导数二、高阶偏导数 0 (, )( , ) lim xx x fxx yfx y x 2 2 x z 2 2 z y ( , ) xx fx y ( , ) yy fx y x 0000 00 0 (,)(,) (,)lim x x f xx yf xy fxy x 0000 00 0 (,)(,) (,)lim y y f xyyf xy fxy y 0 ( ,)( , ) lim yy y fx yyfx y y z x y z y x z y z xy 函数函数),(yxfz 的的二阶偏导数二阶偏导数为为 混合偏导数混合偏导数 定义定义：高阶偏导数高阶偏导数. . 二、高阶偏导数二、高阶偏导数 , xyy f, xxy f 3 2 z x y 三阶偏导数：三阶偏导数： 2 2 x z 2 2 y z ),(yxf xx ),(yxf yy 2 z x y ( , ), xy fx y 2 z y x ( , ) yx fx y x 3 2 z xy 3z x y x 3z y x y 二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为 , xyx f , yxy f 例例 6 设 设13 323 xyxyyxz， 求求 2 2 x z 、 xy z 2 、 yx z 2 、 2 2 y z 及 3 3 x z . 解解 x z ,33 322 yyyx y z ;92 23 xxyyx 2 2 x z ,6 2 xy 2 2 y z ;182 3 xyx 3 3 x z 2 6y xy z 2 . 196 22 yyx yx z 2 , 196 22 yyx 二、高阶偏导数二、高阶偏导数 z x 2 2 x z x 例 7例 7 设设byeu ax cos ，求二阶偏导数，求二阶偏导数. 解解 x u y u 2 2 x u 2 2 y u yx u 2 xy u 2 ,cosbyae ax ;sinbybe ax ,cos 2 byea ax ,cos 2 byeb ax .sinbyabe ax ,sinbyabe ax 二、高阶偏导数二、高阶偏导数 问题：问题： 混合偏导数都相等吗？混合偏导数都相等吗？ 例 8例 8 解解 ( , )(0,0)x y ),(yxf x , )( 23 222 4 22 2 yx yx yx yx ( , ) y fx y 222 3222 )( 2)(3 yx yxxyxyx 二、高阶偏导数二、高阶偏导数 332 22222 2 , () xx y xyxy 3 22 ( , )(0,0) ( , ) 0( , )(0,0) x y x y f x yxy x y 求求( , )f x y的二阶混合偏导数的二阶混合偏导数 时时 按定义可知：按定义可知： (0,0) x f 0, (0,0) y f 0 0 lim y y 0000 00 0 (,)(,) (,)lim x x f xx yf xy fxy x 0 0 lim x x 0 (0,0)(0,0) lim x fxf x 0000 00 0 (,)(,) (,)lim y y f xyyf xy fxy y 0 (0,0)(0,0) lim y fyf y 例 8例 8 0, 3 22 ( , )(0,0) ( , ) 0( , )(0,0) x y x y f x yxy x y 求求( , )f x y 的二阶混合偏导数的二阶混合偏导数 解解 ( , ) x fx y, )( 23 222 4 22 2 yx yx yx yx ( , ) y fx y (0,0) xy f , 0 0 lim y y (0,0)0 x f (0,0)0 y f (,)f(,)f 332 22222 2 , () xx y xyxy 例 8例 8 0000 00 0 (,)(,) (,)lim y y f xyyf xy fxy y 00y x 0 x 0 3 22 ( , )(0,0) ( , ) 0( , )(0,0) x y x y f x yxy x y 求求( , )f x y的二阶混合偏导数的二阶混合偏导数 解解 ( , ) x fx y, )( 23 222 4 22 2 yx yx yx yx ( , ) y fx y (0,0) yx f . 1 (0,0)0 x f (0,0)0 y f 0 lim x x 332 22222 2 , () xx y xyxy 例 8例 8 0000 00 0 (,)(,) (,)lim x x f xx yf xy fxy x 0 lim x x x (,)f(,)f 00 x y 0 y 0 ( , )(0,0)x y 时时 3 22 ( , )(0,0) ( , ) 0( , )(0,0) x y x y f x yxy x y 求求( , )f x y的二阶混合偏导数的二阶混合偏导数 解解 ( , ) x fx y, )( 23 222 4 22 2 yx