基于鲁棒最优控制的机械臂动力学控制策略

系统辨识课程报告基于鲁棒最优控制的机械臂动力学控制策略摘要：基于欧拉-拉格朗日的动力学方程，将关节机械臂动力学控制律转化成线性状态方程。然后从得到的线性状态方程出发，将动力学方程转换为线性二次型的优化问题，得到鲁棒最优控制策略，并且确保了机械臂所有关节变量的全局渐进稳定。最后，以两关节机械臂为例，用仿真结果来验证所设计的鲁棒最优控制策略的有效性。关键词：机械臂；线性二次型优化；代数黎卡提方程；鲁棒最优控制。0引言：自动控制理论对于设计和分析单输入单输出的线性时不变系统非常有效，但随着人们对控制精度的要求不断提高，并且被控对象是多输入多输出系统，用古典控制理论中的传递函数方法、频率特性方法处理这一类问题变得复杂。面对实际工程应用中提出的各种问题，现代控制理论应运而生。最优控制作为现代控制理论的重要组成部分，已经逐步形成了一套较为完整的最优控制理论体系。在过去十几年时间里，最优控制理论和方法已被成功应用到机器人控制领域，也取得了很好的成就。前人已经成功地把鲁棒最优控制方法应用到了机器人机械臂系统中，把机器人的鲁棒控制问题转化成了最优控制问题。但是，由多关节机器人机械臂动力学模型所转化成的状态方程，输入项是含有不确定性的。就一般的机械臂系统而言，总是希望用更简单的方法去解决它们的控制问题。基于对这方面的考虑，对于一般的机械臂系统，提出了输入项不含不确定性的线性状态方程。1机械臂动力学方程描述：关于欧拉-拉格朗日的关节机械臂系统的动力学方程可表示为： （1）其中，、分别表示关节的位移、速度、和加速度。是广义控制的力矩。为机器人惯性矩阵，为科里奥利力和广义离心力矩阵，为重力项。为了使研究变得简单，以机械臂运动所在的平面为基准，则可以忽略重力作用（即），因此（1）可化为： （2）由（2）可知，在得到化简后的动力学方程时忽略了包括外界干扰、摩擦力以及建模参数误差等一系列不确定因素，但在实际的生产过程中必须要考虑这些不确定因素。因此，下面将着重讨论参数误差不确定性。假设动力学方程（2）描述的机械臂系统由已知项和未知项组成，即： （3） （4）在式（3）和式（4）中，、表示已知项，、表示未可知项。因此式（2）可进一步表示为： （5）式（5）中，是对称矩阵且正定，对所有的、，和是一致有界的，即存在两个正实数和一个正函数满足如关系：因此，可以进一步把动力学控制问题描述为：通过设计广义控制力矩使被控对象在满足一定性能指标的情况下收敛于期望的位置。所以对于式（5），选择如下的逆动力学补偿: （6）式（6）中，为尚待选择的新输入。从式（5）和式（6）可以得到 （7）不妨令,则有下列线性状态方程 （8）且 ， ，其中是阶单位矩阵。2最优控制方法的实现：2.1考虑到下面的非线性不确定系统： （9）式（9）中，是状态向量，和在定义域内是连续的。未知向量满足下列假设：假设1：对于所有，存在连续向量函数满足下面的条件：根据假设1，方程（9）可退化成： （10）令零点为机械臂期望的位置，因此需要假设和。假设，并且=0是（10）的一个解。因此所研究的鲁棒控制问题就变成了寻找一反馈控制律使得对于所有的不确定函数，满足是系统（10）的渐进稳定平衡点。2.2鲁棒控制问题和最优控制问题的相互联系：所谓鲁棒控制，使受到不确定因素作用的系统保持其原有能力的控制技术。鲁棒控制的主要思想是针对系统中存在的不确定因素，设计一个确定的控制律，使得对于系统中所有的不确定性，闭环系统能保持稳定并具有所期望的性能。鲁棒控制问题即寻找一反馈控制律使得系统（10）的闭环系统对于所有的不确定函数满足全局渐进稳定。因此要满足：存在非负函数使得下面的不等式成立还需要把这种鲁棒控制问题转化为最优控制问题。2.3最优控制问题：在满足系统方程的约束条件下，在容许控制域中确定一个最优控制律，使系统状态从初态转移到要求的末态，使性能指标达到极值。在求解最优控制问题时，实际上是求解泛函极值的问题。基于下列所选择的辅助系统：寻找一反馈控制律使得下面的目标函数有最小值： 这里，为设计参数，用来均衡状态量和输入量的权值。通常情况下，它是由实际经验来选定的。这时，再研究系统（8）。很容易能够找到，分别满足下列等式：即、满足假设1所设定的条件，因此式（8）可进一步写为： （11）在式（11）中，并且不但是关于的函数，而且是关于的函数。 综上所述，可以拿机械臂关节速度来近似表示机械臂关节加速度，所以式（11）中的便可以看成仅关于状态量的函数。也因此能够把系统（11）看成是系统（10）的一个特例。根据性质1中的、的一致有界性和上面的详细论述，可以较容易地得到假设2。假设2： 存在正定矩阵、，满足下面不等式：，由上面的条件可得，、描述了未知函数增益的界。由假设2，能很容易找到一正定矩阵满足下面的不等式： （12）对于式（11）所研究的便可描述为寻找一鲁棒反馈控制律，使得下面闭环控制系统： （13）且对于满足式（12）的所有都是全局渐进稳定的。现在，已经能够通过解式（11）的最优控制解而得到其鲁棒控制解。并且式（11）是一个线性系统，所以最优控制的问题变成了下列二次型函数求极值的问题。对于下面的辅助系统 （14）寻找一反馈控制律使得下面的目标函数：存在最小值。当完全能控时，上面的二次型优化问题的极值解总是存在的，通过解下面的代数黎卡提方程可以得到： （15）在式（15）中，满足式（12）的不等式关系，是阶单位矩阵，是任意的正定矩阵。因此，最优反馈控制律为。便得到了主要结果如下：定理1：最优反馈控制律便是系统（11）所描述的鲁棒控制问题的最优解。证明过程如下：2.4证明：构造李雅普诺夫函数候选：沿着闭环系统（13）的轨迹对求导，得出如下结果： 根据李雅普诺夫稳定性定理，一个零解是渐进稳定的，如果存在一个候选李雅普诺夫函数，使得方程的解是严格负定的，即解轨迹必须收敛于平衡点，这里的平衡点为。因此，可得就是式（11）的鲁棒控制最优解。通常情况下，求解代数黎卡提方程（15）是比较困难的，这时可以利用矩阵和矩阵的特殊结构和性质，便可以很容易得到式（15）的解。令：，则代数黎卡提方程（15）便退化成以下三个方程:通过解上面的三个方程式很容易得到式（15）的最优控制解： （16）这个解也是机器人机械臂系统的鲁棒控制律。3仿真实例:用两关节机械臂为例来验证这种二次型优化问题的方法，两关节机械臂的动力学模型如图1所示:图1 两关节机械臂力学模型此机械臂有两个关节变量，即两个角变量和，表示距离基座最近的第一个机械臂的长度和质量，表示第二个机械臂的长度和质量。分别表示两个机械臂的力矩。那么，惯性矩阵，科里奥利力和离心力矩阵分别为： 其中，有如下的关系：， 以上参数的取值如下：，通过计算，可以得出矩阵元素的值：，再假设未知项为：其中，参数选择如下:且的取值范围是。因为、，且、是有界的，所以假设未知矩阵为：通过计算可以得到，能够满足式（12）的不等式关系，不妨令机械臂的初始位置为、。为了计算的方便，可令、和，则，相应的控制律为上式中，。仿真结果如图2所示：图2：两关节机械臂根轨迹曲线仿真结果验证了以上运用的鲁棒最优控制策略能够满足机械臂关节变量在希望的位置上达到全局渐进稳定。4结论：为了研究机器人机械臂的鲁棒控制问题，把关节机械臂动力学控制模型转化为线性状态方程。然后从此线性状态方程出发，运用鲁棒控制以及最优控制方面的理论和方法，最后得到了最优鲁棒控制的策略。参考文献：1 Kim M K , Kang H J.An optimal control approach to robust control of robot manipulatorsC/ /Proceedings of the 7th Korea- Russia In-ternational Symposium , Korus , 2003 : 440- 446.2 Xin M , Balakrishnan S N , Huang Z W.Robust state dependent Riccati equation based on robot manipulator controlC/Proceed-ings of the 2001 IEEE International Conference on Control Ap-plications , Mexico City , Mexico , 2001 : 370- 376.3Mark W.Spong,Seth Hutchinson（著）.贾振中 徐静（译）.机器人建模和控制 M.北京：机械工业出版社.127-149.4Saeed B.Niku（著），孙富春，朱纪洪，刘国栋（译）.机器人学导论分析、控制及应用M.北京：电子工业出版社，2013：112-134.5 申铁龙.机器人鲁棒控制基础 M.北京:清华大学出版社,2000.Based on the robust optimal control of manipulator dynamics control strategyAbstract: Based on the euler - Lagrange dynamics equation, The n- joint manipulator dynamics control law is transformed into linear state equation. corresponding to the linear state equation, , by solving Linear Quadratic Regulator problem, The optimal robust control law is obtained, And make sure the joint variables are globally asymptotically stable. .Finally, an example of two- joint robot is illustrated,